一道競賽練習題的多視角分析

賴賢明　江立坤

舒幼生老師主編的《高中物理競賽培優教程》一書中第470頁有一道運用費馬原理解決運動學問題的經典練習題，現摘錄如下.

如圖1所示，AC是東西走向的馬車道，它的北面是一片沙礫地帶，人在上面行駛速度只有6 km/h，而馬車道上馬車的速度為10 km/h.已知BD=12 km，AD=16 km.則一人要從A地走到B地所需要的最短時間是多少？

解 用類比法把AC看成兩種介質的分界面，沿AC方向運動視為一束入射角為90°的光，可知當按光的折射定律運動時，所用時間最短.如圖2所示，設AEB為所求的路徑，則

sin90°sin∠EBD=v1v2，

式子中v1=10 km/h，v2=6 km/h分別為坐馬車和步行的速度，由式可得

sin∠EBD=v2v1=0.6，

tan∠EBD=0.75，

因此DE=0.75BD=9.0 km，

AE=AD-DE=7.0 km，

BE=1.25BD=15 km，

t=AEv1+BEv2=3.2 h.

此題運用費馬原理解決，具有一定的優勢，首先，將光學的基本原理遷移到運動學中來，有利于加強學生對兩方面知識的理解；另外，與光沿著所需時間為極值的路徑傳播相類比，將未知變為已知，大大簡化了計算過程，使問題的解決過程清晰明朗.

但是，費馬原理畢竟不是學生所熟知的內容，理解其內涵已屬不易，要靈活運用難度更大.而且在中學階段，極值問題一般采用如三角函數、重要不等式、判別式、求導等數學方法處理.下面筆者從三角函數、判別式、導數等三個方面對此問題重新審視求解，具體如下.

解 如圖2所示，假設∠BED=θ，由數學知識可知，人要從A地走到B地所需要時間滿足

t=LADv1+LBD（1v2sinθ-cosθv1sinθ），

現在要求t的最小值，只要求1v2sinθ-cosθv1sinθ的最小值.

方法1 三角函數法

令y=1v2sinθ-cosθv1sinθ，

代入數據，并整理得y=4sinθ230cosθ2+cosθ230sinθ2，由重要不等式可知當

4sinθ230cosθ2=cosθ230sinθ2時有最小值，

也就是4sin2θ2=cos2θ2，

再結合 ，可以求出sin2θ2+cos2θ2=1，

也就是sinθ=45，cotθ=34.

也就是說sinθ=45時，時間t有最小值，

代入計算得t=3.2 h.

方法2 判別式法

令y=1v2sinθ-cosθv1sinθ，將兩邊平方，整理得

y2=v21-2v1v2cosθ+（v2cosθ）2（v1v2）2（1-cos2θ），

因為上式化成一個關于cosθ的一元二次方程

[（v1v2）2y2+v22]cos2θ-2v1v2cosθ+v21（1-v22y2）=0，

則對應每一個實際可能的過程，都應該有實數解，故

Δ=4（v1v2）2-4[（v1v2）2y2+v22]v21（1-v22y2）≥0，

解得y2≥v21-v22（v1v2）2，

代入相關數據可求得y≥860，

即t=LAD v1+LBDy=3.2 h.

方法3 求導法

令y=1v2sinθ-cosθv1sinθ，現在只要求y的最小值，將y看作是θ的函數，要求y的最小值，只要求出y對θ的導數

y′=-cosθv2（sinθ）2--cos2θ-sin2θv1（sinθ）2，

令y′=0，也就是-v1cosθ+v2=0，求得cosθ=v2v1=35.所以sinθ=45，計算得y=860，即t=LADv1+LBDy=3.2 h.

上面的三種方法都是學生所熟知的求極值的方法，雖然對數學功底要求較高，但是都能很好的體現新課標的應用數學知識解決物理問題的理念.