第8講 “綜合與實(shí)踐問題”復(fù)習(xí)精講

劉東升

專題精講

2015年中考將第一次根據(jù)《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011年版）》（以下簡稱“課標(biāo)2011年版”）開展命題工作.“課標(biāo)2011年版”塒丁“綜合與實(shí)踐”有明確的規(guī)定，比如“結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問題的方案，并加以實(shí)施的過程，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過程，并在此過程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題：會反思參與活動的全過程，將研究的過程和結(jié)果形成報告或小論文，并能進(jìn)行交流，進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).”相信圍繞相關(guān)要求的考查“綜合與實(shí)踐”方面的中考試題一定會在2015年得到進(jìn)一步的重視和強(qiáng)化，比如對實(shí)際情境問題選擇、建立模型，解決問題：或者嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題的考查；或者引導(dǎo)傾聽參與問題解決的過程；或者在數(shù)學(xué)操作活動中獲得活動經(jīng)驗(yàn)的考查.下面我們選擇相關(guān)考題歸類講解，反思解題思路、思維陷阱或者易錯點(diǎn)分析.

重點(diǎn)題型例析

一、建立模型解決情境問題

例l （2014.陜西）問題探究：

（l）如圖1.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形，那么請畫出滿足條件的一個等腰△APD，并求出此時BP的長.

（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC=60。，BC=12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn).當(dāng)AD=6時.BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠ EQF=90。，求此時BQ的長.

問題解決：

（3）有一山莊，它的平面圖為如圖3的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB.現(xiàn)只要使∠AMB大約為60。，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳.已知∠A=∠E= ∠D=90。，AB=270 m，A E=400 m，ED=285 m，CD=340 m.問：在線段CD上是否存在點(diǎn)M.使∠AMB=60。？若存在，請求出符合條件的DM的長；若不存在，請說明理由.

解析：第一步，“開放答案想意圖，預(yù)熱蓄勢向上登”. 由于問題只要給出一個符合要求的答案，所以是比較簡單的.但是值得深入思考的是，有幾個點(diǎn)是符合要求的呢？根據(jù)等腰三角形第三個頂點(diǎn)的分類方法，如圖4，以AD為腰（再細(xì)分點(diǎn)A、D為頂點(diǎn)）、以AD為底進(jìn)行分類，容易得出三個可能的解答，進(jìn)一步根據(jù)勾股定理可求出相應(yīng)的BP的長（BPl=4-、/7，BP2=2，BP3=、/7）.這樣的思考對于后續(xù)問題的求解是有幫助的.

第二步，“思路引向圓周角，上下呼應(yīng)再求值”，

（2）由于菱形的對角線平分一組對角，故在折疊的時候想到先折出∠BCA的平分線，確定D點(diǎn)，再由CD的垂直平分線確定另外兩個頂點(diǎn)E、F

先折∠ACB的平分線（使CB落在CA上），壓平，折線與AB的交點(diǎn)為D；再折DC的垂直平分線（使C與D重合），壓平，折線與BC，CA的交點(diǎn)分別為E、F如圖10.展平后四邊形DECF就是菱形，

理由：由CB落在CA上，折線與AB的交點(diǎn)為D.故∠ACD=∠BCD.由點(diǎn)C與D重合，折線與BC，AC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，可得CF=DF=DE=CE.即四邊形DECF為菱形.

反思：這道操作題，實(shí)質(zhì)是一個比較傳統(tǒng)的平行四邊形的判定，動態(tài)問題中的四邊形面積的最值的問題，解決問題的方法主要是應(yīng)用平行四邊形的判定方法，以及通過銳角三角函數(shù)及相似三角形的對應(yīng)邊成比例，用一條線段的長表示出其他線段的長，然后把問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值.當(dāng)前不少中考試題都是“新瓶裝舊灑”，有一雙“火眼金睛”就能洞察問題本質(zhì)，快速求解.

四、探塞活動與思維經(jīng)驗(yàn)的考查

例4【傾聽理解】

這足一次數(shù)學(xué)活動課上，兩個同學(xué)利用計(jì)算機(jī)軟件探索函數(shù)問題，下面是他們的交流片段：免知識堆砌、圖形繁雜，還要加強(qiáng)各個小題之間的關(guān)聯(lián)與和諧.所以先利用閱讀理解的形式呈現(xiàn)并探究了一些簡單性質(zhì)，這些探究又為“拓廣探索”提供了求解方向，比如，第（2）問需要另求函數(shù)關(guān)系式，第（3）問暗示學(xué)生“MN與m的函數(shù)關(guān)系”.此外，以函數(shù)為載體，入乎其內(nèi)求深入，又要出乎其外思拓展，再如在前兩問中以線段的比值為探究形式，最后一問以等邊三角形、圖形面積為探求表象，也是想在函數(shù)平臺上溝通圖形之間的關(guān)聯(lián).

中考命題預(yù)測

1.將一正方形紙片，按如圖14步驟①、②，沿虛線對折兩次，然后沿③中的虛線剪去一個角，展開鋪平后的圖形是（）.

2.如圖15.已知在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上.BE=2CE，將矩形沿著過點(diǎn)E的直線翻折后，點(diǎn)C、D分別落在邊BC下方的點(diǎn)C’、D'處，且點(diǎn)C'、D'、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，D'F與BE交于點(diǎn)G.設(shè)AB=t，那么△EFG的周長為

（用含t的代數(shù)式表示）.

3.【問題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊的其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究，

【初步思考】

我們將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)∠B是直角時，△ABC≌△DEF

（1）如圖16①，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90。，根據(jù)____ ，可以知道Rt△ABCU≌Rt△DEF

第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF

（2）如圖16②，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角.求證：△，ABC≌△DEF

第二步，如圖17②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，

第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把它折到圖17③中所示的AD處.

第四步，展平紙片，按照所得的D點(diǎn)折出 DE，如圖17④.……

【問題解決】

（1）圖17③中AB=____cm.

（2）你發(fā)現(xiàn)圖17④中有幾個黃金矩形？請都寫出來，并選擇其中一個說明理由.

（3）在圖17③中，連接BD，以AQ、BD為兩直角邊作直角三角形，求該直角三角形斜邊的長.