淺析逆矩陣的幾種常見求法

何冬梅

摘 ? ?要： 矩陣是高等數(shù)學(xué)內(nèi)容中的一個重要組成部分之一，很多實際問題用矩陣的思想解，既簡單又快捷，逆矩陣是矩陣?yán)碚摰囊粋€重點內(nèi)容，因而逆矩陣的求法顯得尤為重要，但在數(shù)學(xué)過程中，學(xué)生往往對求逆矩陣的方法感到困惑.本文分析求逆矩陣的常見方法，希望對相關(guān)學(xué)生在學(xué)這個知識點的時候有所幫助.

關(guān)鍵詞： 逆矩陣 ? ?伴隨矩陣法 ? ?初等變換法

一、矩陣的一些基本概念

1.矩陣的k階子式

在m×n矩陣A中，任取k行k列（1≤k≤min{m，n}），位于這些行列相交處的元素按原順序構(gòu)成的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式.

2.矩陣的行初等變換

以下三種變換：

（1）交換任意兩行的位置;

（2）用非零數(shù)k乘某行的所有元素;

（3）某行所有元素的k倍加到另一行的對應(yīng)元素上去稱為矩陣的行初等變換.

3.逆矩陣

矩陣的乘法，一般不滿足交換律.

設(shè)A、B均為n階方陣，若AB=BA=E，則稱A為可逆矩陣，B為A的逆矩陣，A的逆矩陣記作A，即A=B.

二、求逆矩陣的幾種常見方法

1.伴隨矩陣法

設(shè)A是一個n階方陣，且矩陣A的行列式|A|≠0，則A為可逆的，且

其中A為矩陣A的伴隨矩陣，

A為行列式|A|中的位于第i行第j列的元素的代數(shù)余子式.

例1.設(shè)矩陣A= 1 ? ? 0 ? ?1 2 ? ? 1 ? ?0-3 ? ?2 ? ?5，問A是否可逆？若可逆，求A.

解：因為|A|= 1 ? ? 0 ? ?1 2 ? ? 1 ? ?0-3 ? ?2 ? ?5=2≠0，所以A可逆.

2.初等變換法

利用矩陣的初等變換，求一個矩陣的逆矩陣的方法，被稱為初等變換法.

具體方法是：

例2：求A=1 ? ?7 ? ?20 ? ?2 ? ?40 ? ?0 ? ?1的逆矩陣

0 ? ? ? ? 1

當(dāng)然，也可以用列初等變換求逆矩陣，即

A…E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? E…B

以上兩種方法是求逆矩陣最常見的方法，也是相對容易掌握的方法.除此以外，還有利用逆矩陣的定義法、分塊矩陣求逆法，利用線性方程組求逆矩陣等.

三、利用常見的求逆矩陣的方法求逆矩陣時學(xué)生存在的問題

求出的所謂的逆矩陣，往往是錯誤的，錯誤原因：

1.粗心大意，數(shù)字算錯.

2.沒有弄清楚什么是矩陣A的伴隨矩陣、k階子式.

3.沒有真正理解什么是矩陣的行初等變換.

4.有些基礎(chǔ)差的學(xué)生，連初一的正負(fù)數(shù)的四則運算也不會.

四、如何幫助學(xué)生解決求逆矩陣帶來的困惑

引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真學(xué)習(xí)、做事細(xì)心的好習(xí)慣;克服學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的恐懼心理，基礎(chǔ)差則及時補上欠缺的知識;理解透徹矩陣A的k階子式、伴隨矩陣及矩陣的行初等變換等概念，再記住求逆矩陣的方法，就能正確求出一個矩陣的逆矩陣.

五、結(jié)語

求逆矩陣的方法很多，最常見的有伴隨矩陣法和初等變換法，這兩種方法是求逆矩陣的較簡單的方法，當(dāng)可逆矩陣為二階方陣時，用伴隨矩陣法既方便快捷又容易求其逆矩陣，若可逆矩陣為三階以上矩陣時，則用初等變換法較好，當(dāng)可逆矩陣的階數(shù)為高階且有規(guī)律可循時，用分塊矩陣法求逆矩陣較簡便.但無論用哪種方法，都離不開基礎(chǔ)知識，因此掌握好基礎(chǔ)知識是解決問題的關(guān)鍵所在.

參考文獻(xiàn)：

[1]北大幾何宇代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)，人教出版社，1987.3.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).高教出版社，2008. 4.

[3]四川大學(xué)高數(shù)教研室.高等數(shù)學(xué).高教出版社，2004. 2.

[4]薛桂蘭.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo).高教出版社，2005.6.