用基本不等式和變換的方式探討一元三次函數的極值

萬穎

摘 ? ?要： 基本不等式是高中必修教材中的重要內容，利用基本不等式求函數的極值是一種常見方法.本文利用基本不等式和變換的方法，對一元三次函數極值存在的條件和極值點做了探討.

關鍵詞： 基本不等式 ? ?變換 ? ?一元三次函數 ? ?極值

1.形如y=x+px+q的三次函數的極值問題

任取x，x∈R且x

y-y=（x+px+q）-（x+px+q）=（x-x）+p（x-x）

（1）當p≥0時，易知有y>y，函數單調遞增，故y無極值;（2）當p<0時，為利用基本不等式求解，做變換x=t-，則

y=x+px+q=t-+pt-+q

=t-t+q-

其中，令u=-t+t，則y=-u+q-，根據基本不等式u=-t+t=t（-t+）=4··（-t+）

≤4·=-

當且僅當=-t，即t=時，等號成立，u取得極大值，y取得極小值，此時x=t-=-=;又因為函數y=x+px+q的圖像關于（0，q）對稱，而和-關于（0，q）對稱，所以x=-，y取得極大值.

綜上所述，對于三次函數y=x+px+q，當p≥0時，y無極值;當p<0時，y有極值，且y在x=處取得極小值，在x=

-處取得極大值.

2.討論形如y=ax+bx+cx+d（a≠0）的三次函數的極值問題

y=ax+bx+cx+d=ax+x+x+

令m=，n=，s=，則y=a（x+mx+nx+s），令v=x+mx+nx+s，則y=av，為利用1中結論，并做變換x=z-，則

v=z-+mz-+nz-+s

=z+n-z+m-+s

根據1中討論的結果，當n-<0，v取得極值，即-<0，化簡后即，當b-3ac>0時，y取得極值，且

（1）若a>0，當z=時，v取得極小值，y取得極小值，此時x=z-=-=;同理，當x=時，y取得極大值.

（2）若a<0，當z=時，v取得極大值，y取得極大值，此時x=;同理，當x=時，y取得極小值.

綜上所述，對于三次函數y=ax+bx+cx+d（a≠0），當b-3ac≤0時，y無極值;當b-3ac>0時，y取得極值，且極小值點為x=，極大值點為x=.

例：求函數f（x）=2x-9x+12x-3的極值.

解：因為b-3ac=（-9）-3×2×12=9>0，

所以f（x）在x==2處取的極小值f（2）=1，在x==1處取得極大值f（1）=2.

求函數極值是導數的重要應用.此文中針對一元三次函數，筆者另辟蹊徑，利用基本不等式和變換的方法，探討了一元三次函數的極值問題，并給出了一般式中極值存在的條件和極值點.

參考文獻：

[1]嚴士健，等.普通高中課程標準實驗教科書數學必修5[M].北京：北……