與高中生數學解題錯誤作“斗爭”的策略

江潤川

摘 要：高中數學解題是學習高中數學的一個重要內容，而在解數學題的過程中，由于各個方面的原因，學生難免會出現這樣或者那樣的錯誤，針對這種情況，我們如何去與這些錯誤作“斗爭”，并且能將其改正過來，這對于我們的教學工作以及提高學生的成績都有很大的幫助，尤其是現在高三的學生，減少錯誤，提高正確率，在高考中取得優異的成績更加是不言而喻的。

關鍵詞：高中生；數學解題錯誤；斗爭策略

一、與誤判錯誤作“斗爭”的策略

1. 誤判錯誤的表現

（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；

（2）若f（n）=an，n為奇數，bn，n為偶數，是否存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請說明理由。

下面的第（1）問是某個學生的解題過程：

∵P1（a1，b1）是直線與直線l：y=3x+1與y軸的交點

又∵數列{an}是公差d=1的等差數列

∴bn=3an+1=3n-3

這個學生的錯誤就是把與y軸的交點看成是（a，0），也就是說與y軸的交點看成是縱坐標為0，與x軸的交點看成是橫坐標為0。

2. “斗爭”的策略

（1） “把控”信息源頭。所謂源頭就是從根本上弄清楚一些基本的概念和公式定理，從錯誤的源頭去解決有關數學錯誤問題。例如，上述的例1就是對向量的夾角這個概念理解不夠清楚造成錯誤的，如果平常我們能結合圖形去學習向量的概念，那就非常的清楚知道共起點兩個向量所在的兩條射線所夾的角，能做到這樣，這些錯誤就不會存在的。

（2）排除干擾信息。一些數學題特別是選擇題有很多的信息，有些是利于我們解題的，有些是對我們解題有干擾的作用。我們如何才能正確的得出正確答案，那就需要我們利用特殊代替一般、數形結合、排除等數學思想和方法排除干擾信息，直奔主題，最后就可以得出正確的答案。例3：已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的減函數，則a的取值范圍是（ ）

A、（0，1） B、（1，2）

C、（0，2） D、[2，+∞）

根據對數的概念我們可知對數的底不為1，我們可以排除C，然后根據特殊代替一般的數學思想，當x=1，a=3時，真數2-ax=-1與真數大于0相矛盾，也排除D，由于原函數的真數部分是由一次函數構成的，故原函數是一個復合函數，它的單調性與一次函數和對數函數的單調性有關，簡單來說就是這兩個函數的單調性相同，原函數單調遞增，如果它們的單調性相反，原函數的單調遞減。無論我們選A或B，一次函數是單調遞減，據題意要原函數遞減，對數函數只能是遞增，那么對數函數的底數只能大于1，故答案選B。

（3）決策正確信息。決策正確信息是通過審題，對題目的一些重要的或者容易忽略的信息要著重加上標志，防止解題的時候會忽略或者搞錯。例如上述例2就是一個很好的例子。學生錯誤就是沒有在“直線l與y軸的交點”中的y做上標志，導致解題時，看成是“直線l與x軸的交點”而造成解題錯誤，因此決策正確信息是與與誤判錯誤作“斗爭”的一種重要策略。

二、與分析錯誤作“斗爭”的策略

1. 分析錯誤的表現

因此學生也可以掌握放縮法的規律就是要變成f（n）-f（n+1）或者f（n-1）-

f（n）的形式才可以“裂項”相加。

2. “斗爭”的策略

（1）吃透已知、所求。對題目的已知和所求都要清楚是什么、有什么樣的特點，針對這些特點，我們該如何選取適當的解題方法進行解決。例4的這種錯法就是一個很好的例子，學生就是沒有吃透已知中的ω<0，還是按照原來的方法去求單調區間，那就會出錯，而事實上求三角函數的單調區間則要求的是ω>0，學生能夠吃透已知、所求就會很容易利用誘導公式將ω變為正，然后再求單調區間。

（2）監控邏輯過程。也就是解題時，過程要符合我們的數學邏輯，而不是簡單的“形而上學”。例如數列的“裂項”求和，主要是通過“裂項”達到相消的目的。而例5中的裂成，表面上是沒錯，但是我們“裂項”的目的就是為了相消，而例5通過“裂項”根本沒辦法做到了，而要相消，分母就要變成f（n）-f（n+1） 這種形式，學生就會想到通過放縮的方法達到這種目的。

三、解題錯誤

1. 解題錯誤的表現

解題錯誤主要是指解題的思想和方法的策略不適當所造成的錯誤。解題策略不當通常是受到某種思維的干擾，而學生又沒有對知識進行完善的歸納、小結，知道某些題的解法，認為所有題都是這樣的解法，解題比較死板，不靈活。例如：在求函數的參數的取值范圍時，經常用到的一種方法是分離系數法。但有時候用分離系數法去解決問題就比較困難。如例6：2015年的廣州市一模的理科數學試題的第21題的第1問：已知函數，求出函數g（x）的最大值，則只需a大于g（x）的最大值即可。但問題是求函數g（x）的最大值的時候，首先要對g（x）進行求導，在求導的時候，相對就比較困難，求單調區間和極值、最值就更加困難，因此在這里采用分離系數法去解決問題不適宜。而正確的解題方法直接求導，結合分類討論的思想，討論單調區間，從而求出參數a的取值范圍。

2. “斗爭”的策略

（1）正確預評解題思想和方法。在審題之后，經過分析后，估計選用哪種方法或數學思想去解這個題比較適當。在例6中，雖然可以通過分離系數法簡單的將a分離出來，但是利用導數求最值時，y=g（x）這個函數求導比較麻煩，所以我們還是直接求導利用分類討論、數形結合的數學思想去解決比較簡單。

（2）注意一題多解，能做到舉一反三。我們在平時的解題中，要知道解決問題的數學方法和思想有哪些，這些解題的方法和思想有什么樣特征，它們分別可以解決哪些問題，能做到舉一反三。例如解決參數的取值范圍的方法有分離系數法、直接求法、分類討論和數形結合等方法。參數的次數是齊次，而且可以分離出來，且求導比較簡單，通常用分離系數法；而不能分離或者分離出來以后求導比較麻煩，通常用直接法；而函數是我們熟悉的函數，通常我們可以借助函數的圖像（數形結合法）去解決；有時有很多種情況，就要進行分類討論。而例6雖然可以分離，但是求導比較麻煩，故我們還是選取直接法，經過變形后出現二次函數而且有很多種情況，故我們也選用分類討論和數形結合的數學思想去解決。但如果我們的方法比較單一，我們只會分離系數法，解這個題的時候就會相當的麻煩了，這個就是我們提出一題多解的好處了。

四、表達錯誤

1. 表達錯誤的表現

表達錯誤是指由于學生解題作答的格式不規范或者語言表達不規范造成錯誤。有這樣的一道簡單的填空題，例7：函數f（x）=的定義域是 。很多學生都是填寫“x≥1”的結果，那就出現錯誤，而出現錯誤的地方主要是定義域應該要寫成集合或者區間的形式，但很多的學生會忽略了這種的語言表達形式。

2. 斗爭”的策略

（1）注重表達錯誤收集。平常的學習中，要求學生對自己所犯或看到別的同學有表達上的錯誤要進行分類整理和收集，有些是經常出現的就要著重做好標記，便于自己隨時查看。

（2）規范格式訓練。有些數學的解題格式要非常規范，如果不規范，與我們的習慣相反，會帶來不便，甚至有些會造成嚴重的錯誤。例如：在空間向量解決立體幾何的問題的時候，要建立坐標系，有些學生并沒有在圖上標注或者用文字說明，直接就寫出某些點的空間坐標，那就錯了，坐標系都沒建立，何來點的坐標呢？或者有些學生寫一條線段中點的坐標，直接憑自己的直覺就寫出來，這樣就很容易錯的，應該先寫這條線段的兩個端點的坐標，然后利用中點公式寫出它的中點的坐標，錯的機會就少很多。因此平常我們要在這個方面做好訓練。

（3）注重語言表達。數學語言包括數字語言、符號語言、圖形語言。在平常的作業、測驗和考試中要求學生注意這些數學語言的表達，特別是填空題，就算會做，但由于語言表達不規范，一樣不能得分。例如寫函數的定義域或者值域的時候要寫成區間或者集合的形式，例7就是一個例子。還有元素與幾何的關系用“？綴、？埸”來表示，集合與集合的關系用“？奐、？勱、？哿、？勐、？埭”來表示。

五、定勢錯誤

1. 定勢錯誤的表現

由于學生從小學到高中，學了十幾年的數學，形成一定的定性數學思維，在解題的時候還是按照普通的數學思維方式解行解答，導致在解題的時候有困難。如例8：設不等式2x-1>m（x2-1）對滿足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范圍。像這類用“轉換主元法”求參數的取值范圍的題目，學生由于定性思維的阻礙，不善于“反客為主”，很容易把它看成關于x的不等式，利用分類討論的數學思想就很難算到結果。但是反過來，如果把原不等式化為（x2-1）m-（2x-1）<0，記f（m）=（x2-1）m-（2x-1），（-2≤m≤2），它是單調函數，只需保證f（-2）<0和

2. “斗爭”的策略

（1）防止定勢干擾。在平時如果我們遇到一些數學題，按照一般的定性數學思維是難以解決，那我們就要排除定勢干擾，改變方向，用逆向思維或者發散性思維去解決，就會出現“柳暗花明又一村”的感覺，其中例8就是一個例子。

（2）加強閱讀，拓展視野?，F在的數學高考除了考查基本的數學知識、思想和方法、基本的數學技能之外，還考查學生的閱讀理解的能力。其中選擇題和填空題的壓軸題就是這樣的，題目給出一些我們平常沒見過的定義、概念、公式等，要求我們通過閱讀給出的材料結合我們現有的數學知識去解決有關的數學問題。這就需要我們有一定的閱讀能力，讀懂題目的意思，按照題目的要求去解題，那閱讀能力從何而來??？就需要我們平常，加強閱讀訓練，拓展自己的視野，使自己站得高看得遠。

（3）加強變式，靈活思維。我們通過改變某些已知條件對問題進行深入的探討，從而幫助我們找出一些數學上的規律，從根本找到解決問題的方法，與此同時，也可以拓展我們的數學思維，使我們的數學思維變得更加靈活。

（4）加強發散，一題多解。在平常我們解題的時候，解決問題的方法不要單一，而是從不同的角度思考，用不同的方法去解決有關的問題。例如，解決立體幾何中的二面角問題，很多人都用空間向量去解決，那我們有沒有用幾何法找出二面角再求出來？又或者其他的方法如射影面積法等去解決呢？通過研究我們還可以找出空間向量法和幾何法的區別和它們的適用范圍。那么我們以后碰到二面角的問題就會迎刃而解了，這個就是加強發散，一題多解的好處了。

六、“非智品質”導致錯誤

1. “非智品質”錯誤的表現

“非智品質”是指與智力和學科的基礎都無關的一些因素，例如是興趣、做題的態度等。

2. “斗爭”的策略

（1）審題講究認真。弄清楚已知條件是什么，要求什么，如果條件允許，將題目的已知和要求在圖示標出來，這樣就不會遺漏條件和看錯題，而造成錯誤。

（2）做題講究細致。我們做題時，盡量按照解題的步驟去解題，盡量做到在草稿上的運算區域要規范，便于做完后檢查；計算要仔細， 解題在沒有做到“穩、準、快”的程度盡量按照解題的步驟去解題，不要跳步。

（3）做題后講究檢查。我們要養成做完試題后檢查的習慣，主要是檢查我們有沒有漏掉或者看錯一些已知條件，計算的過程由沒有出錯等。

（4）做題后講究驗證。主要是指我們的解題方法有沒有錯，考慮的各個方面是否周全等。

因此，在我們的平常教學中，如果我們能夠適當的運用方法，不但能幫助學生深刻理解數學知識的本質，還可以減少學生的錯誤，為和錯題作“斗爭”提供一定的資本。

總的來說，我們教師能夠知道學生解題的錯誤的原因以及糾正錯誤的策略與方法，對提高學生的成績和促進、改善我們教師的教學工作都非常有利，可以說這是一種雙贏的局面。

（作者單位：廣東省廣州市花都區花東中學）