“釘子板上圍不出圓”，能讓學(xué)生信服嗎？

劉佳 嚴(yán)育洪

“望”：病例觀察

蘇教版五年級(jí)上冊(cè)“用字母表示數(shù)”單元后有一節(jié)綜合實(shí)踐活動(dòng)課“釘子板上的多邊形”。

當(dāng)學(xué)生通過(guò)教師所舉的多邊形內(nèi)只有一個(gè)釘子的例子，發(fā)現(xiàn)“多邊形的面積是多邊形邊上釘子數(shù)的一半”之后，教師啟發(fā)道：“這句話(huà)怎么表示可以更簡(jiǎn)潔？”

學(xué)生面面相覷。教師提示學(xué)生可以用字母表示數(shù)、用字母式表示數(shù)量關(guān)系，板書(shū)a=1，S=n÷2。然后，教師讓學(xué)生自己舉例驗(yàn)證。

展示幾個(gè)學(xué)生的例子后，教師準(zhǔn)備總結(jié)：同學(xué)們，你們舉的例子也都符合結(jié)論吧？……

生1（舉手）：老師，我的不符合結(jié)論。

師（感到突然，也感到奇怪）：哦？不符合？！

生1作業(yè)紙的點(diǎn)子圖上徒手畫(huà)了這樣一個(gè)圓（如下圖）：圓的邊上釘子數(shù)是4，代入S=n÷2算出的面積是2，但我用割補(bǔ)法發(fā)現(xiàn)實(shí)際面積應(yīng)該比2大。

師（略有遲疑）：同學(xué)們，你們對(duì)這個(gè)反例有什么看法？

生2：二年級(jí)的時(shí)候，我們已經(jīng)知道釘子板上是圍不出圓的。

生1（不服）：但可以畫(huà)出來(lái)啊。

生2感覺(jué)自己的理由不充分，坐下繼續(xù)思考。

師（欣喜地表?yè)P(yáng)生2）：是啊！釘子板上是圍不出圓的，所以這個(gè)反例不符合要求，結(jié)果自然不符合結(jié)論。現(xiàn)在，我宣布剛才的結(jié)論正確。

……

課終，教師讓學(xué)生回想剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，板書(shū)“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論”，總結(jié)了找規(guī)律的方法。

“問(wèn)”：病歷記錄

課后，筆者與執(zhí)教者進(jìn)行了這樣一番交流——

筆者：課中生2的反對(duì)意見(jiàn)“釘子板上是圍不出圓的”，可以成為反對(duì)生1提出的反例的理由嗎？

執(zhí)教者：不可以么？釘子板上確實(shí)圍不出圓的啊。

筆者：你有沒(méi)有發(fā)覺(jué)生1并不服氣？

執(zhí)教者：嗯。

筆者：他的申辯“但可以畫(huà)出來(lái)啊”是否有道理呢？

執(zhí)教者（反問(wèn)）：有道理嗎？畫(huà)出來(lái)不等于圍出來(lái)。

筆者：你知道皮克公式么？

執(zhí)教者：不知道。

筆者換了一個(gè)話(huà)題——

筆者：圓是多邊形嗎？

執(zhí)教者：……

“切”：病理診治

“釘子板上的多邊形”屬于規(guī)律探索類(lèi)課型，是蘇教版教材修訂后新放入的內(nèi)容。教材依次呈現(xiàn)多邊形內(nèi)有1個(gè)釘子、2個(gè)釘子的圖形，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)一數(shù)、算一算等方法發(fā)現(xiàn)多邊形面積與邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，探索、推導(dǎo)多邊形內(nèi)有3個(gè)、4個(gè)等更多釘子的情況，最后得出一般結(jié)論。

蘇教版教材原來(lái)單獨(dú)設(shè)置“找規(guī)律”單元，新教材則分解后融入相關(guān)教學(xué)之中。在教學(xué)“找規(guī)律”知識(shí)時(shí)，教材提出重在“找”，所以這一綜合實(shí)踐活動(dòng)教學(xué)的價(jià)值取向不在于“獲得的結(jié)論是什么”，而重在“你是怎么獲得結(jié)論的”，讓學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律探索的一般過(guò)程與方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)的眼光、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度、歸納概括的能力。

不過(guò)，我們需要注意的是，這節(jié)課的“找規(guī)律”是五年級(jí)的內(nèi)容，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)經(jīng)歷過(guò)了專(zhuān)門(mén)的“找規(guī)律”的直接教學(xué)，如“周期規(guī)律”“搭配規(guī)律”等。除了這些抬頭寫(xiě)著“找規(guī)律”標(biāo)識(shí)的專(zhuān)門(mén)教學(xué)，很多探究性的教學(xué)內(nèi)容其實(shí)也是在“找規(guī)律”，例如代數(shù)領(lǐng)域的“商不變性質(zhì)”“運(yùn)算律”等，幾何領(lǐng)域的“三角形的三邊關(guān)系”“三角形的內(nèi)角和”等，只是這種內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)不只在“找規(guī)律”，還須在“用規(guī)律”?？梢哉f(shuō)，“找規(guī)律”作為一條路徑或一個(gè)環(huán)節(jié)，隱身在許多教學(xué)內(nèi)容中。但如果教師在教學(xué)這些內(nèi)容的時(shí)候，都能夠把它們看作“找規(guī)律”知識(shí)，并按照“找規(guī)律”教學(xué)的一般規(guī)律來(lái)設(shè)計(jì)，那么學(xué)生到五年級(jí)本節(jié)課教學(xué)的時(shí)候，已經(jīng)相當(dāng)熟悉找規(guī)律的方法流程和技術(shù)手段，足以實(shí)現(xiàn)知識(shí)上和學(xué)法上的正遷移。

然而，從這節(jié)課“課終，教師讓學(xué)生回想剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，板書(shū)‘猜想—驗(yàn)證—結(jié)論’，總結(jié)了找規(guī)律的方法”來(lái)看，要么教師的潛意識(shí)中還把這節(jié)課當(dāng)作找規(guī)律知識(shí)的“獨(dú)生子女”，無(wú)視知識(shí)的血脈聯(lián)系，要么不肯放手讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)找規(guī)律的探究程序，無(wú)視學(xué)生的能動(dòng)作用。也就是說(shuō)，如果教師“眼中有過(guò)去”“眼中有學(xué)生”，那么他會(huì)在課的一開(kāi)始就讓學(xué)生回想過(guò)去，讓學(xué)生循著一般流程和一般方法去找規(guī)律，而不會(huì)把它作為新玩意兒在課終讓學(xué)生去總結(jié)。

學(xué)生在以往的“找規(guī)律”學(xué)習(xí)中，除了知道找規(guī)律的一般流程，還知道找規(guī)律的一般方法，遵循由易到難、由點(diǎn)到面、由表到里的思路向更遠(yuǎn)處邁進(jìn)、向更深處挺進(jìn)。這也就告訴我們，在找規(guī)律的時(shí)候，學(xué)生自己會(huì)從最簡(jiǎn)單、最特殊的例子入手進(jìn)行研究。這節(jié)課的找規(guī)律，比以前的“找規(guī)律”內(nèi)容更復(fù)雜，存在著第三個(gè)變量，但我們不必?fù)?dān)心學(xué)生，他們還是會(huì)依照研究的一般規(guī)律，從比較容易的形內(nèi)釘子數(shù)a=1的規(guī)則圖形開(kāi)始，然后逐步展開(kāi)，課中教師只需順著學(xué)生的這種認(rèn)識(shí)規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)線(xiàn)索、設(shè)置教學(xué)板塊。此中，可能會(huì)出現(xiàn)學(xué)生從形內(nèi)釘子數(shù)a=0的規(guī)則圖形開(kāi)始的原始想法，對(duì)這種情況，教師不必“強(qiáng)扭”，而可以抓住學(xué)生在比較由此得到的數(shù)據(jù)時(shí)探索規(guī)律存在困難，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整研究起點(diǎn)，把a(bǔ)=1作為突破點(diǎn)。如此一來(lái)，到最后，學(xué)生自己會(huì)不忘回過(guò)來(lái)探索a=0的情形，給探究活動(dòng)畫(huà)上圓滿(mǎn)的句號(hào)。這樣讓學(xué)生“念念不忘”的課堂必將呈現(xiàn)出一番生“動(dòng)”局面。

在此還需要著重指出的是，現(xiàn)在小學(xué)教材上編排的“找規(guī)律”內(nèi)容大多是讓學(xué)生運(yùn)用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這是由小學(xué)生的學(xué)情決定的，由此帶來(lái)的好處是，它有助于教師設(shè)計(jì)豐富多彩的探究活動(dòng)，也有利于學(xué)生在探究活動(dòng)中充分體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，發(fā)展觀察、比較、推理、綜合和抽象、概括等思維能力。不過(guò)，用不完全歸納法而發(fā)現(xiàn)的結(jié)論未必為真，所以在平時(shí)教學(xué)中，教師要轉(zhuǎn)換立場(chǎng)，把自己當(dāng)作并不知“真”情的學(xué)生，這樣才不會(huì)忘記讓學(xué)生在每次驗(yàn)證的時(shí)候嘗試尋找反例。并且這種尋找反例的過(guò)程不能流于形式、一帶而過(guò)，需要真的留出時(shí)間給學(xué)生。

鑒于現(xiàn)行教材編排的“找規(guī)律”都是能夠找到規(guī)律的，經(jīng)歷幾次后，學(xué)生可能會(huì)形成“發(fā)現(xiàn)的結(jié)論必定為真”的定勢(shì)和誤解，這顯然與科學(xué)探究的真相不符，也阻礙了學(xué)生學(xué)習(xí)的科學(xué)態(tài)度的形成。于是，有教師特意自編了一種“探究失敗，結(jié)論錯(cuò)誤”的教材，以此沖擊和矯正學(xué)生或已形成的固見(jiàn)和錯(cuò)覺(jué)，這不失為一種明智之舉。

以此觀察本節(jié)課的教學(xué)，教師的提問(wèn)（其實(shí)不是真的在問(wèn)，只是作為過(guò)渡的應(yīng)景性的隨口一問(wèn)）——“同學(xué)們，你們舉的例子也都符合結(jié)論吧？”結(jié)果有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了反例，從教師“感到突然，也感到奇怪”的反應(yīng)中可以看出，教師的預(yù)設(shè)并沒(méi)有“讓學(xué)生尋找反例”這一教學(xué)環(huán)節(jié)，由此也可以看出這位教師在以往的“找規(guī)律”教學(xué)中也沒(méi)有“讓學(xué)生尋找反例”這一教學(xué)習(xí)慣。這不符合科學(xué)探究的本義，雖然對(duì)真命題教材來(lái)說(shuō)，尋找反例屬于多此一舉，但我們的教學(xué)卻不能視之為多此一舉，因?yàn)槟阋阎洹罢妗?，而學(xué)生尚在求“真”。

接下來(lái)的課堂，從學(xué)生舉出反例之后教師的應(yīng)對(duì)來(lái)看，我們可以發(fā)現(xiàn)，教師對(duì)教材的研究并不透徹。“釘子板上是圍不出圓的”這一回答真的可以成為反對(duì)反例的理由嗎？

如果深究教材內(nèi)容，我們可以發(fā)現(xiàn)“釘子板上的多邊形”不過(guò)是皮克公式的“替身”。皮克公式是奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)的一個(gè)計(jì)算點(diǎn)陣中多邊形的面積公式。數(shù)學(xué)科普讀物《格點(diǎn)和面積》也介紹了什么是格點(diǎn)以及面積的主要內(nèi)容：一張方格紙，上面畫(huà)著縱橫兩組平行線(xiàn)，相鄰平行線(xiàn)之間的距離都相等，這樣兩組平行線(xiàn)的交點(diǎn)，就是所謂格點(diǎn)，怎樣用格點(diǎn)的個(gè)數(shù)去計(jì)算平面上有限區(qū)域的面積，或者反過(guò)來(lái)，在平面上已知面積的一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)至少有多少個(gè)格點(diǎn)?！陡顸c(diǎn)和面積》就是這樣圍繞著格點(diǎn)和面積這個(gè)主題，講述了數(shù)學(xué)上一些有用的問(wèn)題。

由此我們可以作這樣的推斷，“釘子板上的多邊形”的原型是“格點(diǎn)圖中的多邊形”。而教材為何要把研究背景放在釘子板上呢？更多的是考慮到釘子板上圍圖形是小學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的活動(dòng)，也是學(xué)生在低年級(jí)已經(jīng)做過(guò)的事，有著豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并且這樣的呈現(xiàn)方式富有童趣，給了學(xué)生玩數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。然而，這一小小的改變，也可能會(huì)蒙蔽學(xué)生的眼睛。課中生2的回答“釘子板上是圍不出圓的”，從教材表面看，不可說(shuō)不對(duì)，但從知識(shí)本質(zhì)看，就難以服眾。如果教師知道了這些，就不會(huì)肯定生2的看法，而對(duì)生1的申辯“但可以畫(huà)出來(lái)啊”倍加關(guān)注并借機(jī)發(fā)揮，把“釘子板上的多邊形”及時(shí)轉(zhuǎn)到“格點(diǎn)圖中的多邊形”，引導(dǎo)學(xué)生看到教材背后的知識(shí)真相。之后，引導(dǎo)學(xué)生去尋找問(wèn)題的真解——“因?yàn)閳A不是多邊形”。這一生成性問(wèn)題也在提醒我們，教師在教學(xué)時(shí)，先要找到源知識(shí)，這樣才能讓教學(xué)內(nèi)容不會(huì)偏離本質(zhì)太遠(yuǎn)，課終也就會(huì)向?qū)W生指明知識(shí)的發(fā)展方向，介紹皮克公式和《格點(diǎn)和面積》一書(shū)，開(kāi)闊學(xué)生的視野。

最后，附帶一提的是，本節(jié)課雖然是找規(guī)律類(lèi)型的課，但它附屬在“用字母表示數(shù)”單元后，那么我們就不能忘記另一個(gè)教學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生在找規(guī)律的過(guò)程中復(fù)習(xí)和鞏固“用字母表示數(shù)”的知識(shí)。不過(guò)，要讓學(xué)生在表述規(guī)律的時(shí)候能夠主動(dòng)想到用字母表示數(shù)以及用字母式表示數(shù)量關(guān)系，僅僅靠像課中教師那樣依靠知識(shí)的優(yōu)越性——“這句話(huà)怎么表示可以更簡(jiǎn)潔”來(lái)牽線(xiàn)搭橋，還不足以體現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)屬性——“用字母表示數(shù)演繹了‘?dāng)?shù)’到‘代數(shù)’的一次飛躍，它體現(xiàn)了一個(gè)數(shù)從‘確定’到‘不確定’的變化趨勢(shì)”。在縮寫(xiě)水平上運(yùn)用字母，只展示用字母表示數(shù)的簡(jiǎn)潔性，會(huì)讓學(xué)生存在認(rèn)識(shí)上的局限性——將符號(hào)概括水平上的運(yùn)用和音節(jié)縮寫(xiě)水平上的運(yùn)用混為一談。從教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)看，學(xué)生并不覺(jué)得“多邊形面積是邊上釘子數(shù)的一半”（注：用“多邊形面積數(shù)是邊上釘子數(shù)的一半”的表述更為科學(xué)）這一關(guān)系句表述煩瑣，這一尷尬局面的解決之道是，我們應(yīng)該抓住多邊形的面積、邊上釘子數(shù)以及形內(nèi)釘子數(shù)等數(shù)據(jù)的“在變化”，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生想到用字母來(lái)表示這種“變化”。換一句話(huà)說(shuō)就是，我們應(yīng)展示用字母表示數(shù)的概括性，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生真正理解用字母表示數(shù)的本質(zhì)——“不是因?yàn)椴恢肋@個(gè)數(shù)量是多少，而是因?yàn)檫@個(gè)已知的數(shù)量在不斷的變化中”。

綜上所述，我們不難發(fā)現(xiàn)“釘子板上的多邊形”這節(jié)課有兩條教學(xué)線(xiàn)索：教學(xué)的明線(xiàn)是讓學(xué)生尋找“釘子板上的多邊形”中存在的規(guī)律，教學(xué)的暗線(xiàn)是讓學(xué)生尋找“用字母表示數(shù)”中存在的規(guī)律。雙線(xiàn)并進(jìn)，或許就是這節(jié)課作為綜合實(shí)踐活動(dòng)課的意義所在：“綜合”成就課的內(nèi)容，“實(shí)踐”成就課的價(jià)值，“活動(dòng)”成就課的形式。

（江蘇省宜興市環(huán)科園實(shí)驗(yàn)小學(xué) 214200

江蘇省無(wú)錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 214101）