淺析第二換元積分法

錢志良

摘 要： 第二換元積分法既是微積分的難點，又是一種十分重要的積分方法，它難就難在方法比較靈活，學生一般不易掌握.如何破解這一難點，本文從兩個方面突破：一是何時用第二換元積分法，二是如何用第二換元積分法.

關鍵詞： 第二換元積分法 方法 技巧

1.何時用第二換元積分法

一般的，當被積函數中包含復合函數，且不能用第一類換元積分時，就要用第二換元積分法，尤其是被積函數中含有根號的不定積分，往往要用第二類換元積分法.

所謂不能用第一類換元積分，是指原積分表達式g（x）dx不能湊成f[φ（x）]·d[φ（x）]，即g（x）dx≠k·f[φ（x）]·d[φ（x）]，其中k為常數.

2.第二換元積分法的一般步驟

3.第二換元積分法的常用技巧

從第二換元積分法的四個步驟中不難看出，關鍵是如何令適當的x=？（t），使變換后的積分容易求出.當被積函數中含有根號，運用第二換元積分法時常用以下技巧，最終達到去掉根式的目的.

3.1被開方數是關于的一次多項式，即根式時

此時一般可令t=來去掉根式.

3.2被開方數是關于x的二次多項式時

此時必須用三角代換，才能最終消去根式，且在最后還原時，往往通過作一輔助直角三角形，根據解直角三角形找到其他三角函數值，從而簡化還原運算.