關于提高排隊效率的數(shù)學分析

任意

【摘要】 排隊是社會不可缺少的規(guī)則，但排隊往往耽誤人們太多時間，給人們帶來了不少煩惱，本文就這樣一種社會現(xiàn)象進行數(shù)學分析及建立有關模型，探究如何使排隊效率更高，來節(jié)約更多時間。

【關鍵詞】 排隊 隊列設計 效率

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2015）04-091-01

0

一、問題提出

現(xiàn)在，我們幾乎去哪里都要排隊，去游樂園玩游戲設施、吃飯、看電影等等，排隊這一項規(guī)則已經(jīng)深入人心，但因為排隊人數(shù)過多，時間過長，人們往往選擇放棄，導致顧客的需求沒有滿足。如果節(jié)省了排隊的大部分時間，顧客就可以提前辦完事情，可以提前回家做自己想做的事情或者準備今后的事情，可見，減少排隊時間不僅可以使人們有更加充裕的時間去做別的事情，還可以準備未來的事情，這使人們一整天做事的效率都提高了不少，所以，減少排隊時間刻不容緩。那么，我們?nèi)绾翁岣吲抨犘剩瑴p少排隊時間呢？下面就讓我們對這個問題開展模型建立。

二、問題分析

排隊的問題和很多因素有關，以電影院為例，例如人流速度，服務速度，人數(shù)，影院設施，開放窗口個數(shù)等，依照常識來講，開放窗口越多，排隊效率就越高，但是窗口增多，人力物力也隨之增多，所以我們也只能適當?shù)乜刂拼翱跀?shù)量，根據(jù)我平時買電影票的經(jīng)驗，平均每人購票時間為1分鐘，但買票時也難免會有些人與服務人員發(fā)生價錢上的爭執(zhí)，或者因為其他原因延長了時間，這些人平均10個人里才會有一個，而他們的平均購票時間是4分鐘，但是這些人會延長他們所在的一整條隊列的時間，導致那一隊的人比其他隊列慢，這樣會有些不公平，所以我們可以重新設計隊列。

三、模型假設

為了簡化模型，我們假設每人購票時間為一分鐘，那些延長購票時間的人購票時間為4分鐘，其他特別因素均不對此產(chǎn)生影響。

四、模型建立

現(xiàn)在排隊模型基本為圖一所示：

其中“入1-入5”為人流，1、2、3、4、5為服務窗口，假設一般顧客為P1，耗時購票顧客為P2，假設5個窗口各有10人

假設1：P2在每隊有且只有一人，則全部人購票完畢時間為4+9=13分鐘，這時排隊效率達到最理想。

假設2：P2在其中一隊有2人，其余隊P2隨機分布且單隊不超過兩人，則這50個人全部買完票需4+4+8=16分鐘。

假設三：其中一隊P2有三人，其余隊P2隨機分布，則這50人買完票所需時間為4+4+4+7=19分鐘。

以此類推，排隊效率最低的為25分鐘，這樣對P2最多的隊列，第一個P2以后的人都不公平。所以，我根據(jù)排隊論，設計了一個新的隊列模型，如圖二：

這樣，所有人都排成一隊，P1、P2都包括在內(nèi)，當其中一窗口服務完畢，下一個排隊的人立即上前買票，這樣可以保證每一窗口都在服務，大大提高了效率。

假設1：最后的P2與最后幾個P1同時買完票或所有P2在所有P1買完票之前買完，則時間與之前假設1所需的一樣，為13分鐘，這樣依然為最理想。

假設2：最后一個P2買票時后面無人排隊，即最后一個P2為這50人中最后一批入場買票時，排隊時間最不理想，時間要在最理想的基礎上再加上3分鐘，即為16分鐘。

圖二所示的隊列，所需所有可能的時間為13、14、15、16分鐘，而圖一所示的隊列所需所有可能的時間為13、16、19、22、25分鐘，由這幾個數(shù)據(jù)可知，圖二的隊列排隊所需平均時間小于圖一的，且圖二的隊列人們等候的時間是公平的。

綜上所述，圖二所示的隊列排隊效率有顯著提高。

五、模型的優(yōu)缺點

優(yōu)點：此模型適用于多種情形，如飯?zhí)门抨牐y行排隊等，不止適用于電影院購票，其他購票情況皆可。

缺點：因為每天到影院購票的人數(shù)都不一樣，人流速度會有較大的偏差，而且不能保證每個購票窗口的服務速度都一致，且每條隊伍的排隊人數(shù)不盡相同，這就要通過假設或調(diào)查大概估算，所以與實際還是有一些偏差。

（指導老師：蘇菊香）