芻議結構新穎的選擇試題的正解與特解

褚華

隨著高考的不斷的發展，高考試題也在不斷的變遷與創新.近些年來，在高考試題中、各地的高考模擬試題中，以及重點高校的自主招生的考試中，都出現了一種“也許你不會求解，但你可以分析判斷”結構的新型選擇題，突出考查學生的分析問題和解決問題的能力.這種試題的特點是：正確選項一般都要通過非高考要求的知識進行求解才能得到，如微積分或高中物理競賽解題方法等，我們把這種解題的方法叫做“正解”，同時這些試題也可以用一些技巧性的方法來求解，學生通過現有的物理知識分析或判斷來推理得到正確的答案，我們把這種解題的方法叫做“特殊解法”，簡稱“特解”.舉例如下.

試題1 （2009年北京卷）圖1為一個內、外半徑分別為R1和R2的圓環狀均勻帶電平面，其單位面積帶電量為σ.取環面中心O為原點，以垂直于環面的軸線為x軸.設軸上任意點P到O點的的距離為x，P點電場強度的大小為E.下面給出E的四個表達式（式中k為靜電力常量），其中只有一個是合理的.你可能不會求解此處的場強E，但是你可以通過一定的物理分析，對下列表達式的合理性做出判斷.根據你的判斷，E的合理表達式應為

A.E=2πkσ（R1x2+R21-R2x2+R21）x

B.E=2πkσ（1x2+R21-1x2+R21）x

C.E=2πkσ（R1x2+R21+R2x2+R21）x

D.E=2πkσ（1x2+R21+1x2+R21）x

正解 如圖2所示，在圓環內部取一個半徑為R，寬度為dR的細圓環，再在細圓環上取一個長度元dl.不同的長度元dl所帶的電荷在P點產生的場強dE方向各不相同，為此把dE分解為平行于x軸的分量dE∥和垂直于x軸的分量dE⊥.根據對稱性，細圓環在P點處沿垂直x軸方向的場強的矢量和為零，在x軸方向上的分量和就是細圓環在P處的總場強，即為

∫dE∥=∫dEcosθ=∫2πR0kσdRcosθx2+R2dl

=2πkσRdRx2+R2xx2+R2

=2πkσxRdR（x2+R2）3/2.

由于圓環是由許多同心細圓環所構成，所以圓環在P處的場強就是許多同心細圓環在P處激發的場強矢量和，即

E=∫R2R1dEx=∫R2R12πkσxRdR（x2+R2）3/2

=2πkσ（1x2+R21-1x2+R22）x，

故正確選項是B.

特殊解法 場強的單位為N/C，k為靜電力常量，單位為Nm2/C2，σ為單位面積所帶的電量，單位為C/m2，則2πkσ表達式的單位即為N/C，故各表達式中其它部分應無單位.由此可知選項A、C肯定錯誤；當x=0時，此時要求的場強為O點的場強，由對稱性可知EO=0，當x→∞時，E→0，而D項中E→4πkσ，故D項錯誤.所以正確選項只能為B.

試題2 （2012年安徽卷）如圖3所示，半徑為R的均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為σ，其軸線上任意一點P（坐標為x）的電場強度可以由庫侖定律和電場強度的疊加原理求出：E=2πkσ[1-x（R2+x2）1/2]，方向沿x軸.現考慮單位面積帶電量為σ0的無限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為r的圓板，如圖4所示.則圓孔軸線上任意一點Q（坐標為x）的電場強度為

A.2πkσ0x（r2+x2）1/2

B.2πkσ0r（r2+x2）1/2

C.2πkσ0xr

D.2πkσ0rx

正解 利用試題1“正解”的結論，令R2→∞，便可以得到無限大均勻帶電平板中間挖去一半徑為r的圓孔，圓孔軸線上任意一點Q（坐標為x）的電場強度為

E=2πkσ0x（r2+x2）1/2.

故正確選項是A.

特殊解法 由于帶電體表面的電場強度的方向垂直于帶電體表面，無限大均勻帶電平板周圍的電場應是垂直于平板的勻強電場，即電場強度處處相等，且等于x=0處的電場強度，由題中信息可得單位面積帶電量為σ0無限大均勻帶電平板電場場強的大小為E=2πkσ0.

現在可以這樣假設，半徑為r的圓孔上帶有均勻分布電荷密度為+σ0和-σ0的兩種電荷.則Q點處的場強就可以看成是電荷面密度為+σ0的無限大均勻帶電平板在Q點產生的場強E1和電荷面密度為-σ0、半徑為r的帶電圓盤在Q點產生的場強E2的矢量和，由于E1和E2的方向相反，所以Q點的總場強E的大小應為

E=E1-E2=2πkσ0-2πkσ0[1-x（x2+r2）1/2]

=2πkσ0x（x2+r2）1/2.

故正確選項是A.

試題3 （2013年復旦千分考）質點做直線運動，0≤t≤T時段內瞬時速度為v=v01-（tT）2，其平均速度為.

A.v0 B.v02 C.πv04 D.3v02

正解 可以根據x=∫T0vdt與=xT進行求解.設t=Tsinθ，其中θ∈（0，π2），則dt=Tcosθdθ，所以

=∫T0v01-t2T2dtT

=∫π/20 v0cos2θdθ

=v02∫π/20 （1+cos2θ）dθ

=v02∫π/20 dθ+v04∫π/20 cos2θd（2θ）

=πv04.

故正確選項是C.

特殊解法 首先可以做一個初步判斷，A、B兩個選項肯定不對.其次原式可變為

（vv0）2+（tT）2=1，

上述方程在v-t圖象中對應的是一個橢圓方程，我們知道，在v-t圖象中，曲線與時間t軸所圍成的面積表示質點的位移，而橢圓面積公式是S=πab，可以判斷在最后結果中，應該包含π，所以在C、D兩個選項，只能選擇C是正確的.

試題4 （合肥2014屆高三第二次模擬考試）如圖5所示，質量為M、傾角為θ的斜面體B靜止在光滑水平面上.現將一質量為m的小滑塊A無初速的放在B的光滑斜面上后，相對地面的加速度為a，重力加速度為g.下面給出a的四個表達式，其中只有一個合理的，你可能不會求解B相對地面的加速度，但是你可以通過一定的物理分析，對下列表達式的合理性做出判斷.根據你的判斷，a的合理表達式應為

A.a=msinθcosθMg B.a=mtanθMg

C.a=msinθcosθM+msin2θg

D.a=mtanθM+msin2θg

正解 選擇水平面地面為參照系，建立坐標系，并對A、B進行受力分析，如圖6所示.分別對兩個物體列牛頓運動定律方程如下.

滑塊A： -Nsinθ=-maAx（1）

Ncosθ-mg=-maAy（2）

斜面體B： N′sinθ=MaBx（3）

N′cosθ+Mg-F=0（4）

以上的四個方程中有五個未知數，它們是aAx、aAy、aBx及N、F.所以還必須尋求一個新的獨立方程，才能聯立求解.

根據相對運動中A對C=A對B+B對C的關系，設A物塊相對B斜面的加速度在x-y坐標系中分別為aA對Bx和aA對By，則

aA對Bx=-aAx-aBx，

aA對By=-aAy-0，

所以在以B斜面為參照物時，應滿足如下幾何約束

tanθ=aA對ByaA對Bx=-aAy-aAx-aBx（5）

聯立（1）～（5）式解得aBx=msinθ·cosθM+msin2θg.

故正確選項是C.

特殊解法 首先用極限的方法來排除肯定不對的選項.令θ→90°時，斜面體B的加速度應該是a→0，立刻可以排除選項B、D不對.對于A選項，是在認為“物塊對斜面體壓力”為N′=mgcosθ情況下得到的斜面體的加速度，顯然這是錯誤的，因為滑塊與斜面體之間有相對加速度，所以N′≠mgcosθ.在排除了A、B、D選項的可能性情況下，只有選擇C.