從“意義”入手，實現“運算律”的構建

朱學堯

《教學月刊》2015年第6期刊載了張奠宙和戎松魁兩位教師撰寫的《正本清源，通過“數數”活動理解運算律》文章，文章的副標題是：“關于加法和乘法交換律的討論”（以下簡稱《正》文）。筆者也曾撰文寫過關于對加法交換律和結合律教學思考的文章，并在課堂教學中實踐過，收到很好的教學效果。拜讀《正》文后，深受感觸，受兩位教師文末的“六個”觀點的啟發，又一次引起了筆者對蘇教版教材“運算律”單元教學的思考。

蘇教版教材在四年級下冊把“運算律”單設單元，來完成加法和乘法的5個定律，單設單元集中教學幾個“運算律”，其目的是便于學生系統學習，集中體現用字母表示幾個運算規律的概括性和簡潔性。但是筆者以為，此時沒有必要再花時間和創設情境來讓學生經歷幾個運算律的發現、猜想和驗證的過程。因為學生在一、二年級時，對加法和乘法的意義以及幾個運算律已經積累了一定的經驗，只不過這時的經驗是感性的、模糊的、零碎的，僅需要教師提供回顧、梳理、歸納和概括的平臺，讓學生借助加法和乘法的意義，從本源上來說清道理，從“運算律”生長的“根”上來理性地分析。

一、基于學生對“運算律”已有認知經驗的分析

筆者以為，在學習交換律之前，學生對加法和乘法的交換律的認知并不是一張空白紙，如在一年級加法單元教學，不同版本教材都創設學生熟悉的生活情境，讓學生在解決問題的過程中來建構加法意義和各部分名稱。以蘇教版教材為例：

教材創設了小朋友澆花的情境，學生在回答“澆花的一共有多少個小朋友”的問題時，由于還沒有正式學過用一個加法算式來表示，因而，大部分同學用“數數”累加的方法。如先數正在澆花的有3個小朋友，再數又來的2個小朋友，也就是從3往后累加數2個，即澆花的一共有5個小朋友。當然，也有部分同學是從2往3來累加數的。然后，教師會引導學生想：“怎樣把剛才數的過程，用一個算式來表示呢？”教師再適時介紹3+2=5或2+3=5這兩個加法算式。從這里可以看出，從一年級“加法認識”單元教學開始，學生就已經接觸了加法的交換律。先數左邊3個同學再接著數右邊2個同學與先數右邊2個同學再接著數左邊3個同學，其結果是不變的，這就是加法交換律的“雛形”，是“具體”的、“情景化”的。隨著經驗的積累，這種“雛形”將日益完善，這個“規律”將被學生逐步內化成：把兩個數合并成一個數用加法來計算，合并是不考慮先后的認知經驗的。

同樣，學生對乘法交換律的“雛形”，早在二年級就已經有了初步的感知。如二年級上冊第一單元“乘法認識”。教學時教材創設了這樣的情境：

依托情境圖讓學生分別列出求各有多少只小動物，然后讓學生觀察這些算式的特點都是求幾個相同加數和的運算（這就是乘法的意義）。這種特殊的加法算式還可以用一道乘法算式來表示，由此，引出乘法算式。如2+2+2可以寫成2×3或3×2。老教材突出2+2+2表示3個2相加，寫成乘法算式是2×3，3+3表示2個3相加，寫成乘法算式是3×2;兩位教授在《正》文中，特別強調了此事，說把“2×7和7×2看作是同一件事，混淆了兩種不同的計算過程，使乘法交換律變得沒有意義，缺乏科學性。”其實，若避開具體的情境來看2+2+2這個算式，把這三個相同的加數寫成兩個相同加數的形式就是3+3，同樣，3+3若寫成三個相同加數的形式就是2+2+2。從這一點來說，兩個乘法算式的計算結果雖然是一樣的，所體現的過程（實際上也是意義）是不一樣的，如《正》文所說。但筆者以為，教材不再讓學生來區分2×3和3×2過程上的不同，是基于教師易教、學生易理解的角度上考慮的。因而，在后面的解決問題以及“乘法口訣”教學時，只要是涉及用乘法列式的，學生就不會考慮兩個乘數的前后位置關系了。

加法和乘法的結合律，是交換律的拓展，可以把它看作一種“特殊”交換律來教學。因為有了兩個加數交換位置和不變的經驗，學生便可類推出三個加數甚至更多個加數相加，任意交換它們的位置和也會不變的。之所以可以這樣說，因為學生已有了加法和乘法意義的支撐。如口算2+3+4，表示三個數合并在一起，既然是合并（累加）就不分先后。同樣，在口算3×2×4時，學生能體會到先算3×2得6，6×4與4×6結果又是一樣的，因此，3、2、4這三個乘數可以先任意兩個數相乘。這就是加法結合律構建的“萌芽”時期，這是在“做”中積累的經驗。教學結合律時，需要讓學生進一步明白的是：三個數在一起計算，是有一定順序的，不像兩個數相加（乘），只存在位置上的變化，不存在順序上的改變。為了體現這種運算順序的改變，在計算時，我們一般要用“（）”來表示，這樣，便于讓學生感知結合律就是交換律的拓展和延伸，體會結合律產生的必要性和價值，更突出了兩個運算律的聯系和區別。

同樣，乘法的分配律，學生在二年級計算一位數乘法時，也初步體會到這種規律的存在，如對于12×4，學生都知道它表示12+12+12+12相加的結果，在用加法計算時，需要4個2相加和4個10相加，再把兩次相加的結果合在一起。因此，用4乘12時，自然需要把12分成10和2的和與4相乘，也就是（10+2）×4=10×4+2×4。這個等式從右往左看，是和中的每一個加數都要與4相乘一次，這是基于對12×4豎式計算運算合理性的一種表示;若從右往左看，是10個4再加2個4，結果是12個4，左右是恒等道理一清二楚。從乘法計算的內部結構來建構乘法的分配律，是尋“根”的過程。

二、意義框架下幾個運算律教學的路徑

（一）加法的交換律和結合律

第一層次：可出示教材情境圖

在學生得出28+17=17+28之后，教師可喚起學生已有的經驗，不讓學生舉例，引導學生回顧加法意義，讓學生運用已有的生活經驗和認知經驗來解釋交換兩個加數和不變的原因，并概括出這一運算律。

第二層次：在學生得出28+17+23=？之后，引導學生想一想：兩個數相加可以交換兩個加數位置和不變，三個數相加也可以這樣交換嗎？為什么？進而得出三個數相加與兩個數相加不同點是三個數相加有先后順序，交換位置，意味著運算順序改變了，為了體現順序的改變，需要用“（）”來表示，并借機用字母概括出這一運算律。

（二）乘法的交換律和結合律

第一層次：喚醒學生已有的乘法意義的認知。如3+3和2+2+2可以寫成什么樣的乘法形式？既然乘法是特殊加法算式的一種簡便運算，由加法兩個運算律，能類推出乘法是否也有這樣的運算律？讓學生運用乘法的意義和已有的生活經驗加以解釋和說明。在此環節，也可配合使用《正》文中提及的“以形解數”的方法。如讓學生數數這堆石子有多少顆？

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最后得出不管豎著數還是橫著數，結果都是6，所以2×3=3×2。

第二層次：引導學生想一想，兩個數相乘可以交換兩個乘數的位置積不變，三個數相乘也可以這樣交換嗎？為什么？同樣得出三個數相乘，有運算的先后順序，任意交換兩個乘數的位置，其運算順序改變了，需要用“（）”來表示的道理，并借機引導學生經歷用字母概括的過程。

（三）乘法的分配律

第一層次：師生交流，乘法的交換律和結合律，在乘法計算時，有普遍的運用，教師適時出示12×4的豎式計算題。引導學生回憶每一步計算的過程，以及為什么可以這樣計算？教師可適時用圖來“以形解數”。 如右圖長方形面積可以怎樣計算？

第二層次：引導學生想一想，由乘法豎式計算還可以概括出一種什么樣的運算律？并用字母概括這一規律。

三、基于意義框架下，運算律單元教學整體思路的調整

教學思路由原來借助具體情境下解決實際問題，依托列出的算式，基于在發現、列舉、驗證和歸納中得出運算律的感性認知，走向喚醒學生已有的認知經驗，依托算式內部的意義，進行理性分析的過程。然后再把這一運算律進行抽象概括并在解決實際問題中加以運用。教學思路是：感悟、發現規律的存在—經歷規律的尋根過程—規律的運用過程。“運算律”的存在，是蘊含在算式的意義和計算的算理之中，是“固有”的，而不是依靠在解決同一問題時，出現了幾種不同的算式，然后再進行驗證、歸納、總結的過程，這勢必會有點“本末顛倒”之感。

把運算律單元教學變成一節知識的回顧、梳理、提升的總結課，這樣簡化了教學過程，幾個規律的概括由原來三四節課的課時量變成了一節課的課時量，留出更多的時間，讓學生經歷體會幾個運算律之間的聯系和區別上，體會運用運算律來解決實際問題的意識和價值上，這樣的探索經歷的過程更具有數學味。

（安徽蚌埠禹會區教育局教研室 ? 233000）