培養三種能力，突破立體幾何學習瓶頸

劉道梅

對于高中生來講，雖然已經掌握了平面幾何的基礎知識，但要進一步學好立體幾何并不容易.因為從平面觀念過渡到立體觀念，即：平面上的“立體”感，對一般學生來說，困難較多.原因是立體幾何比平面幾何研究的基本對象多了一個“面”，而這多出的一個“面”，使得在平面幾何中點和直線之間的三種位置關系（即點與點、點與直線、直線與直線）拓展為立體幾何中點、直線和平面之間的六種位置關系.在教學中，學生把空間角看做平面角、不會在紙上畫立體圖形等現象頻頻出現，影響了學習的積極性和效果，甚至使一些學生畏懼這門課.針對教學實踐中經常發生的這些問題，筆者認為，要學好立體幾何，必須加強對學生空間想象力、邏輯推理能力和轉化能力的培養，才能有效突破立體幾何學習瓶頸.

一、建立立體觀念，培養空間想象力

做到能想象出空間圖形并把它畫在一個平面（如紙面或黑板）上，能根據畫在平面上的“立體”圖形想象出原來空間圖形的真實形狀.為了培養空間想象力，可以在剛開始學習時動手制作一些簡單的實物模型，如直線、平面、正方體、長方體等，或觀察所坐的教室，直觀地感受點、線、面之間的位置關系，逐步培養自己對空間圖形的想象能力和識別能力，想象這些圖形畫在紙上是什么模樣的；同時要掌握畫直觀圖的規則，掌握實線、虛線的使用方法，可從簡單的圖形（如直線和平面的各種位置關系）、簡單的幾何體（如正方體）畫起，由對照模型畫圖，逐步過渡到沒有模型擺在面前，也能正確地畫出空間圖形的直觀圖，而且能由直觀圖想象出空間圖形.在這個“想圖、畫圖、識圖”的過程中，不僅空間想象能力得到提高，抽象思維能力也得到很大提高.

二、依據公理、定理，培養邏輯推理方法能力

立體幾何的研究方法與平面幾何類似，即培養學生的邏輯思維能力.在教學中發現學生在立體幾何證明的過程中，常出現以下兩種錯誤：一個是學生邏輯思維能力差而導致的證題思路上的錯誤，另一個是學生的語言表達能力差而導致的書面表達上的錯誤.例如立體幾何課本第5頁公理3的推論1：“經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.”學生常常這樣證明：A是直線a外一點，在a上任取兩點B、C，則A、B、C三點不共線.根據公理3，經過不共線三點有且只有一個平面a，又點B、C都在平面a內，即過直線a和點A有且只有一個平面.當然，這樣證明是不全對的，它的證明過程有這樣一個邏輯錯誤：即把過A、B、C三點的平面構成的集合與過直線a和點A的平面構成的集合先承認是兩個相等的集合，從而由第一個集合有且只有一個元素導出第二個集合有且只有一個元素.正確的邏輯推理應該是這樣的：先證明上面的第二個集合包含于第一個集合，從而由第一個集合有且只有一個元素導出第二個集合最多只一個元素；其次證明第二個集合確實只有一個元素，最后得出第二個集合有且只有一個元素的結論.

由此不難看出，要學好立體幾何，必須注重邏輯推理能力的培養，那些看起來簡單的基本概念、公理和定理，不僅要理解它們，還要熟練地記憶它們，掌握它們之間的聯系.同時對基礎的題目必須從一開始就認真書寫證明（或求解）過程，包括已知、求證、證明、作圖等，證明過程要特別注意所運用的公理、定理的條件，符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關結論.在論證問題時，思考應多用分析法，即逐步找到結論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法，掌握定理證明的邏輯推理過程及滲透的教學方法.

三、舉一反三，培養“化歸”、“轉化”的數學能力

解立體幾何的問題，要充分運用“轉化”這種數學思想，要明確在轉化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯系，這是非常關鍵的.例如：面和面平行可以轉化為線面平行，線面平行又可轉化為線線平行，而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉化.同樣面面垂直可以轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直.通過轉化可以使問題得以大大簡化.如將立體幾何問題轉化為平面問題，又如將求點到平面距離的問題，或轉化為求直線到平面距離的問題，再繼而轉化為求點到平面距離的問題；或轉化為體積的問題.一方面從已知到未知，另一方面從未知到已知，尋求正反兩個方面的知識銜接點——一個固有的或確定的數學關系.在求異面直線所成的角時可以通過找或作平行線轉化為平面幾何的知識.

上述三種能力的培養，是相互聯系、相互促進、不可分割的.同時在對學生這些能力的培養中應循序漸進、堅持不懈，把對這些能力的培養貫穿于學生學習立體幾何的全過程.