心有模式 手畫軌跡 巧建模型

羅文水

萬有引力定律及其在天體運(yùn)動中的應(yīng)用，重點(diǎn)是第一宇宙速度、衛(wèi)星線速度、角速度、周期等的計算、比較，是勻速圓周運(yùn)動、牛頓第二定律的進(jìn)一步應(yīng)用，通過嫦娥奔月等我國航天事業(yè)的偉大成就，來激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，培養(yǎng)學(xué)生愛國主義情操.筆者在長期教學(xué)實(shí)踐中對其進(jìn)行總結(jié)如下：

1 理解基本規(guī)律、概念

1.1 基本規(guī)律

（1）F=GMmr2.

（2）F=mv2r=mrω2=m4π2T2r

1.2 基本概念

（1）四個距離：①萬有引力公式中r表示產(chǎn)生萬有引力的兩個物體質(zhì)心間的距離簡稱引力距；

②F向公式中r表示產(chǎn)生向心力的兩個物體質(zhì)心間的距離簡稱軌道半徑；

③中心天體半徑R和離地高度h.

（2）三個加速度：重力產(chǎn)生重力加速度，向心力產(chǎn)生向心加速度，萬有引力產(chǎn)生合加速度；

（3）兩個天體：中心天體和環(huán)繞天體，要求質(zhì)量和密度的天體必須是中心天體.

2 心有運(yùn)動模式

幾種常見天體運(yùn)動模式：單星單軌、單星雙軌、雙星雙軌、單心雙軌（如圖1所示）

3 巧建天體模型

（1）兩個天體模型：①貼地衛(wèi)星，即緊貼地面運(yùn)行的衛(wèi)星，是理想化的模型；②同步衛(wèi)星模型.

（2）當(dāng)直接或間接涉及表面重力加速度為g和第一宇宙速度時就建立貼地衛(wèi)星；當(dāng)涉及地球自轉(zhuǎn)時就應(yīng)建立同步衛(wèi)星模型.

4 活選3個F

（1）3個F的選擇：在空中做勻速圓周運(yùn)動的天體，若題設(shè)條件

①直接或間接涉及g和第一宇宙速度時選擇F重

②涉及v、ω 、 T時選擇F向

③涉及中心天體質(zhì)量M或幾個環(huán)繞天體具有共同中心天體等其它情況時選擇F引

（2）涉及v就選擇F=mv2r；涉及ω就選擇F=mrω2；涉及T就選擇F=m4π2T2r

5 解題的基本思路

總結(jié)出應(yīng)用萬有引力定律和圓周運(yùn)動知識解決有關(guān)天體運(yùn)動的問題的基本思路：

①建立必要的模型，畫天體運(yùn)動的軌跡示意圖；

②明確研究對象及其運(yùn)動過程；

③將半徑、質(zhì)量、周期等物理量進(jìn)行標(biāo)注；

④針對所研究天體選擇3F中合適的2個F列方程.

6 應(yīng)用舉例

例1 某衛(wèi)星貼近地球表面運(yùn)行（簡稱貼地衛(wèi)星），離地高度可忽略，設(shè)地球半徑為R，試證明：

（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，引力常量為G.則該衛(wèi)星運(yùn)行速度v=GMR.

（2）設(shè)地球表面重力加速度為g，則該衛(wèi)星運(yùn)行速度v=gR.

（3）設(shè)地球質(zhì)量為M，表面重力加速度為g，引力常量為G，則GM=gR2.

解析 畫出該衛(wèi)星的運(yùn)動軌跡示意圖（單星單軌），如圖3所示.

（1）分析如何選擇3F：涉及v就選擇F向；涉及中心天體質(zhì)量M就選擇F引.所以

由GMmR2=mv2R得：該衛(wèi)星的運(yùn)行速度v=GMR.

（2）分析如何選擇3F：涉及v就選擇F向；涉及g就選擇F重.所以

由mg=mv2R得：該衛(wèi)星的運(yùn)行速度v=gR.

（3）分析如何選擇3F：直接或間接涉及g就選擇F重；涉及中心天體質(zhì)量M就選擇F引.所以由GMmR2得GM=gR2.

例2 已知地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G.若地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，試求地球同步衛(wèi)星離地高度為h.

解析 因為涉及表面重力加速度g，所以應(yīng)建立貼地衛(wèi)星模型；本題涉及地球自轉(zhuǎn)周期T，應(yīng)建立同步衛(wèi)星模型，因為同步衛(wèi)星周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同；然后讓同學(xué)們畫出該衛(wèi)星的運(yùn)動軌跡示意圖（單星雙軌），如圖4所示.分析如何選擇3F：貼地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星具有共同中心天體所以選擇F引；因為貼地衛(wèi)星涉及表面重力加速度g所以應(yīng)選擇F重，即

GMmR2=mg（1）

針對同步衛(wèi)星因為涉及T，所以還應(yīng)選擇F向，即

GMm（R+h）2=m4π2T2（R+h）（2）

聯(lián)立方程（1）和（2）解得h=3gR2T24π2-R.

例3 嫦娥三號是我國嫦娥工程第二階段的登月探測器，于2013年12月2日凌晨1時30分在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，攜玉兔號月球車奔向距地球38萬千米的月球；6日17時53分，嫦娥三號成功實(shí)施近月制動，順利進(jìn)入距月面平均高度約100千米的環(huán)月軌道；14日21時11分在月球正面的虹灣地區(qū)，嫦娥三號又成功實(shí)現(xiàn)月面軟著陸，開始對月表形貌與地質(zhì)構(gòu)造等進(jìn)行科學(xué)探測.若嫦娥三號環(huán)月飛行時運(yùn)行周期為T，環(huán)月軌道（視為圓軌道）距月球表面高為h.已知月球半徑為R，引力常量為G，求：（1）月球的平均密度ρ；（2）月球表面的重力加速度g.

解析 （1）畫出該衛(wèi)星的運(yùn)動軌跡示意圖（單星單軌），如圖5所示，分析如何選擇3F：涉及T就選擇F向；涉及中心天體質(zhì)量M就選擇F引.所以

GMm（R+h）2=m4π2T2（R+h）（1）

ρ=M43πR2（2）

聯(lián)立方程（1）和（2）解得ρ=3π（R+h）3R3.

（2）因為涉及表面重力加速度g，所以應(yīng)建立貼月衛(wèi)星模型，還有嫦娥三號繞月運(yùn)行，畫出貼月衛(wèi)星的運(yùn)動軌跡示意圖

（單星雙軌），如圖6所示.

分析如何選擇3F：貼月衛(wèi)星和嫦娥三號具有共同中心天體所以選擇F引；針對貼地衛(wèi)星因為涉及表面重力加速度g所以還應(yīng)選擇F重，

即 GMmR2=mg（1）

針對同步衛(wèi)星因為涉及T，所以還應(yīng)選擇F向，

即 GMm（R+h）2=m4π2T2（R+h）（2）

聯(lián)立方程（1）和（2）解得g=4π2（R+h）3R2T2.

例題4 我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星.某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動，如圖7所示.已知該雙星運(yùn)行角速度為ω，S1到O點(diǎn)的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G.試求S2的質(zhì)量m2.

解析 畫出雙星的運(yùn)動軌跡示意圖（單心雙軌），如圖7所示.因為要求S2的質(zhì)量，所以只能以S1為研究對象.分析如何選擇3F：

針對S1這一研究對象，涉及角速度就應(yīng)選擇；不涉及軌道所在處加速度，就不選擇F重，所以還應(yīng)選擇，即：F向=F引，也就是m1ω2r1=Gm1m2r2，解得m2=m2r1r2G.