加減法運算意義學習理解中形成的“情境原型”研究

張嶺

“四則運算”即加、減、乘、除四種運算，本文要研究的并不是如何去計算“加減法”，而是在什么問題情境下需要用加法，什么問題情境下需要用減法，即運算的意義。它是和學生解決問題直接相關的。而“情境原型”指的就是與加、減、乘、除這四種一步運算相對應的現實情境。學生在小學階段學習和理解運算意義的過程中，必然要依托于一些現實情境。

一、研究背景

在下校聽課和與教師的交流過程中，我們了解到：傳統的“應用題教學”主要是按照“類型”來教學，總結了十一種簡單應用題的類型，如“已知一個數的幾倍是多少，求這個數”用除法。學生問題的解決需要經過“問題情境→問題類型→運算意義”這樣的過程。而教學中教師過多地強調“問題類型”，反而造成了學生對“問題情境”和“運算意義”的割裂，不利于學生真正地解決問題。現在隨著課程改革的推進，傳統的“應用題教學”變為了“解決問題”，教材也發生了翻天覆地的變化。“解決問題”也成為了教學的難點，許多教師不知如何把握。大多數教師還存在著穿新鞋走老路的現象，還并不是真的了解學生是如何理解運算意義的，同時在學生學習理解四則運算意義中都形成了哪些“情境原型”？只有當教師真正了解了這些，才能夠更有效地進行教學活動。

因此，我們會將研究的目光更多地集中在學生身上，進行有針對性的實證研究，填補我國在這一方面的研究空白。那么，學生都形成了哪些不同的“情境原型”？哪些“情境原型”是這些原型中最主要的？學生對哪些原型有困難？這些問題將是我們研究的主要問題。

二、對加減法情境原型的認識

鄭毓信教授編寫的《國際視角下的小學數學教育》一書，在第10章介紹了由美國數學教師專業委員會組織編寫的《數學教與學的研究手冊》，其中指出： 對正整數加減法現實意義而言，其情境原型主要有四種：聚合、比較、增加性變化、減少性變化。反映在教材中具體如下：

三、研究設計

（一）研究對象

考慮到測試學生的代表性，我們把調研對象確定為北京市遠郊區縣燕山、門頭溝、延慶、平谷、房山這五個區縣的一至三年級的部分學生。并采用了抽樣的辦法，隨機抽取了這五個區縣的各兩所小學的同一年級各兩個班的學生，學生總數為一年級527人、二年級552人、三年級532人。這些學生分別使用的是北京版和人教版的課改實驗教材。

研究后期，我們還對北京市石景山區外語實驗小學一年級和二年級中各一個班的學生進行了追蹤訪談。

（二）研究方法

首先，我們期望通過大樣本的測試，采集一些真實可信的數據，從一個側面了解課改以來北京郊區小學生“情境原型”的建立情況。同時，我們還期望，通過后期對測試情況的分析和個案訪談，進一步了解學生用加減法原型解決問題中的主要困難，探查影響學生解決問題能力的可能原因。

1.前期大樣本測試的目的

（1）測試北京市遠郊區縣小學一至三年級學生的加、減法情境原型的掌握情況，了解其是否能夠正確解決相關問題。

（2）了解學生熟悉和喜歡的加、減法情境原型主要是什么。

（3）對比不同版本教材、不同年級學生的情境原型建立情況有無差異。

（4）積累學生的錯例，分析發現學生的主要困難。

2.后期訪談的目的

（1）進一步了解學生用加減法解決問題中的原始經驗及遇到的主要困難。

（2）分析學生學習“比較”原型問題的主要路徑。

（三）測試和訪談題目

本次測試我們主要采用看算式編實際問題和解決一步的實際問題兩種類型。

1. 看算式編實際問題

了解學生熟悉和喜歡的加、減法情境原型主要是什么，及對比各年級間有無差異。因此，一至三年級各年級的題目形式基本相同，題目差異不大。考慮到低年級學生的年齡特點，前兩個加、減法算式要求學生畫圖表示算式的意思；而后兩個算式要求學生每個算式編兩個實際問題，主要是想了解學生建立的情境原型是否豐富。題目如下：

（1）請你畫一個圖表示3+5。

（2）請你畫一個圖表示6-2。

（3）寫出兩個需要用“9+4”解決的實際問題。（不會寫的字可以用拼音）

（4）寫出兩個需要用“8-5”解決的實際問題。

2. 解決一步的加減法問題（題目見后面正確率表格）

主要考查學生解決不同的情境原型，如“聚合”“比較”“增加變化”“減少變化”等各種一步加減法實際問題的情況。一、二年級每個年級各出10道小題，各種不同的情境原型根據學生學習的情況分別占有一定的比例。如一年級學生主要學習和接觸的是聚合的原型，所以較多地考察了聚合的原型；二年級學生重點學習了比較的原型，因此10道題中有4道是比較原型。同時，同一原型的不同題目在設計中既有用加法解決，也有用減法解決。另外，在設計題目的過程中，也參考了原來我們常說的11種基本應用題類型。比如：已知兩部分的和及其中的一部分，求另一部分，或求比一個數多幾的數，等等。通過這樣的測試來了解學生情境原型的掌握情況及主要困難。

3. 試測

為了保證測試的有效性，我們進行了兩次試測。第一次試測選擇了石景山區外語實驗小學一至三年級中各一個班的學生，本次測試的目的主要是檢驗測試題目的有效性和準確性。通過任課教師認定，測試結果符合學生的一貫表現，測試題目達到需要的信度和效度。本次測試我們從中發現學生形成的情境原型的一些基本情況，以及主要的原型。第二次測試選擇了石景山區金頂街第二小學的一至三年級中各兩個班的學生。本次測試由負責正式測試的郊區縣教師進行組織，主要目的是讓他們經歷測試的過程，以保證正式測試中施測程序的正確性。

4. 測試的計分和解釋

本次測試的題目中每一題都體現了不同的原型或類型，因此為了反映各種不同原型的掌握情況，在計分時并沒有采用核算總分的方式，而是對每一題的正確率進行了分別統計。而學生解決某一類型題目的正確率達到了85%以上，就可以評定為學生對這一原型基本建立。（此標準的確定，參照了數學學科考試說明中的小學生的學業評價標準，同時征求了部分一線教師的意見）

5. 訪談

為了進一步了解學生在解決比較關系原型的問題中的主要困難及解決問題的路徑，我們對學生進行了訪談。

訪談提綱：

（1）讀題，解釋題意。

（2）說說你是怎么想的。

（3）進一步追問為什么選擇加法或減法。

（4）適時提供一些幫助，如畫圖或舉例子等。

四、學生“情境原型”的測試結果分析

（一）解決加、減法問題的測試結果及分析

1. 各年級題目正確率

（1）一年級測試各題正確率（測試總題數：10道；總人數：527人）。

序號 題目 正確率

1

97.91%

2

96.96%

3

97.15%

4

比多棵。 96.96%

5 小明有6條紅金魚和3條黃金魚，他一共有幾條金魚？ 99.43%

6 有8只小鳥，飛走了5只。還剩下幾只？ 97.91%

7 要有9人來踢球，現在來了6人。有幾個人沒來？ 88.05%

8 有3只蝴蝶，又飛來4只，現在有幾只蝴蝶？ 98.48%

9 兩個小組一共有10人，我們組有6人，另一組有幾人？ 86.91%

10 一些青蛙在荷葉上，跳入水中3只后，還剩2只，原來荷葉上有幾只青蛙？ 92.79%

（2）二年級測試各題正確率（測試總題數：10道；總人數：553人）。

序號 題目 正確率

1 小明有6條紅金魚和13條黃金魚，他一共有幾條金魚？ 98.19%

2 樹上有12只小鳥，飛走了5只。還剩下幾只？ 97.65%

3 要有16人來踢球，現在來了9人。有幾個人沒來？ 94.94%

4 有13只蝴蝶，又飛來8只，現在有幾只蝴蝶？ 92.59%

5 小紅有45元錢，比小明少10元，小明有多少元錢？ 68.17%

6 數學小組和航模小組一共有35人，數學小組16人，航模小組有多少人？ 94.03%

7 某農場今年栽樹88棵，比去年多栽16棵，去年共栽樹多少棵？ 88.07%

8 食堂新買來一些大米，一星期吃了46千克，還剩32千克，學校買來大米多少千克？ 86.62%

9 期末考試，王芳比李明的數學成績少3分，李明考了95分，王芳考了多少分？ 91.68%

10 小軍家養了35只白兔和42只黑兔，他家的黑兔比白兔多幾只？ 92.59%

2. 測試結果分析

（1）學生的加、減情境原型基本建立，能夠識別簡單的加、減法情境，并解決問題。從各種加、減法原型的平均正確率可以看出各種原型問題的平均正確率都超過了85%。

（2）學生對于比較原型問題感到比較困難。比較原型問題的平均正確率只有87.49%，特別是對于如“小紅有45元錢，比小明少10元，小明有多少元錢？”這樣的比較原型問題，其正確率只有68.17%。

（3）學生在一年級解決問題過程中有24%的學生用到了類似方程的方法（見下圖）；而二年級在解決問題過程中沒有學生出現用這樣方法。

（二）看算式編實際問題的測試結果及分析

1. 從統計結果可以看出，學生比較熟悉和喜歡的加法原型是“聚合”和“增加變化”；學生比較熟悉的減法原型是減少變化。如下面的實例：

一年級學生的加法原型：“增加變化”。

“合并或聚合”。

2. 使用北京版教材和人教版教材的學生無顯著差異，而且這一結果和教材中呈現的不同原型問題比例相一致。

3. 發現不同的教學班之間存在著較大差異，反映出受教師教學的影響較大。

4. 部分學生建立了多種原型，即同一算式編出了不同原型的實際問題。一年級：有47人編出了兩種加法原型的題目，有12人編出了兩種減法原型的題目，合計占總人數的11.2%。二年級：有68人編出了兩種加法原型，有22人編出了兩種減法原型，合計占總人數的16.3%。三年級：有54人編出了兩種加法原型，有31人編出了兩種減法原型，合計占總人數的16%。可見二、三年級的學生比一年級學生積累的原型更豐富。

（三）學生的主要困難和錯例積累

學生的主要困難還是在一些反序描述的情境及比較原型的問題上，下面將列舉一些學生的錯例。

錯題舉例：

一年級

二年級

此題正確率只有68.17%。

（四）初步訪談記錄及進一步要研究的問題

在學生紙筆測試后，我們也進行了初步的訪談。發現學生形成了一些錯誤的定式，如“見多就加”“見少就減”“看見還剩就減”“見飛走就減”“看見一共就加”等等。

同時，對于比較不同原型的掌握情況的了解，我們發現學生對于比較原型的問題較大，即使學生到高年級也常常在遇到這類問題時出錯。我們將“比較”原型的問題作為下一步的研究點。通過前后測對比及訪談了解學生的困難原因和學習路經。

五、“比較”原型學生的主要困難和思考路徑

（一）通過訪談了解學生的主要困難

學生困難一：不能理解比較關系。

多數學生的困難表現在不理解比較關系。如訪談學生在理解“小亮跳了30個，小紅比小亮少跳10個”時，學生往往理解為“小亮跳了30個，小紅跳了10個”，說明他們對“小紅比小亮少跳10個”這句話并不理解。一些在前測中列式正確的學生，當被問到算式中的各個數量表示什么時，也不能正確回答。如一支鋼筆15元，比一支簽字筆貴10元，一支簽字筆多少元？學生列式：15-10=5，當問到10表示什么時，學生往往會回答表示“簽字筆”的價錢。

學生困難二：不能把理解的問題用正確的算式表示出來。

例如下面的訪談過程：

生（敘述條件）：你有20個松果，我有25個，我比你多幾個？我想就應該用20+25得出結果45。

師：什么叫我比你多幾個？

生（舉例）：比如說，我有3個蘋果，你有6個蘋果，6比3大，就是多。

師：怎么列式呢？

生：6+3=9。

師：你能畫個圖表示這個意思嗎？

生（畫圖）：小明有3個洋蔥，小聰有5個洋蔥。小聰比小明多。（學生邊畫圖邊描述）

師：哪是多幾個呀？（指圖看，一一相對后多的部分）

生：2個。

師：怎么列式？

生：3+5=8。

師：看圖是多2個嗎？

生：是。

師：3+5不是多2個呀？你想怎么做？

生：應該是1+1=2。

師：為什么必須用加法？（再次指圖進行提示，學生思考）

生：5減3再減2。

師：為什么再減2？5是什么？3是什么？

生：列式5-3=2。

這一位學生能夠很好地理解比較關系，能夠自己舉例進行說明。但當他要把這一關系用算式表示時，他都表示為加法。可以看出他在用算式表示關系的過程中存在著障礙。老師已經引導他對結果進行比較“3+5不是多2個呀？你想怎么做”。學生知道開始的方法不對，但他還是首先想到用加法，“應該是1+1=2。”可以看出他能夠正確理解比較關系，但不能選擇正確的方法進行解答。

學生困難三：受一些錯誤思維定式的影響。

如見“多”加，見“少”減 。如下面訪談過程：

在跳繩比賽中小亮跳了30個，小亮比小紅少跳10個，小紅跳了多少個？

師：怎么列式？

生：應該用減法，30-10。

師：為什么用減法？

生：因為“小亮比小紅少跳10個”，“少”應該用減法。

（二）學生學習的主要路徑

在訪談的過程中，我們也有意識地引導學生進行分析，發現學生積累比較關系的經驗很重要，而畫圖和模擬操作活動對學生正確理解比較關系會有很好的幫助。學生只有先正確理解比較關系，再將這種理解和所建立的加、減運算意義進行對接，才能正確解答問題。

下面列舉一個學生對于“小亮有小汽車15輛，紅紅比小亮少5輛。紅紅有幾輛小汽車？”這道題的表現。

學生先拿出15個白棋子，擺成一行。又拿出10個黑棋子，擺成一行。

教師讓學生看著圍棋子，并說明各表示什么。

生：15個白棋子表示小亮的小汽車，10個黑棋子表示紅紅的小汽車。

師：少的5個棋子在哪？

學生正確指出“空白處”，并列式：15-5=10。

此題學生借助操作得出答案，并且“反映”出用減法解決。實際上，學生正是通過經驗、操作、畫圖等方式獨立完成了題目，即使是對于困難較大的第5、6題（實際上，這一內容并不作為一年級每位學生都要掌握的內容），也有部分學生正確列式。

六、研究結論

（一）通過本研究了解學生加、減法原型的建立情況

從所調查的北京市五個郊區縣的情況來看，學生的加減法原型基本建立。學生熟悉和喜歡的加法原型是“聚合”和“增加變化”；學生比較熟悉的減法原型是“減少變化”。而且隨著學生年級的增長，學生的原型會不斷地豐富。

相比正整數的加減法原型，學生對于比較原型問題會感到比較困難。

在對學生的情境原型建立情況進行差異比較中我們發現：使用北京版教材和人教版教材的學生無顯著差異，而且這一結果和教材中呈現的不同原型問題比例相一致。而不同的教學班之間存在著較大的差異，反映出受教師教學的影響較大。

（二）通過本研究了解了學生用加、減法解決問題中的主要困難

學生用加減法解決問題時的主要困難有：對比較關系的理解，這也是最主要的困難；情境理解和運算意義的對接，即用什么方法解決什么問題；已形成的一些錯誤定式的影響。

（三）通過本研究了解了學生解決比較原型的學習路徑

首先要正確理解題目中的比較關系，可以通過畫圖或模擬操作等方式；接著，再將這種理解和所建立的加減運算意義進行對接；最后選擇方法。這里需要說明的是：我們通過多人次的前測訪談了解到，學生的思考過程并不需要套用原來的應用題類型，而且若學生形成了一些機械套用以前學過的類型的習慣，會給他正確分析比較關系應用題帶來障礙。同時，我們要強調的是問題的理解和表征很重要，需要學生積累一定的比較關系的經驗，并且注意在教學中利用好直觀的學具及教具，做好直觀學具與抽象算式的溝通。

（四）通過本研究了解了學生的真實學習情況

通過對學生進行的訪談活動，使我們真正看到了學生的困難。因此我們提出以下教學建議：

（1）要適時為學生提供多種不同的情境原型。

（2）要重視比較關系的經驗積累。

例如，在人教版一年級教材中已經出現了如下圖的一些比較關系的練習，教師可以引導學生進行編題練習，幫助學生積累比較關系的經驗。

（3）要注重學生畫圖和模擬操作的活動。

（4）要防止機械訓練使學生形成錯誤的定式。

參考文獻：

[1] 鄭毓信著.國際視野下的小學數學教育[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2] 張奠宙主編.張曉霞，馬岷興著.小學生數學基本計算技能的測試及計算教學的研究 [M].南寧：廣西教育出版社，2008.4.

（北京師范大學勵耘實驗學校 100041）