概率論教學方法研究

李文學　袁宜斌

摘 要： 本文主要研究概論教學的教學方法，以激發學生的學習興趣，提高學生解決實際問題的能力.

關鍵詞： 概率論 條件概率 教學方法

概率論雖是數學學科的一門分支，但與其他數學學科有很大的區別，即概率論的研究對象是不確定現象.這一差異導致學生對概率論課程中的一些概念和結論一知半解，存在許多疑惑.學生在概論學習過程中比較吃力，覺得概念非常抽象，學習效果差.筆者根據這幾年的教學經驗，提出概率論教學中的一些措施.

一、結合例子引入定義

概率論中有許多相似的定義和概念，學生對此容易混淆.老師可以通過幾個例子同時引入這些相似的概念，以便學生通過例子理解概念.例如在講解三個事件相互獨立和兩兩獨立時，可以引入以下兩個例子.

例1. 設樣本空間為S=（0，1），事件域為S的所有Borel子集構成， P為Lebsgue測度，設A= （0，1/2），B=（1/4，3/4），C=（1/16，5/16）∪（1/16，5/16）. 試討論三個事件A， B， C中的任意2個事件是否獨立.

例2 （續例1）. 設D=（3/8，7/8）， 試討論三個事件A， B， D中的任意2個事件是否獨立并考察等式P（ABD）=P（A） P（B）P（C）是否成立.

第一個例子給出了事件A， B， C兩兩獨立的定義，而第二個例子給出了事件A， B， C相互獨立的定義.接著學生自然會問：為什么不把第一個例子作為事件A， B， C相互獨立的定義？兩個事件獨立指的是條件概率與無條件概率相等.自然地，事件A， B， C相互獨立定義為條件概率與無條件概率相等.因此P（A|B，C）=P（A），即第二個例子中的等式必須成立.

二、激發學生的興趣

激發學生的興趣可以大幅增強學生的學習效果.在教學中，老師可以設計一些學生感興趣的實際問題，學生逐步解決有趣的實際問題，進一步學習和理解概率論課程的定義、性質、基本方法和基本理論等.例如在講授條件概率和Bayes公式時，使用經典的Monty Hall Problem問題.

例3（Monty Hall Problem問題）. 三扇門的后面只有一扇門藏著汽車，而其他兩扇門藏著山羊.主持人事先知道汽車所在的位置.參賽者可以選擇其中一扇門，但參賽者自己不能開啟.在參賽者選擇了某扇門后，主持人開啟其他兩扇門中有山羊的一扇門.此后參賽者還有一次機會從未開啟的兩扇門中選擇其中的一扇門.若選擇的門后面是汽車，參賽者將得到這輛汽車；若選擇的門后面是山羊，參賽者將一無所得.若你是參賽者，你會選擇另一扇門嗎？

有的學生可能覺得堅持原來的選擇和選擇另一扇門的概率都是一樣的，甚至當時的許多數學家和概率論專家也是這樣認為的.Savant利用條件概率計算得選擇另一扇門得到汽車的概率為2/3，而堅持原來的選擇的概率為1/3. 因此，為了提高獲得汽車的概率，必須選擇另一扇門.這一結論與直覺不符，所以至今仍有人覺得，堅持原來的選擇和選擇另一扇門的概率都是一樣的.最后，Savant利用隨機模擬支持了他的結論.這個實際問題使得學生對條件概率理解得非常透徹， 極大地激發了學生的主動性.另外，老師可以設計一個程序，驗證Savant的結論.基于R軟件，筆者編寫了一個選擇另一扇門得到汽車的概率的模擬結果，每次模擬的頻率都接近于2/3. 現附源代碼如下：

#########X=1，2，3；X=k：表示參賽者選擇第k扇門.

#########X=1：表示參賽者選擇第1扇門

#########Y=k-1，k=1，2，3：汽車在第k扇門.

v=0：#####計數：用于計算參賽者選擇另一扇門

####得到汽車的累計頻數，##

n=100000；

for （m in 1：n）

{X=1：####X=2####X=3

Y=floor（runif（1，1，4））；

if（Y==X） {c=0}

if（Y！=X） {c=1；}

v=v+c；}

v； ####得到汽車的累計頻數

v/n；####得到汽車的累計頻率

三、提高學生解決實際問題的能力

概率論可以解決現實生活中的許多問題.設概率論在自然科學、社會科學乃至我們生活中的小問題都有著廣泛的應用，老師在選取例子時，可以選擇一些生活中常見的例子.例如在超市排隊結賬時，為什么感覺別人的隊伍比自己所在隊伍的結賬速度快？簡單的概率知識就可以解決這一問題.設有10條隊伍在排隊結賬，大致能做到每個隊伍的人員數大致相同，此時別人的隊伍比自己所在隊伍的結賬速度快的概率即為0.9，而自己的隊伍比別人快的概率僅為0.1.所以我們的感覺是對的.理由很簡單，我們習慣于拿最快的那一個作為參照對象.而所有隊伍中，自己隊伍不是最慢的概率也是0.9，因此比上不足，比下有余.

參考文獻

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[5]李賢平. 概率論基礎 [M]. 北京： 科學出版社， 2012.