常微分方程數(shù)值方法在運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用

巨進(jìn)化

摘 要： 針對常微分方程組的解的存在唯一性定理，本文提出了Lipschitz常數(shù)的確定方法.將推導(dǎo)出的三階Runge-Kutta公式應(yīng)用于一維直線運(yùn)動(dòng)中速度的計(jì)算，分析了步長的變化及待定參數(shù)的變化對整體誤差的影響.對于二維曲線運(yùn)動(dòng)的情形，先用解的存在唯一性定理進(jìn)行解的判斷，再用三階Runge-Kutta方法進(jìn)行求解，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際相符.

關(guān)鍵詞： 解的存在唯一性定理 Lipschitz常數(shù) Runge-Kutta方法 整體誤差

1.引言

空中飛行的物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)受到重力與空氣阻力的作用，通過受力分析我們可以建立相應(yīng)的常微分方程初值問題.但事實(shí)上對于某些情況，比如當(dāng)物體曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，很難獲得速度關(guān)于時(shí)間的解析表達(dá)式.此時(shí)我們希望通過尋找高效的數(shù)值方法，從而找到盡可能符合實(shí)際的近似值.因此研究常微分方程初值問題的數(shù)值方法十分重要.

常微分方程數(shù)值解可采用導(dǎo)數(shù)化差商的方法，數(shù)值積分法，以及Taylor展開法，通過不同的途徑所得結(jié)果大體一樣.比如顯示Euler方法、改進(jìn)的Euler方法、Runge-Kutta方法[1]等.

本文研究了常微分方程組的解的存在唯一性定理在運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用，利用三階Runge-Kutta方法對運(yùn)動(dòng)問題進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，通過誤差分析，證明了該方法的有效性.

2.常微分方程組的解的存在唯一性定理

在常微分方程不能用初等方法求出它的通解時(shí)，一方面，我們應(yīng)確定該方程是否有解，如果沒有解，數(shù)值方法的求解將毫無意義.另一方面，如果有解，解是否唯一；如果不唯一，求解是……