是“測”，更是“策”

陳晶

“估測作為算術估計的主要組成部分之一，被視為個體數學能力早期獲得的重要渠道，構成了數學認知的一個重要領域。目前它已成為國際基礎數學教育改革中十分重視的內容。許多國家的數學課程標準中都不同程度規定了估測的教學要求?！蔽覈綄⒐罍y納入小學數學教學內容是在《數學課程標準（實驗稿）》之中，《數學課程標準（2011年版）》對估測的內容進行了適當調整。但在實際教學過程中，常常出現對估測的誤解和片面解讀：有些教師常常誤以為估測就是隨意猜測，還有的教師只是把估測的教學僅僅執行為猜測和測量驗證等，對估測的誤讀和片面理解使得估測教學的效益大打折扣。如何理解估測教學的意義，培養學生的估測能力呢？筆者以“長方形和正方形的面積”為例談談估測的教學實踐與思考。

一、理解意義，把握價值

估測就是一種測量估計，“是一種非常實用的日常數學技能，被看作是沒有工具的物理測量。”心理學上，把是否使用工具作為是否進行估測的標準。常用的有效估測策略有：“單位迭代、參照點（又稱基準點）、在估計前把估計物進行心理轉換?！?/p>

《數學課程標準（實驗稿）》在1～3年級學段目標里提出：“獲得初步的測量（包括估測）、識圖、作圖等技能。”在內容標準中指出：“能估計一些物體的長度，并進行測量?！薄敖Y合實例認識面積的含義，能用自選單位估計和測量圖形的面積，”“探索并掌握長方形、正方形的面積公式，能估計給定的長方形、正方形的面積?！痹?～6年級學段目標里提出：“發展測量（包括估測）、識圖、作圖等技能。”在內容標準里指出：“能用方格紙估計不規則圖形的面積?！痹凇稊祵W課程標準（2011年版）》的學段目標里未直接提及相關的估測要求，在1～3年級內容標準里面指出：“能估測一些物體的長度，并進行測量。”“探索并掌握長方形、正方形的面積公式，會估計給定簡單圖形的面積?！痹?～6年級內容標準里面提出了與《數學課程標準（實驗稿）》相同的要求。從上述變化可以看出，《數學課程標準（2011年版）》適當降低了估測的要求，不再把估測作為一項技能。從對面積估測的教學內容來看，這里的估測不僅有不借助于工具的物理測量，也包括借助簡單的工具（方格紙）測量不規則圖形的面積。所以，估測教學不僅包括讓學生學會不借助工具進行測量，也包括學會借助工具獲得相關圖形面積的近似值。

二、豐富表象，積累經驗

估測也是一種測量，這里的測量工具是單位表象、生活中的參照物，在教學過程中，既要豐富學生對于單位表象的認識，熟悉生活中常見的物體表面的面積，也要加深學生對于面積測量意義的理解，積累面積測量的經驗。

（一）多維度認識面積單位

常用的估測策略之一是“單位迭代”， 也即“估計者在估計時，使用某個標準單位（如厘米），反復將標準單位與估計物相對照，記住上次標準單位結束的位置，開始下一次對照，計算單位的數目，從而得出估計結果”。能夠使用“單位迭代”策略的基本前提之一就是形成比較穩定的單位表象，教學過程中，需要通過不同層次的活動讓學生豐富對面積單位的體驗。如在認識平方厘米的過程中，可以安排一系列的活動：做一做，自己嘗試做1平方厘米的小正方形；看一看，讓學生看看1平方厘米正方形的大小；想一想，閉著眼睛想一想1平方厘米的大小；找一找，從生活中找到面積接近1平方厘米的物體的面等。學生對于面積單位的體驗越豐富，形成的表象就越穩定，在估測的過程中，主動運用“單位迭代”策略估測物體表面面積的能力就越強。

（二）豐富物體表面面積的認識

選擇合適的參照物來估測物體表面的面積也是常用的估測方法之一，所以，除了讓學生形成基本面積單位比較穩定的表象外，還要形成對于生活中常見物體表面面積的理解與記憶。在教學過程中，一方面利用面積單位對實際的物體進行測量，在測量中形成對生活中相應物體表面面積的認識，另一方面在完成“在（ ）里填合適的單位”時（如圖1），不僅讓學生填合適的單位，還要找到具體的面或者與之面積相近的面，讓學生理解其實際面積。還可以讓學生根據具體描述的面積，找一找生活中與之相近的物體的表面。通過這樣的活動，豐富學生對于生活中常見物體表面面積的認識，為后續學習找到合適的參照物進行估測打下基礎。

圖1

（三）拓展度量方法

學生在剛開始認識面積單位時，對于實際物體表面的面積都是運用面積單位進行量化，在后續的學習中，還要讓學生運用實際生活中的已知物體的面去度量未知物體的面。在教學過程中可以設計類似的問題情境：明明媽媽的手機面的面積大約是40平方厘米，你能夠想辦法量出練習本封面的面積嗎？通過解決這種問題拓展面積度量方法。

對于較為規則的圖形面積的度量，除了讓學生理解可以運用面積單位進行直接測量外，還要基于圖形邊的長度與面積單位之間的關系，讓學生學會間接測量，理解間接測量的方便性。在學習長方形和正方形面積的過程中，讓學生不僅知道長方形的面積等于長乘寬，更要理解長在面積度量過程中表示的是什么？寬在面積度量過程中表示的是什么？把握直接測量與間接測量之間的聯系。

三、靈活運用，提升策略

基于《數學課程標準（2011年版）》對估測的理解，估測既是一種不用工具的測量，也包括運用測量工具獲得一個近似值。教學過程中，一方面要結合具體的問題讓學生豐富估測方法，另一方面也要讓學生學會描述估測的結果，不斷提高估測能力。

（一）工具測量，合理描述測量結果

估測首先是一種測量，在讓學生估測的最初階段，要基于面積單位以及圖形面積的本源意義，讓學生利用合適的工具對一些物體表面的面積進行測量，學會描述測量結果的近似值。

1.自選工具測量，初步把握結果

在學生認識了面積單位后，可以讓學生運用面積單位去測量物體表面的面積（如圖2）。在讓學生運用1平方米測量的過程中，如果比1平方米多一些可以忽略不計，如果比較接近1平方米則需要看成1平方米。通過這樣的簡單操作，讓學生初步獲得對于度量結果處理的經驗。

在教學過程中，還可以讓學生運用已知物體表面的面積去測量生活中常見物體表面的面積。如知道了文具盒蓋的面積，可以運用文具盒蓋的面去度量桌面，看看桌面大約有幾個文具盒蓋的面積，然后算出結果。通過這樣的估測過程，豐富學生對于估測意義的理解，也培養了學生對于結果的處理能力。

2.方格測量，形成不同的描述方法

學生初步獲得了描述測量結果的近似值的經驗后，還要讓學生運用面積單位去測量不規則圖形的面積，獲得運用不同方法描述結果的經驗。在教學圖3問題的過程中，對于結果的處理，可以根據前面的估測經驗，把所有接近整格的都看成整格的，確定最后的結果；也可以進一步觀察圖形所占的格子，有些不足整格的比半格大一些，有些不足整格的比半格小一些，可以把所有的不足整格都看成半格來估計它的面積；還可以找到所有的整格，確定圖形面積的下限，再找到所有不足整格的數量，算出整格數量和不足整格數量的總和，確定圖形面積的上限，運用上下限確定圖形面積的范圍。通過不規則圖形面積的估測，進一步豐富學生對于結果的處理方法，讓學生在實際的估測過程中能夠根據不同的要求選擇不同的估測方法。

（二）直覺猜測與測量驗證相結合，培養學生的量感

學生對于不用工具的估測，首先是一種直覺猜測，在學生進行直覺猜測后，還需要進一步通過面積單位進行測量，讓學生調整原有頭腦里的認識，通過這樣不斷反復的過程，培養學生的量感。如讓學生猜一猜課桌面的面積，學生在猜測的過程中，基于對面積單位及數的感覺的認識，形成了對桌面面積單位數量的初步認識，最后通過測量結果與猜測結果的比較，讓學生調整頭腦里原有的猜測結果，在頭腦里形成對于桌面面積新的認識。

（三）有效“單位迭代”，培養學生的空間觀念

“單位迭代”是學生常用的估測策略，學生在估測學習的初始階段，要通過富有啟發性的情境，讓學生主動嘗試進行“單位迭代”估測。如教學圖4所示習題的過程中，受圖形形狀的啟發，學生會想到在腦子里擺一擺面積單位進行“單位迭代”估測，最后估測出每個圖形的面積，學生在“單位迭代”的估測過程中，一方面主動提取了原有的面積單位，另一方面把原有的面積單位在頭腦中根據度量的經驗進行主動拼擺。通過這樣的“單位迭代”估測過程，有效培養了學生的空間觀念。

（四）利用參照物估測，培養學生的推理能力

在一個圖形中面積單位的數量較多時，此時“單位迭代”策略就不太容易估測出圖形的面積，需要調整估測的思路，找一個合適的參照物來估測。在教學過程中，可以讓學生描述一個較小物體表面的面積，然后估測一個與其相關的面積，在這樣的情境中讓學生主動運用選擇參照物的方法，提升估測水平。如知道了教室門面的面積后，再讓學生去想一想墻面的面積大約是多少，有了對門面面積的了解，學生在估測的過程中自然選擇門面這個參照物去估測墻面的面積，可以將墻面按門面的大小進行劃分，也可以在大腦里想象出在墻面上移動門面，通過這種找參照物估測的方法，培養學生的推理能力。

（五）利用公式估測，加深對公式意義的理解

學生學習了長方形、正方形的面積計算方法后，對于一些長方形和正方形面積的計算可以讓學生依據公式，估測出長方形的長和寬，然后算出圖形的面積，降低學生估測的難度。在教學圖5所示習題的過程中，學生交流并回憶其中的估測方法，通過不同方法之間的比較，理解估測出長方形的長和寬，最終用公式算出面積是較為簡單的策略。

對于實際生活中一些常見物品如桌面、籃球場等面積的估測，可以進一步借助簡單的身體上的尺估測出長和寬，最后再算出其中的面積，豐富估測的方法。

（六）復雜圖形轉化成簡單圖形，加強圖形之間的聯系

生活中的圖形不一定都是標準的長方形或正方形，這些圖形面積的估測相對而言較為復雜，對于這樣的圖形，可以引導學生仔細分析圖形的形狀，可以將其中的一些圖形看成已經學過的長方形或正方形進行估測，也可以將一些圖形進行合理的分解與組合，最終拼成長方形或正方形。例如，椅子表面是梯形的，學生還未曾學過梯形的面積，可以將椅子的面看成一個近似的長方形，然后估測其面積；一些更復雜的圖形（如圖6），可以引導學生進行簡單的切割與拼組，最終轉化成一個長方形來估測其面積。通過這種圖形的轉化，加強圖形面之間的轉化能力，提升估測的水平。

估測，是一種測量，這種測量由于受工具的限制，我們只能獲得一個近似值，需要我們選擇合適的方法去描述結果；估測更是一種解決問題的策略，這種策略體現在對于不同的圖形，我們要能夠根據圖形的特征靈活選擇合適的策略進行估測，在后續學習的過程中，還需要根據已有的經驗進一步提升估測的水平。這樣的估測教學，才能夠促進學生的經驗不斷積累，思維水平不斷提升，達到估測教學的真正目的。

（江蘇省南通崇川學校 226014）