用黎曼積分的定義求無窮和式的極限

杜超雄

摘 要： 利用定積分的定義求極限是現(xiàn)行數(shù)學(xué)分析教材和高等數(shù)學(xué)教材上無窮和式的極限的計算的一種重要方法，不少參考文獻也著力總結(jié)和歸納該方法.但是，幾乎沒有文獻研究除定積分外的其他黎曼積分對應(yīng)的無窮和式的極限問題.本文著力于從黎曼積分的定義出發(fā)，構(gòu)造相關(guān)的無窮和式極限問題.

關(guān)鍵詞： 黎曼積分 無窮和式 極限

對于無窮和式的極限問題，可以通過先求出無窮和式的表達式再求極限，但是當(dāng)其無窮和式的表達式不易求出來時，常常考慮利用定積分的定義計算該類問題.利用定積分的定義求極限是現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析教材和高等數(shù)學(xué)教材上無窮和式的極限的計算的一種重要方法，不少參考文獻（如[1-4]）也著力總結(jié)和歸納該方法.其實，定積分是黎曼積分的一種，而黎曼積分的定義也是由極限方式給出的.那么，我們是否可以構(gòu)造相應(yīng)的利用黎曼積分的定義進行求解的極限問題呢？文獻[5]雖然看到了這一點，但所論述的仍然是利用定積分定義求極限問題.本文試圖在此基礎(chǔ)上作延拓，以供同行在教學(xué)中參閱或者供高校學(xué)生參考.

其實，對于幾類黎曼積分的定義，均是以無窮和式的極限方式給出.既然如此，一些相關(guān)的無窮和式可以考慮用黎曼積分的定義求解.

1.幾何形體上黎曼積分的統(tǒng)一的定義

當(dāng)然，對于第一類曲線積分和第一類曲面積分而言，其定義也是由極限的方式給出，因……