解析圓錐曲線的最值問題

王文忠

【摘要】 圓錐曲線的最值問題是綜合性較強的內(nèi)容，重點研究變化的距離、弦長、角度、面積、斜率、定比等幾何量的最值及相關(guān)問題。圓錐曲線有效銜接了代數(shù)與幾何，是數(shù)形結(jié)合的典型體現(xiàn)，因此圓錐曲線的最值問題的求解常常借助于幾何法和代數(shù)法。幾何法注重圓錐曲線定義與平面幾何知識的結(jié)合，代數(shù)法從函數(shù)、均值不等式等方面解析了圓錐曲線的最值問題。

【關(guān)鍵詞】 圓錐曲線 最值 幾何法 代數(shù)法

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2015）04-072-01

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在解析幾何中，運動是曲線的靈魂，在運動中必然伴隨著量的變化，而在變化中，往往重點關(guān)注變化中不變的量或關(guān)系，以及變量的變化趨勢，由此產(chǎn)生曲線中的定點、定值問題，圓錐曲線中的參數(shù)取值范圍問題，圓錐曲線中的最值問題。

解決圓錐曲線的最值問題，不僅要用到圓錐曲線定義、方程、幾何性質(zhì)，還常用到函數(shù)、方程、不等式及三角函數(shù)等重要知識，綜合性強，聯(lián)系性廣，策略性要求高，其基本的思想是函數(shù)思想和數(shù)學(xué)結(jié)合思想，基本策略主要的代數(shù)和幾何兩個角度分析。由于圓錐曲線是幾何圖形，研究的量也往往是幾何量，因此借助幾何性質(zhì)，利用幾何直觀來分析是優(yōu)先選擇，但幾何直觀往往嚴(yán)謹(jǐn)性不強，難以細致入微，在解析幾何中需要借助代數(shù)的工具來實現(xiàn)突破。

幾何方法主要結(jié)合圖形的特征，借助圓錐曲線的定義以及平面幾何知識作直接論證及判斷；代數(shù)方法主要是將幾何量及幾何關(guān)系用代數(shù)形式表示通過設(shè)動點坐標(biāo)或動直線的方程，將目標(biāo)表示為變量的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，再借助函數(shù)、方程、不等式等知識解決。本文通過例題來展示圓錐曲線有關(guān)最值的求解思路與策略。

一、幾何法

例1已知橢圓■+■=1內(nèi)有一點A（2，1），F(xiàn)1為橢圓的左焦點，P是橢圓上動點，求PA+PF1的最大值與最小值。

解：如圖，設(shè)橢圓的右焦點為F2，可知其坐標(biāo)為（3，0）

由橢圓的定義得：PF1+PF2=10

∴PF1=1-PF2，

∴PA+PF=PA+10-PF2=10+PA-PF2

可知，當(dāng)P為AF2的延長線與橢圓的交點時，PF-PF2最大，最大值為AF2=■，當(dāng)P為F2A的延長線與橢圓的交點時，PA-PF2最小，最小值為-AF2=-■。

故PA+PF的最大值為10+■，最小值為10-■。

求解策略：利用橢圓第一定義轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)到兩定點距離的最值問題。

二、代數(shù)法

（一）構(gòu)造函數(shù)求解

例2【2014年福建卷】設(shè)P，Q分別為圓x2+（y-6）2=2和橢圓x210+y2=1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是（ ）

A.52 B.46+2 C.7+2 D.62

[解析]設(shè)圓心為點C，則圓x2+（y-6）2=2的圓心為C（0，6），半徑r=2.設(shè)點Q（x0，y0）是橢圓上任意一點，則20x10+y20=1，即x20=10-10y20，

∴CQ=2010-10y+（y0-6）2=20-9y-12y0+46=＼rc＼3）））＼s＼up12（2）+50，

當(dāng)y0=-23時，CQ有最大值52，

則P，Q兩點間的最大距離為52+r=62.

小結(jié)

函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)，反比例函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不容忽視。

（一）構(gòu)造均值不等式形式

例3【2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ】已知點A（0，-2），橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為3）2，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為3）3，O為坐標(biāo)原點。

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程。

解：（1）設(shè)F（c，0），由條件知，2c=3）3，得c=3.

又ca=3）2，所以a=2，b2=a2-c2=1.

故E的方程為x24+y2=1.

（2）當(dāng)l⊥x軸時不合題意，

故可設(shè)l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

將y=kx-2代入x24+y2=1得（1+4k2）x2-16kx+12=0，當(dāng)Δ=16（4k2-3）>0，即k2>34時，x1，2=4k2-3）4k2+1，從而PQ=k2+1|x1-x2|=k2+1）·＼r（4k2-3）4k2+1.

又點O到直線l的距離d=2＼r（k2+1）.

所以△OPQ的面積S△OPQ=12d·PQ=4k2-3）4k2+1.設(shè)4k2-3=t，則t>0，S△OPQ=4tt2+4=44t.

因為t+4t≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即k=±7）2時等號成立，滿足Δ>0，

所以，當(dāng)△OPQ的面積最大時，k=±7）2，l的方程為y=7）2x-2或y=-7）2x-2.

小結(jié)：上例是利用均值不等式定理求解圓錐曲線最值問題的，解題時要先將目標(biāo)函數(shù)配湊成積（或和）為定值的形式，這種恒等變形是使用最值定理的重要前提。

綜上所述，解決圓錐曲線中的最值問題，要注意聯(lián)系圓錐曲線的定義和性質(zhì)，重視運用數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為一定的函數(shù)關(guān)系或不等式進行討論。概括來說：先根據(jù)題設(shè)條件，恰當(dāng)選擇某個與目標(biāo)密切相關(guān)的自變量，并確定目標(biāo)函數(shù)的解析式；在充分考慮函數(shù)的定義域、不等式的最值條件等前提下，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式定理及其推論等進行分類討論。此外，解題過程力爭做到思路清晰、推理嚴(yán)密、規(guī)范合理、結(jié)果準(zhǔn)確。