第5講 “圖形的變化”復(fù)習(xí)精講

康松

5.1 圖形的對(duì)稱(chēng)

核心知識(shí)梳理

圖形的對(duì)稱(chēng)主要內(nèi)容包括軸對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)的有關(guān)概念、性質(zhì)與應(yīng)用，垂直平分線、角平分線等基本圖形的概念、性質(zhì)與判定，作對(duì)稱(chēng)圖形及圖案設(shè)計(jì)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系等.

重點(diǎn)難點(diǎn)考點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)解析

中考中對(duì)圖形對(duì)稱(chēng)的考查，既有以選擇、填空題形式出現(xiàn)的難度較小的基礎(chǔ)題，也有依托于三角形、四邊形、函數(shù)圖象、圓等內(nèi)容命制的中、高難度的綜合題，還有一些題目要求在網(wǎng)格中畫(huà)I對(duì)稱(chēng)圖形，開(kāi)放的圖案設(shè)計(jì)題和圖形的折疊與拼圖問(wèn)題也是中考中的熱點(diǎn)題型.主要考查圖形對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、相關(guān)的圖案設(shè)計(jì)、與圖形的對(duì)稱(chēng)相關(guān)的計(jì)算和邏輯推理證明等，考查對(duì)稱(chēng)畫(huà)圖和棚關(guān)的推理計(jì)算以解答題為主，圖形對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是重點(diǎn)，如識(shí)別生活中的圖案或幾何圖案是否具有對(duì)稱(chēng)特征、對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用、利用對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案、用坐標(biāo)表示對(duì)稱(chēng)等都是圍繞這一性質(zhì)進(jìn)行的.在作對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，要注意對(duì)稱(chēng)軸及其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，要正確確定關(guān)鍵點(diǎn).對(duì)稱(chēng)圖形與兩個(gè)圖形成對(duì)稱(chēng)這兩個(gè)概念間的區(qū)別是一個(gè)難點(diǎn)：對(duì)稱(chēng)圖形指的是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，而兩個(gè)圖形成對(duì)稱(chēng)指的是兩個(gè)圖形之問(wèn)的位置關(guān)系，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.從運(yùn)動(dòng)的角度來(lái)看，成對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的任何一個(gè)可以看作由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)得到，一個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ)經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)拓展而成.

規(guī)律方法總結(jié)

圖形的對(duì)稱(chēng)是全等變換，全等的圖形不一定是對(duì)稱(chēng)的，但對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形一定是全等的.要深入理解圖形的對(duì)稱(chēng)的概念與性質(zhì)，分析圖形變換時(shí)的不變量，加強(qiáng)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，探討解決圖形對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的方法和規(guī)律.提高探究能力.

重要考點(diǎn)題型例析

一、設(shè)計(jì)圖案

例1 （2014.荊門(mén)）如圖l，在4x4的正方形網(wǎng)格嚕-，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，左上角陰影部分足一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形（簡(jiǎn)稱(chēng)格點(diǎn)正方形）.若再作一個(gè)格點(diǎn)正方形，并涂上陰影，使這兩個(gè)格點(diǎn)正方形無(wú)重疊.且組成的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這個(gè)格點(diǎn)正方形的作法共有（）.

A.2種

B.3種

C.4種

D.5種

解析：固作出如圖2所示的四個(gè)格點(diǎn)正方形，可使組成的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，即這個(gè)格點(diǎn)正方形的作法共有4種.故選C.

反思：此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)以及中心對(duì)稱(chēng)沒(méi)計(jì)圖案，正確把握相關(guān)定義足解題關(guān)鍵，利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)以及中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)分析得出符合題意的圖形即可，注意網(wǎng)格不是所要求的圖形.

二、中心對(duì)稱(chēng)圖形

例2 （2014.聊城）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180。，得到△A1B1C1，則點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)分別為（）.

A. A1（ -4 ， -6） ，B1（ -3 ，-3） ，C1（ -5 ，-1 ）

B. A1（-6，-4） ，B1（-3 ，-3） ， C1 （ -5 ，-1 ）

C. A1（-4 ， -6） ，B1（-3 ，-3 ） ，C1（-l ，-5 ）

D. A 1（-6，-4） ，B1（-3 ，-3） ， C1（-l ，-5 ）

解析：將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180。，得到其中心對(duì)稱(chēng)圖形△A1BlC1，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A，B，C關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，B1，C1的位置，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫(xiě)出坐標(biāo)即可，△A1B1C1如圖4所示，A1（-4，-6），B1（-3，-3），C1（-5，-1）.故選A.

反思：本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題

例3 （2014.資陽(yáng)）如圖5，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點(diǎn)，且AE=3，點(diǎn)Q為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則△BEQ周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____.

解析：連接BD，DE，如圖6.由四邊形ABCD足正方形，可知點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，故DE的長(zhǎng)即為BQ+QE的最小值.因DE=、（）=5，故△BEQ周長(zhǎng)的最小值=DE+BE=5+1=6.

反思：本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，熟知軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.連接BD，DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，故DE的長(zhǎng)即為BQ+QE的最小值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

四，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

例4（2014.新疆）如圖7，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90。、E為AB上一點(diǎn)，分別以ED，EC為折痕將兩個(gè)角（∠A，∠B）向內(nèi)折起，點(diǎn).A，B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處.若AD=3，BC=5，則EF的值是（）.

A. ＼/Ts

B. 2＼TB

c.＼/l7

D. 2 ＼[17

解析：先根據(jù)折疊的性質(zhì)得EA =EF，BE=EF，DF=4 D=3.CF=CB=5，則AB=2EF，DC=8，再作DH⊥BC于H，如圖8，由于AD∥BC，∠B=90。，則可判斷四邊形ABHD為矩形，所以DH=AB=2EF，HC=BC-BH=BC-AD=2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理計(jì)算出DH =2、/15所以EF=＼/15.故選A.

反思：本題考查了折疊的性質(zhì)，也考查了勾股定理，折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，

中考命題預(yù)測(cè)

1.正方形的對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)為（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）.

3.△ABO與△A1B10在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖9所示，它們關(guān)于點(diǎn)0成中心對(duì)稱(chēng)，其中點(diǎn)A（4，2），則點(diǎn)A，的坐標(biāo)是（）.

A.（4，-2）

B.（-4，-2）

C.（-2，-3）

D.（-2，-4）

4.如圖10所示，把△ABC經(jīng)過(guò)一定的變換得到△A'B'C’，如果△ABC上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），那么這個(gè)點(diǎn)在△A'B'C'中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（

）.

A.（-x，y-2）

B.（-x，y+2）

C.（-x+2，-y）

D.（-x+2，y+2）

5.如圖1 1，銳角三角形ABC中，直線PL為BC的垂直平分線，直線BM為∠ABC的平分線，PL與BM相交于P點(diǎn)，若∠A=600，∠ACP=240，則∠ABP的度數(shù)是（）.

A.240

B.300

C.320

D.360

6.在棋盤(pán)中建立如圖12所示的直角坐標(biāo)系，三顆棋子A，0，B的位置如圖12，它們的坐標(biāo)分別是（-1，1），（0，O），（1，0）.

（1）如圖13，添加棋子C，使四顆棋子A，0，B，C成為一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出該圖形的對(duì)稱(chēng)軸.

（2）若在其他格點(diǎn)位置添加一顆棋子P，使四顆棋子A，O，B，P成為軸對(duì)稱(chēng)圖形，請(qǐng)直接寫(xiě)出棋子P的位置的坐標(biāo).（寫(xiě)出2個(gè)即可）

5.2 圖形的平移和旋轉(zhuǎn)

核心知識(shí)梳理

通過(guò)將圖形平移、旋轉(zhuǎn)，在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)圖形不變的幾何性質(zhì)，是研究幾何問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論的有效工具.圖形的移動(dòng)主要內(nèi)容包括平移、旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)，利用平移、旋轉(zhuǎn)作出圖形、設(shè)計(jì)圖案和分析解決問(wèn)題，用坐標(biāo)表示圖形變換等.用坐標(biāo)表示圖形變換，是從數(shù)的角度用代數(shù)的方法研究圖形變換，將圖形變換從數(shù)和形兩方面統(tǒng)一起來(lái).許多圖形可以由基本圖形變換而成，平移和旋轉(zhuǎn)都是全等變換，不改變圖形的形狀和大小.

重點(diǎn)難點(diǎn)考點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)解析

中考常常會(huì)要求在限定條件下作出簡(jiǎn)單平面圖形移動(dòng)后的圖形，或要求運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算、推理、探究等，旋轉(zhuǎn)圖形與中心對(duì)稱(chēng)圖形的聯(lián)系與區(qū)別是難點(diǎn)也是易錯(cuò)點(diǎn)，要有清晰明確的認(rèn)識(shí).中心對(duì)稱(chēng)圖形足旋轉(zhuǎn)圖形的一個(gè)特例，是圖形繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180。后能與自身重合，而旋轉(zhuǎn)圖形是把一個(gè)圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度.

規(guī)律方法總結(jié)

在作已知圖形平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形時(shí)，關(guān)鍵是確定已知圖形中的一些特殊點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即要正確確定關(guān)鍵點(diǎn)，對(duì)于圖形的平移作圖，要注意平移方向及距離；對(duì)于圖形的旋轉(zhuǎn)作圖，要注意旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度，

重要考點(diǎn)題型例析

一、平移的性質(zhì)

例l （2014.邵陽(yáng)）某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展動(dòng)手操作活動(dòng)，設(shè)計(jì)了如圖l所示的三種圖形，現(xiàn)計(jì)劃用鐵絲按照?qǐng)D形制作相應(yīng)的造型，則所用鐵絲的長(zhǎng)度關(guān)系是（）.

A.甲種方案所用鐵絲最長(zhǎng)

B.乙種方案所用鐵絲最長(zhǎng)

C.丙種方案所用鐵絲最長(zhǎng)

D.三種方案所用鐵絲一樣長(zhǎng)

解析：由圖形可得出，甲所用鐵絲的長(zhǎng)度為2a+2b，乙所川鐵絲的長(zhǎng)度為2a+2b，丙所用鐵絲的長(zhǎng)度為2a+2b.故三種方案所用鐵絲一樣長(zhǎng).故選D.

反思：此題主要考查了生活中的平移現(xiàn)象，得出各圖形中鐵絲的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.分別利用平移的性質(zhì)得出各圖形中所用鐵絲的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出答案.

例2 （2014.欽州）如圖2，△A 'B'C’是△ABC經(jīng)過(guò)某種變換后得到的圖形，如果△ABC中有一點(diǎn)p的坐標(biāo)為（a，2），那么變換后它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_____.

解析：由圖2可知，A（-4，3），A’（1，一1），所以平移規(guī)律為向右5個(gè)單位，向下4個(gè)單位.因P（a，2），故塒應(yīng)點(diǎn)（）的坐標(biāo)為（a+5，-2）.

反思：本題考查平移，觀察圖形得到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵，根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、A’的坐標(biāo)確定出平移規(guī)律，然后寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可.

二、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

例3（2014.萊蕪）如圖3，AB為半圓的直徑，且AB=4，半圓繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A'的位置，則圖中陰影部分的面積為（）.

反思：本題考查了扇形面積的計(jì)算以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得出陰影部分的面積等于扇形ABA’的面積加上半圓面積再減去半圓面積，即為扇形面積.

三、旋轉(zhuǎn)中心的確定

例4 （2014.煙臺(tái)）如圖4，將△ABC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900得到△A 'B'C’，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）.

A.（1，1）

B.（1，2）

C.（1，3）

D.（1，4）

解析：將△ABC以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△A’B’C’，故點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A’，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B’，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C’.作線段AA'和CC'的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為（1，2），如圖5.故旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為（1，2）.故選B.

反思：本題考查平面直角坐標(biāo)系與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特別是旋轉(zhuǎn)中心的確定，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C’，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)中心在線段AA’的垂直平分線上，也在線段CC’的垂直平分線上，即兩垂直平分線的交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心.

中考命題預(yù)測(cè)

1.如圖6.將△ABC沿BC方向平移2cm得到△DFF，若△ABC的周長(zhǎng)為16 cm，則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為（）.

A. 16 cm

B.18 cm

C.20 cm

D.22cm

2.如圖7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（3，4），將0A繞坐標(biāo)原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至OA’，則點(diǎn)A’的坐標(biāo)是______ .

3.如圖8.將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△A 'B'C，連接AA’，若∠1=20。，則∠B的大小是（）.

A.70。

B.65。

C.60。

D.55。

4.如圖9，如果把△ABC的頂點(diǎn)4先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)A’點(diǎn)，連接A'B，則線段A'B與線段AC的關(guān)系是（）

A.垂直

B.相等

C.平分 D.平分且垂直

5.將一次函數(shù)（）的圖象向上平移2個(gè)單位，平移后，若y>0，則x的取值范圍是（）.

A.x>4

B.x>-4

C.x>2

D.x>-2

6.如圖10，△ABC繞點(diǎn)/i順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到△AB'C'.若∠BA C=90。，AB=AC=（），則圖中陰影部分的面積等于_____ .

7.如圖11，BC與CD重合，∠ABC=∠CDE=90。，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得到.請(qǐng)你利用尺規(guī)作出旋轉(zhuǎn)中心O（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，注意最后用墨水筆加黑），并直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角度.

5.3 圖形的相似與解直角本角形

核心知識(shí)梳理

相似是圖形的一種變換，是在全等變換基礎(chǔ)上的拓展與延伸，主要內(nèi)容包括比例的基本性質(zhì)，線段比和黃金分割，相似圖形、相似多邊形及相似三角形的概念、性質(zhì)、判定與應(yīng)用，圖形位似和應(yīng)用，對(duì)于銳角三角函數(shù)主要研究正弦、余弦，正切等概念，直角三角形中的邊角關(guān)系和解直角三角形的內(nèi)容，銳角三角函數(shù)是解直角三角形的基礎(chǔ)，解直角三角形是銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，研究銳角三角函數(shù)的直接基礎(chǔ)是有關(guān)相似三角形的一些結(jié)論，解直角三角形主要依據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理等內(nèi)容，因此相似三角形和勾股定理等是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ).

重點(diǎn)難點(diǎn)考點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)解析

相似多邊形的有關(guān)性質(zhì)以及相似三角形的判定是重點(diǎn).位似變換是一種特殊的相似變換，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊也是互相平行的，相似也是指圖形間的一種相互關(guān)系，但它與“全等圖形的形狀、大小完全相同”不同，這兩個(gè)圖形僅僅形狀相同，大小不一定相同，其中一個(gè)圖形可以看成是另一個(gè)圖形按一定比例放大或縮小而成的，這種變換是相似變換.當(dāng)放大或縮小的比例為1時(shí)，這兩個(gè)圖形就是全等的，全等是相似的一種特殊情況，易錯(cuò)點(diǎn)主要有位似中心的確定、相似比的順序性等.

銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的解法是重點(diǎn)，銳角三角函數(shù)的概念是難點(diǎn)也是關(guān)鍵.難點(diǎn)在于銳角三角函數(shù)的概念反映了角度與數(shù)值之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵在于只有正確掌握了銳角三角函數(shù)的概念，才能真正理解直角三角形中邊、角之問(wèn)的關(guān)系，從而才能利用這些關(guān)系解直角三角形.銳角三角函數(shù)的概念與一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)有所不同，它反映的不是數(shù)值與數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是角度與數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但它們都反映了變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本質(zhì)上是一致的，在理解上這是難點(diǎn).解直角三角形“化整為零，積零為整…‘化曲為直，以直代曲”的基本思想是難點(diǎn)，俯角、仰角、坡度等常用術(shù)語(yǔ)含義是易錯(cuò)點(diǎn).

規(guī)律方法總結(jié)

要充分注意相似與全等之間的一般與特殊的關(guān)系，注意和全等的知識(shí)作類(lèi)比，通過(guò)把多邊形分割為j角形、作全等三角形等，可以把要證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題，綜合應(yīng)用以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，從而把問(wèn)題從未知轉(zhuǎn)化為已知，從復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單.要注意加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形時(shí)，都要盡量根據(jù)題意畫(huà)出圖形幫助分析，找到邊、角等的關(guān)系，再通過(guò)計(jì)算、推理等使實(shí)際問(wèn)題得到解決.在中考中單獨(dú)考查相似三角形的題目一般難度較低，高難度試題大多與函數(shù)、方程、圓、四邊形等結(jié)合，主要考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想；解直角三角形應(yīng)用題重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)建模思想和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

重要考點(diǎn)題型例析

一、相似三角形的判定與性質(zhì)

例1 （2014.天津）如圖1，在□ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，則EF：FC等丁（）.

A.3：2

B.3：1

C：.1：1

D.1：2

反思：此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是確定相似三角形.根據(jù)題意得出△DEF≌△BCF，進(jìn)而得出線段成比例，利用點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)得出答案即可.

例2 （2014年泰安市中考題，有改動(dòng)）在△ABC和△A1B1C1中，下列兩個(gè)命題：

反思：本題考查-命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定方法.利用相似三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可.

二、解直角三角形的應(yīng)用

例3（2014.安徽）如圖2，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路l1和l2問(wèn)有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30。角，長(zhǎng)為20 km；BC段與AB，CD段都垂直，長(zhǎng)為10 km，CD段長(zhǎng)為30 km.求兩高速公路問(wèn)的距離（結(jié)果保留根號(hào)）.相交于點(diǎn)P，請(qǐng)從圖中找出一組相似的三角形：_________.

6.如圖7.將邊長(zhǎng)為6 cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊的中點(diǎn)E處，折痕為FH，點(diǎn)C落在Q處，EQ與BC交于點(diǎn)G，則△EBG的周長(zhǎng)是_____cm.

7.為解決停車(chē)難的問(wèn)題，在如圖8-段長(zhǎng)56米的路段開(kāi)辟停車(chē)位，每個(gè)車(chē)位是長(zhǎng)5米、寬2.2米的矩形，矩形的邊與路的邊緣成450角，那么這個(gè)路段最多可以劃出_____個(gè)這樣的停車(chē)位.（）

5.4

視圖與投影

核心知識(shí)梳理

本部分內(nèi)容主要包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概念，正投影的成像規(guī)律，視圖、三視圖等概念，三視圖的位置和度量規(guī)定，一些基本幾何體的三視圖，簡(jiǎn)單立體圖形（包括相應(yīng)的表面展開(kāi)圖）與它的三視圖的相互轉(zhuǎn)化.畫(huà)形狀簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖，是由立體圖形得到相應(yīng)平面圖形的過(guò)程；由三視圖想出相應(yīng)物體形狀，是由平面圖形得到相應(yīng)立體圖形的過(guò)程.這從不同角度反映了平面圖形與相應(yīng)的立體圖形是如何聯(lián)系的，

重點(diǎn)難點(diǎn)考點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)解析

視圖與投影在中考中多以中低難度的選擇題、填空題的形式考查，常見(jiàn)的題型為已知幾何體求視圖或已知視圖還原幾何體，也有將視圖和求幾何體的面積、體積相結(jié)合的題目.本部分內(nèi)容與直觀圖形的關(guān)系密切，需要在圖形形狀方面進(jìn)行想象和判斷，中考考查的多是識(shí)圖、畫(huà)圖、制作模型等類(lèi)型的問(wèn)題，較少涉及定量的計(jì)算.三視圖是重點(diǎn)，包括三視圖的成像原理、三視圖的位置和度量規(guī)定、一些基本幾何體的三視圖、簡(jiǎn)單立體圖形（包括相應(yīng)的表面展開(kāi)圖）與它的三視圖的相互轉(zhuǎn)化等，掌握立體圖形與相應(yīng)平面圖形的聯(lián)系是實(shí)現(xiàn)立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，要掌握這種聯(lián)系，不僅需要認(rèn)識(shí)從立體圖形到平面圖形的轉(zhuǎn)化過(guò)程，還需要認(rèn)識(shí)從平面圖形到立體圖形的轉(zhuǎn)化過(guò)程，即需要從兩方面雙向地認(rèn)識(shí)這種聯(lián)系，易錯(cuò)點(diǎn)主要有弄錯(cuò)觀察方向、畫(huà)錯(cuò)三視圖、錯(cuò)誤判斷幾何體、平行投影與中心投影混淆等.

規(guī)律方法總結(jié)

“由物畫(huà)圖”可以使人認(rèn)識(shí)到立體圖形的投影是什么樣的平面圖形，“由圖想物”可以使人把相關(guān)的平面圖形在頭腦中綜合成為相應(yīng)的立體圖形，兩者是互相聯(lián)系的，同樣的投影規(guī)則（規(guī)律）在兩類(lèi)問(wèn)題中都是考慮問(wèn)題的依據(jù)，“由物畫(huà)圖”可以看成是一個(gè)分解（或不同角度分析）的過(guò)程，而“由圖想物”是一個(gè)綜合的過(guò)程.解決問(wèn)題有時(shí)需要分解，有時(shí)需要綜合，有時(shí)需要兩者結(jié)合，主視圖反映物體的長(zhǎng)和高，俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，左視圖反映物體的寬和高.畫(huà)三視圖時(shí)，主視圖、俯視圖要長(zhǎng)對(duì)正，主視圖、左視圖要高平齊，俯視圖、左視圖要寬相等，要把物體的邊緣、棱、頂點(diǎn)都體現(xiàn)出來(lái)，看得見(jiàn)的部分的輪廓線畫(huà)成實(shí)線，看不見(jiàn)的部分的輪廓線畫(huà)成虛線，判斷平行投影與中心投影時(shí)，分別過(guò)每個(gè)物體的頂端及其影子的頂端作一條直線，若兩直線平行，則為平行投影：若兩直線相交，則為中心投影，其交點(diǎn)處就是光源位置.

重要考點(diǎn)題型例析

一、簡(jiǎn)單組合體的三規(guī)圖

例1 （2014.株洲）下列幾何體中，有一個(gè)幾何體的主視圖與俯視圖的形狀不一樣，這個(gè)幾何體是（）.A.正方體

B.圓柱

C.圓錐

D.球

解析：選項(xiàng)A主視圖、俯視圖都是正方形，故A不符合題意；選項(xiàng)B主視圖、俯視圖都是矩形，故B不符合題意；選項(xiàng)C主視圖是三角形、俯視圖是圓形，故C符合題意；選項(xiàng)D主視圖、俯視圖都是圓，故D不符合題意，故選C.

反思：本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.

例2（2014.自貢）如圖1.是由幾個(gè)小立方體所搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置上的立方體的個(gè)數(shù)，這個(gè)幾何體的主視圖是（）.

解析：由俯視圖可知，小正方體只有2排，前排從左至右個(gè)數(shù)依次為l，1，l；后排右側(cè)為2個(gè).故選D.

反思：本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，由三視圖判斷幾何體，是常考的基礎(chǔ)題型，考查空間想象能力、繪圖能力.由俯視圖，想象出幾何體的特征形狀，然后按照三視圖的要求，得出該幾何體的主視圖和俯視圖，

例3（2014.淄博）如圖2是三個(gè)大小不等的正方體拼成的幾何體，其中兩個(gè)較小正方體的棱長(zhǎng)之和等于大正方體的棱長(zhǎng).該幾何體的主視圖、俯視圖和左視圖的面積分別是S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關(guān)系是（）.

A.S1>S2>S3

B.S3> S2>S1

C.S2>53>S1

D.S1>S3>S2

解析：主視圖的面積是i個(gè)正方形的面積之和，左視圖的面積是兩個(gè)正方形的面積之和，俯視圖的面積是一個(gè)正方形的面積，S1>S3>S2，故選D.

反思：本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，分別得出三視圖是解題關(guān)鍵，根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，從左面看得到的圖形是左視圖，根據(jù)面積的大小，可得答案.

三，由三視圖確定幾何體的體積

例4（2014.呼和浩特）如圖3是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求得該幾何體的體積為（）.

A.60π

B.70π

C.90π

D.160π

解析：觀察三視圖發(fā)現(xiàn)該幾何體為空心圓柱，其內(nèi)圓半徑為3，外圓半徑為4，高為10，所以其體積為lOx（42π-32π）=70π，故選B.

反思：本題考查由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是得到此幾何體的形狀，易錯(cuò)點(diǎn)是得到計(jì)算所需要的相關(guān)數(shù)據(jù).易得此幾何體為空心圓柱，圓柱的體積：底面積x高，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解，

三。確定小立方塊的塊數(shù)

例5（2014.青島）如圖4，是由一些小立方塊所搭幾何體的三種視圖，若在所搭幾何體的基礎(chǔ)上（不改變?cè)┖误w中小立方塊的位置），繼續(xù)添加相同的小立方塊，搭成一個(gè)大正方體，至少還需要

個(gè)小立方塊.

解析：由俯視圖易得最底層有7個(gè)小立方體，由主視圖、左視圖易得第二層有2個(gè)小立方體，第三層有1個(gè)小立方體，那么共有7+2+1=10（個(gè)）小立方體組成，若搭成一個(gè)大正方體，共需4x4x4=64（個(gè)）小立方體，所以還需64-10=54（個(gè)）小立方體，故答案為54.

反思：本題考查由三視圖判斷幾何體.首先根據(jù)該幾何體的三視圖確定需要的小立方塊的塊數(shù)，然后確定搭成一個(gè)大正方體需要的塊數(shù).考查學(xué)生對(duì)三視圖的掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查.

中考命題預(yù)測(cè)

1.下列立體圖形中，俯視圖是正方形的是（）.

2.如圖5.從左面觀察這個(gè)立體圖形，能得到的平面圖形是（）.

3.如圖6.由四個(gè)小正方體組成的幾何體中，若每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)都是1，則該幾何體俯視圖的面積是______.

4.如圖7，一個(gè)幾何體由5個(gè)大小相同、棱長(zhǎng)為l的正方體搭成，下列關(guān)于這個(gè)幾何體的說(shuō)法正確的是（）.

A.主視圖的面積為5

B.左視圖的面積為3

C.俯視圖的面積為3

D.三種視圖的面積都是4

5.在桌上擺著一個(gè)由若干個(gè)相同正方體組成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖8所示，設(shè)組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)為n，則n的最小值為_(kāi)____.