第7講 “統計與概率”復習精講

魏祥勤

7.1

統計

核心知識梳理

本節知識塊主要有收集、整理、描述和分析數據；用扇形圖、條形圖及頻數分布表、頻數分布直方圖和頻數分布折線圖表示數據，計算一組數據的平均數和方差，用樣本的平均數、方差估計總體的平均數和方差，根據統計結果作出合理的判斷和預測.

重點難點考點易錯點解析

復習重點：總體、個體、樣本的概念，計算平均數，選擇合適的統計量表示數據的集中程度，列頻數分布表，畫頻數分布直方圖和頻數分布折線圖，解決簡單的實際問題，用樣本的某些特征估計總體的相應特征.

復習難點：計算一組數據的加權平均數，計算樣本的方差，運用方差估計幾組數據的離散程度，用樣本估計總體的思想方法的應用.

高頻考點：對于調查方式，通常是考查抽樣調查與普查：對于數據分析，通常是考查一組數據的平均數、眾數與中位數，計算一組數據的方差，運用方差對幾組數據的穩定性作出判斷，對于統計圖表的分析，通常是扇形圖、條形圖或頻數分布圖表綜合，對數據進行分析、整理與描述，結合樣本信息對總體進行估計.

易混易錯點：扇形統計圖中角度與百分比的轉換出錯；總體、個體與樣本描述不當；平均數、眾數、中位數的單位遺漏；對于兩組數據的方差的比較，辨析數據穩定性出錯.

復習目標：了解總體、個體與樣本，以及頻數分布的意義和作用，掌握用扇形圖、直方圖、折線圖表示數據，列頻數分布表，畫頻數分布直方圖和頻數分布折線圖，解決簡單的實際問題，選擇合適的統計量表示數據的集中程度，計算極差與方差，用樣本的平均數、方差估計總體的平均數與方差，根據統計結果作出合理的判斷和顱測：體會抽樣調查的必要性，用樣本估計總體的思想及統計對決策的作用.

規律方法總結

1.幾種統計圖的特點

條形統計圖能清楚地表示每部分的具體數據，是從頻數、頻率上分析數據；折線統計圖能清楚地反映數據的變化情況，主要是數據變化趨勢上比較分析數據；扇形統計圖能清楚地表示各部分在總體中所占的百分比主要從頻率或百分比上作比較分析.

2.畫頻數分布直方圖的一般步驟

（I）計算最大值與最小值的差（極差）；（2）確定組距和組數；（3）確定分點；（4）列頻數分布表；（5）畫出頻數分布直方圖.

3.普查和抽樣調查的選擇判斷

（1）兩者的識別關鍵是弄清“調查范圍”，若是對所有考察對象做的全面調查，就是普查；若是對部分考察對象做的調查，就是抽樣調查；（2）普查具有調查結果精確的優點，但是當我們考察的對象多得數不勝數時，或者考察會對考察對象帶來損傷破壞的時候，或者考察所需時間、人力、物力有限時，普查就受到了局限，抽樣調查就具有了無可比擬的優越性.

4.計算時注意：（1）當數據是偶數個時，中位數有可能不是原數據中的某個數字.（2）眾數的個數有時不唯一.

重要考點題型例析

一、普查與抽樣調查

例1 （2014.內江）下列調查中：①調查本班同學的視力；②調查一批節能燈管的使用壽命；③為保證“神舟9號”的成功發射，對其零部件進行檢查；④對乘坐某班次客車的乘客進行安檢，其中適合采用抽樣調查的是（）.

A.①

B.②

C.③

D.④

解析：①適合普查，故①不適合抽樣調查；②調查具有破壞性，故適合抽樣調查，故②符合題意；③調查要求準確性，故③不適合抽樣調查；④安檢適合普查，故④不適合抽樣調查.故選B.

反思：本題考查了抽樣調查和全面調查的區別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考察的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調查：對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查.

二、總體、個體、樣本和樣本容量

例2 （2014.巴中）今年我市有4萬名學生參加中考，為了了解這些考生的數學成績，從中抽取2 000名考生的數學成績進行統計分析，在這個問題中，有下列說法：①這4萬名考生的數學中考成績的全體是總體；②每個考生是個體；③2 000名考生是總體的一個樣本；④樣本容量是2 000.其中說法正確的有（）.

A.4個

B.3個

C.2個

D.1個

解析：8這4萬名考生的數學中考成績的全體是總體；每個考生的數學中考成績是個體；2 000名考生的中考數學成績是總體的一個樣本，樣本容量是2 000.故正確的是①④.故選C.

反思：本題考查了總體、個體、樣本、樣本容量的概念，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關鍵是明確考察的對象.總體是指考察的對象的全體，個體是總體中的每一個考察的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數目.總體、個體與樣本的考察對象是相同的，所不同的是范圍的大小，樣本容量是樣本中包含的個體的數目，不能帶單位.

三、平均數、眾數、中位數的應用

例3 （2014.齊齊哈爾）現測得齊齊哈爾市扎龍自然保護區六月某五天的最高氣溫分別為27、30、27、32.34（單位：℃），這組數據的眾數和中位數分別是（）.

A.34、27

B.27、30

C.27、34

D.30、27

解析：27出現了2次，出現的次數最多，則眾數是27；把這組數據從小到大排列為27，27，30，32，34，最中間的數是30，則中位數是30.故選B.

反思：此題考查了眾數和中位數，眾數是一組數據中出現次數最多的數，將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數），叫作這組數據的中位數.注意根據數據特征，眾數有時個數不唯一，眾數是數據中的某個數或是某幾個數，而中位數只有一個，根據數字特征，中位數不一定是數據中的數字.平均數唯一，不一定與數據中的數字相同.在這一紕數據中l是出現次數最多的，故眾數是1；將這組數據從小到大排列為-2，1，1，2，4，6，處于中間位置的兩個數是1，2，那么由中位數的定義可知，這組數據的中位數足（1+2）÷2=1.5；極差為6-（-2）=8.故選D.

反思：此題考查平均數、眾數、中位數、極差的意義.平均數足指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數：一組數據lf1…現次數最多的數據叫作眾數；中位數足將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中問的那個數（或最中問兩個數的平均數）；極差是一組數據中最大數據與最小數據的差.

例6 （2014.三明）甲、乙兩支儀仗隊的隊員人數相同，平均身高相同，身高的方差分別為（），則甲、乙兩支儀仗隊的隊員身高更整齊的是____（填“甲”或“乙”）.

解析：由（），故甲、乙兩支儀仗隊的隊員身高更整齊的是甲.

反思：本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數據波動大小的機量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定，一般地，對于已知兩組數據的方差，確定某，組數據更穩定的問題，結合方差意義，直接進行判斷即可.

五、根據平均數與方差進行合理的判斷

例7 （2014.東營）市運會舉行射擊比賽，某校射擊隊從甲、乙、丙、丁四人中選拔一人參賽，在選拔賽中，每人射擊10次，計算他們10發成績的平均數（環）及方差如下表，清你根據表l中數據選一人參加比賽，最合適的人選是

.

解析：因甲、乙、丙、丁四個人中甲和丙的平均數最大且相等，四個人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩定，故綜合平均數和方差兩個方面說明丙成績既高又穩定.故最合適的人選是丙.

反思：本題考查根據平均數和方差的意義進行合理的判斷，一般地，在平均數相等或相差很小的情況下，選擇穩定性較好（方差較小）的數組，另一方面在方差相等或相差很小的情況下，選擇平均數較好的數組.對于平均數與方差綜合的辨析問題，應當從平均數與方差兩個角度綜合思考，選擇平均成績較好且穩定性也較好的數組.

六、根據統計圖、表的信息確定某些數據

例8 （2014.揚州）如圖1，某校根據學生上學方式的一次抽樣調查結果，繪制出一個未完成的扇形統計圖，若該校共有學生700人，則據此估計步行的有

人.

反思：本題考查了扇形統計圖及用樣本估計總體的某些特征等知識，解題的關鍵是從統計圖中得出步行上學學生所占的百分比，運用總體數據乘以樣本中這部分占樣本容量的百分比即可求解.

例9 （2014.柳州）一位射擊運動員在10次射擊訓練中，命中靶的環數如圖2.請你根據表2，完成下列問題：

（1）補充完成下面成績表單（表2）的填寫.

（2）求該運動員這10次射擊訓練的平均成績.

解析：根據折線統計圖中提供的信息，補全統計表：運用平均數計算公式，求出該運動員射擊總環數除以10即可.

（1）由折線統計圖得出第一次射擊環數為8，第二次射擊環數為9，第三次射擊環數為7.

（2）運動員這10次射擊訓練的平均成績：（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5（環）.

反思：本題主要考查了統計表、折線統計圖和平均數的知識，解題的關鍵是能從折線統計圖中正確找出數據表格中缺少的數據，運用平均數計算公式求值，易錯點是不能正確理解折線統計圖中關鍵點的意義.折線圖與條形圖相同的性質是都能夠準確標明某一組的數據，因此折線圖中折線上點的縱坐標，即對應著條形圖上的某一組的頻數.

中考命題預測

1.以下問題，不適合用全面調查的是（）.

A.旅客上飛機前的安檢

B.學校招聘教師，對應聘人員的面試

C.了解全校學生的課外讀書時間

D.了解一批燈泡的使用壽命

2.某中學隨機調查了15名學生，了解他們一周在校參加體育鍛煉時間，列表如表3.

則這15名同學一周在校參加體育鍛煉時間的中位數和眾數分別是（）.

A.6，7

B.7，7

C.7，6

D.6，6

3.在一個有15萬人的小鎮，隨機調查了3 000人，其中有300人看中央電視臺的早間新聞，據此，估計該鎮看中央電視臺早間新聞的約有（）.

A.2.5萬人 B.2萬人 C.1.5萬人 D.1萬人

4.甲、乙、丙、丁四位同學五次數學測驗成績統計如表4.如果從這四位同學中，選出一位成績較好且狀態穩定的同學參加全國數學聯賽，那么應選（）.

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

5.在2014年的體育中考中，某校6名學生的體育成績統計如圖3，則這組數據的眾數、中位數、方差依次是（）.

A.18，18，1

B.18，17.5，3

C.18，18，3

D.18，17.5，1

6.某中學隨機抽查了50名學生，了解他們一周的課外閱讀時間，結果如表5所示.

則這50名學生一周的平均課外閱讀時間是______小時.

7.-組數據按從小到大的順序排列為l，2，3，x，4，5，若這組數據的中位數為3，則這組數據的方差是______________________.

8.某中學對全校1 200名學生進行“校同安全知識”的教育活動，從l 200名學生中隨機抽取部分學生進行測試，成績評定按從高分到低分排列分為A、B、C、D四個等級，繪制了圖4、圖5兩幅不完整的統計圖，請結合圖中所給信息解答下列問題：

（1）本次抽查的學生共有多少人7

（2）將條形統計圖和扇形統計圖補充完整.

（3）求扇形統計圖中“A”所在扇形圓心角的度數.

（4）估計全校“D”等級的學生有多少人.

7.2. 概率

核心知識梳理

本節知識塊主要有概率的意義；用列舉法（包括列表法、樹形圖法）計算簡單事件發生的概率；大量重復試驗中，隨機事件發生的頻率可以作為事件發生概率的估計值；運用概率解決一些實際問題.

重點難點考點易錯點解析

復習重點：明確用列舉法求概率的適用條件、原理和步驟；熟悉運用列表法和樹形圖求概率并能簡單應用，

復習難點：從各種情境中抽象出事物的本質特征，建立數學模型，形成思想方法.

高頻考點：確定事件與隨機事件的辨析；概率的計算；統計與概率綜合問題，

易混易錯點：辨析事件發生的可能性大小時忽視可能事件與確定事件的區別，概率計算中不能用樹形圖或列表法分析事件所有等可能的結果，忽視兩次抽取卡片、摸取小球問題中第一次操作后是否放回之間的區別.

復習目標：熟練掌握用列舉法（包括列表法、樹形圖法）計算簡單隨機事件發生的概率.

規律方法總結

1.事件的區分

事件分不可能事件、可能事件與必然事件，發生的機會：不可能事件發生的機會為0，可能事件發生的機會大于0且小于1，必然事件發生的機會為1.

2.可能事件的定性描述

“不太可能”發生是指發生的可能性很小，但不是0；“很有可能”發生是指發生的機會很大，但不是l00%.

3.游戲的“公平”與“不公平”

“公平”的游戲是指事件發生的機會是相等的，“不公平”的游戲是指事件發生的機會是不相等的.

4.事件發生的規律性

在每次試驗中事件發生與否具有不穩定性，但隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率將逐漸趨于穩定，反映在折線圖上為“隨著試驗次數增加，折線將穩定在某一數值的左右平穩波動”.

5.頻率與機會的關系

頻率與機會在試驗中可以非常接近，但不一定相等，在卡H同的條件下，可以通過大量試驗得出的頻率值來估計機會的大小.

6.模擬試驗的要求

不管是實物模擬或者是計算機模擬，都必須保證試驗是在相同條件下進行，否則會影響試驗結果.

7.畫樹形圖的方法及樹形圖、列表法的選擇

在用樹形圖表示等可能事件時，對于相同的物體或事物要進行編號，通常是當一次試驗中涉及三個或更多因素時，用樹形圖法，而試驗的因素不超過兩個時，用列表法比較合適.

8.概率的意義

概率表示一個事件發生的可能性大小，也就是大量重復試驗中得到的頻率值，或者說是事件發生的機會，必然事件的概率是l，即P（必然事件）=1，不可能事件的概率是0，即P（不可能事件）=0.隨機事件的概率介于0與1之間.若A是隨機事件，則O

9.概率的計算

簡單概率的計算，就是要求用分數來表示簡單事件發生的可能性大小，從概率的意義來看，要求某一事件發生的概率，必須且只需弄清兩個數字：操作過程中所有等可能發生的結果數量，及該事件發生的結果數量，按照公式求出概率值，P（所關注的事件）=所關注事件的結果數量；對于復雜事件發生的概率，可所有等可能的結果以借助“樹形圖”或“列表法”進行計算.

重要考點題型例析

三、事件的判斷

例1 （2014.聊城）下列說法中不正確的是（）.

A.拋擲一枚硬幣，硬幣落地時正面朝上是隨機事件

B.把4個球放人三個抽屜中，其中一個抽屜中至少有2個球是必然事件

C.任意打開七年級下冊數學教科書，正好是97頁是確定事件

D.一個盒子中有白球m個，紅球6個，黑球n個（每個除了顏色外都相同）.如果從中任取一個球，取得的是紅球的概率與不是紅球的概率相同，那么m與n的和是6

解析：根據必然事件、不可能事件、隨機事件的慨念以及概率的求法即可作出判斷，選項C：中任意打開七年級下冊數學教科書，正好是97頁是不確定事件，故此說法錯誤.故選C.

反思：考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念以及概率的求法.必然事件是指在一定條件下一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.

二、用概率公式求概率

例2（2014.湖州）已知一個布袋里裝有2個紅球，3個白球和n個黃球，這些球除顏色外其余郜棚同.若從該布袋里任意摸出1個球，是紅球的概率為

，則α等于（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：8首先根據題意，運用概率計算公式構造含有字母α的方程，通過解方程即可確定α的值.根據題意得（），解得α=l，經檢驗，α=l是原分式方程的解故選A

反思：此題考查了概率公式的應用，運用概率計算公式建立方程模型，通過解方程即可確定待求字母α的值.根據題目信息得出分式方程，因此求解后應當對字母α的值進行檢驗.

例3 （2014.廈門）一個圓形轉盤被平均分成紅、黃、藍、白4個扇形區域，向其投擲一枚飛鏢，飛鏢落在轉盤上，則落在黃色區域的概率是

.

解析：根據概率公式，求出黃色區域的面積與總面積的比即可解答.圓形轉盤平均分成紅、黃、藍、白 4個

反思：本題考查了幾何概率的運用，用到的知識點是概率計算公式，對于與面積有關的概率計算問題，在解答時可以運用面積法，得出所求事件的概率為相應的面積與總面積之比.

三、用列表法或樹形圖法求概率

例4 （2014.南寧）第45屆世界體操錦標賽將于2014年10月3日至12日在南寧隆重舉行，屆時某校將從小記者團內負責體育賽事報道的3名同學（2男1女）中任選2名前往采訪，那么選出的2名同學恰好是一男一女的概率是______.

解析：列表得出所有等可能的情況數，找出選出的2名同學恰好是一男一女的情況數，即可求出概率，記兩個男同學為男1、男2，列表如表1.

反思：此題考查了列表法與樹形圖法，注意列表或畫樹形圖時，不可忽視所選取的應當是不同的兩個人.即表格中左上、右下方向上的對角線上情況不存在，畫樹形圖時，第二次選取時，每一種情況下只有不同的兩種情況，因此總情況個數是3x2=6.

例5 （2014.玉林、防城港）一個盒子內裝有大小、形狀相同的四個球，其中紅球1個、綠球1個、白球2個，小明摸出一個球不放回，再摸出一個球，則兩次都摸到白球的概率是（）.

解析：首先根據題意畫出樹形圖，然后由樹形圖求得所有等可能的結果與兩次都摸到白球的情況，再利用概率公式即可求得答案.

記兩個白球為白1、白2，畫樹形圖如圖1.件A，事件4有2種情況，故（）.故答案為C.

反思：本題考查的是用列表法或畫樹形圖法求概率，列表法或畫樹形圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹形圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，注意題目中的條件“摸出一個球不放回，再摸出一個球”，因此摸球所有等可能的結果的個數是4x3=12，與摸出一球記下顏色后放回情況不同，另外題目中有兩個白球，為了準確表示前后兩次摸球時摸出的是哪一個白球，需要用數字1、2對白球進行標注，當紅球與綠球不是1個時，也按照此法標注.

四、概率與方程、函數、幾何圖形有關計算的綜合問題

例6（2014.本溪）已知關于x的一元二次方程X2+bx+c=0，從-1，2，3三個數中任取一個數，作為方程中6的值，再從剩下的兩個數中任取一個數作為方程中。的值，能使該一元二次方程有實數根的概率是______ .

解析：先利用樹形圖展示所有6種等可能的結果，再根據判別式的意義得到當b=2，c=-l；b=3，c=-l；b=3，c=2時，該一元二次方程有實數根，然后根據概率公式計算.畫樹形圖如圖2.

五、統計與概率的綜合問題

例8（2014.十堰）據報道，“國際剪刀石頭布協會”提議將“剪刀石頭布”作為奧運會比賽項目.某校學生會想知道學生對這個提議的了解程度，隨機抽取部分學生進行了一次問卷調查，并根據收集到的信息進行了統計，繪制了下面兩幅尚不完整的統計圖如圖4、圖5.請你根據統計圖中所提供的信息解答下列問題：

（1）接受問卷調查的學生共有____名，扇形統計圖中“基本了解”部分所對應扇形的圓心角為____；請補全條形統計圖.

（2）若該校共有學生900人，請根據上述調查結果，估計該校學生中對將“剪刀石頭布”作為奧運會比賽項目的提議達到“了解”和“基本了解”程度的總人數.

（3）“剪刀石頭布”比賽時雙方每次任意出“剪刀”、“石頭”、“布”這三種手勢中的一種，規則為：剪刀勝布，布勝石頭，石頭勝剪刀，若雙方出現相同手勢，則算打平.若小剛和小明兩人只比賽一局，請用樹狀圖或列表法求兩人打平的概率.

反思：此題考查了條形統計圖、扇形統計圖以及用列表法與樹狀圖法求概率.弄清題意，從不同的統計圖中得到必要的信息，及明白游戲規則是解本題的關鍵，注意條形統計圖與扇形統計圖中的信息轉換，條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據，扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小，注意扇形統計圖中每一部分占樣本的百分比與扇形統計圖中扇形圓心角之間的關系轉換，圓心角的大小等于某部分占樣本的百分比與360。的乘積.結合扇形統計圖、條形統計圖中的已知數據，運用部分占整體的百分比及這部分的頻數，確定整體數量，即樣本容量.另外注意樣本的某些特征對總體的對應特征進行預測的思想方法的靈活運用.概率的汁算注意選擇適當的方法表示所有等可能的情況，運川概率公式求解.

5.在一個不透明的袋子中裝有若干個除顏色外形狀大小完全相同的球，如果其中有3個白球，且摸出白球的概率是（），那么袋子中共有球________個.

6.抽屜里放著黑白兩種顏色的襪子各1雙（除顏色外其余都相同），在看不見的情況下隨機摸出兩只襪子，它們恰好同色的概率是 ________.

7.天水市某校從三名男生和兩名女生中選出兩名同學作為“伏羲文化節”的志愿者，則選出一男一女的概率為________.

8.在四邊形ABCD中，（1）AB∥CD，（2）AD∥BC，（3）A B=CD，（4）AD=BC，在這四個條件中任選兩個作為已知條件，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的概率是________.

9.在一個不透明的口袋里裝有分別標有數字-3、-1、0、2的四個小球，除數字不同外，小球沒有任何區別，每次試驗先攪拌均勻.

（1）從中任取一球，求抽取的數字為正數的概率.

（2）從中任取一球，將球上的數字記為α，求關于x的一元二次方程ax2-2ax+a+3=0有實數根的概率.

（3）從中任取一球，將球上的數字作為點的橫坐標記為x（不放回）；再任取一球，將球上的數字作為點的縱坐標，記為y.試用畫樹狀圖（或列表法）表示出點（x，y）所有可能出現的結果，并求點（x，y）落在第二象限內的概率.