常微分方程數值方法在運動問題中的應用

巨進化

摘 要： 針對常微分方程組的解的存在唯一性定理，本文提出了Lipschitz常數的確定方法.將推導出的三階Runge-Kutta公式應用于一維直線運動中速度的計算，分析了步長的變化及待定參數的變化對整體誤差的影響.對于二維曲線運動的情形，先用解的存在唯一性定理進行解的判斷，再用三階Runge-Kutta方法進行求解，實驗結果與實際相符.

關鍵詞： 解的存在唯一性定理 Lipschitz常數 Runge-Kutta方法 整體誤差

1.引言

空中飛行的物體在運動時會受到重力與空氣阻力的作用，通過受力分析我們可以建立相應的常微分方程初值問題.但事實上對于某些情況，比如當物體曲線運動時，很難獲得速度關于時間的解析表達式.此時我們希望通過尋找高效的數值方法，從而找到盡可能符合實際的近似值.因此研究常微分方程初值問題的數值方法十分重要.

常微分方程數值解可采用導數化差商的方法，數值積分法，以及Taylor展開法，通過不同的途徑所得結果大體一樣.比如顯示Euler方法、改進的Euler方法、Runge-Kutta方法[1]等.

本文研究了常微分方程組的解的存在唯一性定理在運動問題中的應用，利用三階Runge-Kutta方法對運動問題進行數值實驗，通過誤差分析，證明了該方法的有效性.

2.常微分方程組的解的存在唯一性定理

在常微分方程不能用初等方法求出它的通解時，一方面，我們應確定該方程是否有解，如果沒有解，數值方法的求解將毫無意義.另一方面，如果有解，解是否唯一；如果不唯一，求解是不明確的.下面的解的存在唯一性定理給出了判斷依據.

2.1定理描述

5.結語

本文將常微分方程組的解的存在唯一性定理及Runge-Kutta數值方法應用于運動問題的計算，取得了較準確的結果，如何根據具體問題調整待定參數以獲得較小的誤差沒有特定規律，需要做進一步研究.

參考文獻：

[1]張平文，李鐵軍.數值分析.北京：北京大學出版社，2007.

[2]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程.北京：高等教育出版社，2006.