用黎曼積分的定義求無窮和式的極限

杜超雄

摘 要： 利用定積分的定義求極限是現行數學分析教材和高等數學教材上無窮和式的極限的計算的一種重要方法，不少參考文獻也著力總結和歸納該方法.但是，幾乎沒有文獻研究除定積分外的其他黎曼積分對應的無窮和式的極限問題.本文著力于從黎曼積分的定義出發，構造相關的無窮和式極限問題.

關鍵詞： 黎曼積分 無窮和式 極限

對于無窮和式的極限問題，可以通過先求出無窮和式的表達式再求極限，但是當其無窮和式的表達式不易求出來時，常常考慮利用定積分的定義計算該類問題.利用定積分的定義求極限是現行的數學分析教材和高等數學教材上無窮和式的極限的計算的一種重要方法，不少參考文獻（如[1-4]）也著力總結和歸納該方法.其實，定積分是黎曼積分的一種，而黎曼積分的定義也是由極限方式給出的.那么，我們是否可以構造相應的利用黎曼積分的定義進行求解的極限問題呢？文獻[5]雖然看到了這一點，但所論述的仍然是利用定積分定義求極限問題.本文試圖在此基礎上作延拓，以供同行在教學中參閱或者供高校學生參考.

其實，對于幾類黎曼積分的定義，均是以無窮和式的極限方式給出.既然如此，一些相關的無窮和式可以考慮用黎曼積分的定義求解.

1.幾何形體上黎曼積分的統一的定義

當然，對于第一類曲線積分和第一類曲面積分而言，其定義也是由極限的方式給出，因此也可以構造出一些相關的無窮和式的習題，這里不再一一敘述.我們撰寫本文的目的僅僅在于喚起廣大理工科大學生學習積分的興趣，并在學習數學知識時能夠融會貫通、舉一反三，同時供同行參考.

參考文獻：

[1]劉濤.定積分的定義在求無窮和式極限中的應用[J].中國西部科技，2010，3：86.

[2]徐立峰.定積分極限問題中的三種典型方法及應用[J].高等數學研究，2011，14（1）：59-62.

[3]丁韞，楊曉春.了解積分—求和[J].大學數學，2013，29（5）：144-147.

[4]康旺強.一個積分極限問題的推廣[J].黑龍江科學，2014，5（4）：172-173.

[5]閆仰奎，董學碧.黎曼積分與多值函數的極限[J].山西大學學報（自然科學版），1998，21（2）：107-109.

[6]歐陽光中，等.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2008，第三版.

本課題受湖南省教育廳重點科研項目（14A132）和邵陽學院教改項目（2013JG08）資助.