數學活動經驗積累常見問題的成因及對策

陳春銀

當前，廣大教師對積累數學活動經驗的重要意義已經有了一定的認識，能夠比較自覺地在實踐中多途徑、全方位豐富學生的數學活動經驗。但是，在教學中我們也發現了一些常見問題，比如課堂上往往注重活動形式，表面上轟轟烈烈、異常活躍，實質上表現為假、大、空，學生未能從真正意義上獲得具體而又深刻的活動經驗。對此，教師有必要尋找問題產生的根源，進行正確的歸因分析，并采取有效的對癥措施，不斷豐富和提升學生的活動經驗，從而實現“四基”教學的高效化！

一、活動經驗積累中常見問題及歸因

（一）動手操作“機械化”，直接經驗層次不高

數學活動經驗是在“做”的過程和“思考”的過程中逐步積累的，有效活動經驗的積累必須以有效的數學活動作支撐。在操作活動中，有意義、有目的、有序列的操作利于學生積累正確的操作活動經驗，但是，讓學生機械、生硬地操作則無助于學生直接經驗的有效積累。課堂上，我們常常看到這樣的情況：教師預先設計好操作步驟，讓學生借助操作活動積累活動經驗，建立正確的表象。但一些學生只動手操作卻不能主動思考，只是被動、機械地完成規定程序。

比如在教學“平行四邊形的面積計算公式”時，一位教師進行了這樣的教學設計，要求學生進行如下操作：

（1）沿著平行四邊形的一個頂點畫一條高；

（2）沿高剪出一個三角形和一個梯形；

（3）把三角形沿著平行四邊形的一條底平移，拼成一個長方形。

接著教師讓學生觀察剪拼前后什么不變？并思考：怎樣推導出面積計算公式？在這樣的活動中，學生按部就班完成了規定的操作任務，但是否從真正意義上形成較高層次的“活動經驗”呢？

思考一：學生按圖索驥，只知道畫高，但為什么要沿著高剪開，他們并沒有去體會這樣剪拼的目的。

思考二：沿著平行四邊形四個頂點中的一個頂點畫高，這只是一種剪拼的路徑，教師設計的固定路徑是否限制了學生的思維？事實上，還可以剪出兩個直角梯形去拼，路徑是多樣的。

由此可見，學生在操作活動中缺乏主動思考和創造意識，只是被動完成程序，在教師指定的路上行走，多樣化的路徑以及多樣化中的優化過程被簡單化，學生“動”而不思，難有經驗可言或者經驗的層次不高。

（二）關系理解“膚淺化”，思維經驗活性不夠

數學是研究數量關系和空間形式的科學。學生在理解數量關系、空間形式時，往往未能真正地理解它們的特征，尤其沒有深度構建內在聯系。顯然，這樣的活動經驗建構得不夠深刻，沒有形成一定的活性。

比如教學這樣的一道題：從甲地到乙地，一輛汽車去時平均每小時行80千米，回來時平均每小時行100千米，求這輛汽車來回平均每小時行多少千米。

大部分學生不假思索地列式：（100+80）÷2=90（千米）。他們是這樣理解數量關系的：（去時平均每小時行的千米數+回來時平均每小時行的千米數） ÷2=90（千米）。這樣的理解反映了學生對平均數“移多補少” 體會的粗淺，他們確信這種經驗是正確的，但恰恰反映了學生思維經驗的局限性和片面性；另一方面也表明了學生對去時平均每小時行的千米數、回來時平均每小時行的千米數與來回平均每小時行的千米數沒有區分開來，沒有從這道題的已知信息出發，真正理解“移多補少”的內涵和這類題的關系特征：總路程÷總時間=平均數，而總路程和總時間都是未知的，可以通過假設法、列方程法等來解決問題。學生正確的經驗并未真正積累，需要教師加以比較，引領學生形成正確的經驗。

（三）問題解決“盲動化”，數學經驗比較缺乏

生活中的一些問題轉化為數學問題之后，由于現實生活與學生認知實際存在一定的差距，或者學生對生活情境的無動于衷，造成一些學生看似處于解決問題的狀態，但實質上經驗儲備“一片空白”，處于不理解的狀態，解決問題時顯得盲動，未能構建解決問題的模型。

筆者曾教過這樣一名學生，他的父親是開出租車的，每天送孩子到校上課。有一次，筆者出了這樣一道題：王華乘出租車去5千米處的新華書店購買書籍，出租車起步價8元（3千米以內），以后每增加1千米付1.5元。王華一共付了多少元？

大部分同學都順利地解決了問題，這名學生直接列式：8+1.5×5。我很納悶：為什么每天置身于“乘車情境”體驗乘車生活，卻不能正確解決這樣的實際問題呢？而一些學生很少乘車，卻能夠建構模型呢？

事實表明，有乘車經歷的學生不一定有解決實際問題的經驗，如果不能主動地思考，依然不能形成豐厚的數學活動經驗。

（四）差錯辨析“模糊化”，融錯教育流于形式

在教學中，不少學生在教師的指導下對于學習中出現的差錯雖然能夠糾正，但這樣的糾正往往浮于表面，主要表現為：關注結果、忽視過程，對錯誤的原因沒有刨根問底；依葫蘆畫瓢、未主動建構，訂正過程流于形式；等等。由于學生未能認真有效地反思，這樣的活動有過程但無活動經驗的積累，因而這樣的教學是低效的。

二、解決問題的主要對策

（一）引領自主操作，在比較優化中提升活動經驗

對于操作活動而言，如果只有動手體驗，沒有抽象提煉的過程，將動手操作淪為課堂的一種表演方式，這樣的活動是徒勞而無益的。因此，在教學活動中要強化培養學生的動作思維，幫助學生積累豐富的活動經驗。

以教學“三角形的內角和是180度”這一知識點為例。

一是應當讓學生明確操作的意義，即“為什么這樣操作”，進而引領學生自行設計活動方案，對操作方法有所體驗和感悟，以利于學生實施遷移。教師可以先組織學生交流：三角形按角分類可以分成哪幾類？猜想一下： 為什么有一個角是直角或有一個角是鈍角時就能確定三角形的類型呢？很可能與三角形的什么有關？學生往往作出這樣的猜想：可能與三角形三個角的和有關。教師繼續拋出問題：要探索三角形三個角的和，你準備怎樣設計研究方案？學生通過交流，設計了這樣一些方案：先準備一些不同類型的三角形，然后量一量每個角的度數，再相加；還可以先折一折，將三個角拼在一起，看組成一個怎樣的角（設計這種方案的學生相對較少）……通過設計活動方案，學生積累了活動經驗，對活動的目的有了清晰認識，對操作過程有了自主的設計。

二是探索不同的操作路徑。教師要啟迪學生思考怎樣操作的問題。在各個小組，學生自己選擇方法進行研究，有的采用量一量、算一算的方法；有的采用拼一拼、比一比的方法。在量一量、算一算的活動中，教師為各個小組提供了不同類型的三角形，便于學生進行豐富而深刻的探索。學生通過操作又產生了新的問題：三角形三個角的和接近180°，但不一定正好是180°，有的學生認為：三角形的內角和一定是180°。教師繼續拋出問題：看來，利用算一算的方法還具有一定的誤差！那有沒有其他操作的方法呢？有的小組展示了折一折、撕一撕（這樣操作的學生并不多，教師可以激勵學生展示評價）的過程，將三個角拼在一起，形成了一個平角，一個平角是180°，所以三角形的內角和也是180°。為了進一步驗證，教師借助多媒體進行了拼角過程的演示，讓學生形成了正確的表象。

三是注重操作方法的優化比較。學生真正意義上的積累活動經驗，還在于他們主動尋求有序操作并優化操作過程。在教學“三角形內角和是180度”之后，一名教師設計了一個富有挑戰性的問題：如果給你一個任意的四邊形、五邊形等，你能設計出求內角和的研究方案嗎？學生設計了這樣一些方案：可以先量一量各個角的度數，再相加；還可以折一折或撕一撕，看拼成的角是一個什么角（學生自問：如果大于一個周角怎么辦？）；也可以先分一分，看能不能分成幾個三角形，再用三角形的內角和乘三角形的個數；等等。經過思辨發現：隨著角的個數的增多，量一量、拼一拼的方法都比較麻煩，將這些多邊形分成一些三角形進行研究比較快捷。

顯而易見，操作經驗的獲得不僅僅是靠學生簡單的操作一下就行的，而是建立于明確操作目的、精設操作方案、嘗試多種操作、比較優化方法等系列活動之中，只有這樣，經驗的積累才會豐富、深刻并富有意義。

（二）啟迪準確分析，在拓寬思路中豐實活動經驗

在解決實際問題的活動中，學生分析數量關系、主動建構模型的經驗不足，教師應從學生認知實際出發，引領學生準確分析數量之間的關系，促進學生主動建構模型，不斷豐實活動經驗。

如以下面這道題的教學為例：兩個小隊一共植樹105棵，其中第一小隊植樹棵數是第二小隊的。兩個小隊各植樹多少棵？

教師可以先啟迪學生思考：由“第一小隊植樹棵數是第二小隊的”你想到了什么？在小組里交流。

學生出現了各種各樣的想法：第二小隊植樹棵數是第一小隊的；兩個小隊一共植樹棵數是第二小隊的（1+）；第一小隊植樹棵數是兩個小隊植樹總棵數的， 第二小隊植樹棵數是兩個小隊植樹總棵數的； 設第二小隊植樹x棵，則第一小隊植樹x棵，兩隊一共植樹 （1+）x棵……

教師繼續啟迪學生從不同的角度尋找數量之間的關系，學生思維活躍，解決問題的路徑多種多樣，如：

用整數方法解決：

第一小隊：105÷（2+5）×2

第二小隊：105÷（2+5）×5

用按比例分配的方法解決：

第一小隊：105×

第二小隊：105×

用分數知識解決：

第二小隊： 105 ÷ （1+）

用方程解決：

解：設第二小隊植樹x棵

x+x=105

在這樣的活動中，學生從不同角度分析數量之間的關系，體驗了不同方法的運用，生成了多種解決問題的路徑，獲得了多樣化的基本活動經驗，為學生解決更復雜的數學問題、深度理解數量關系提供了經驗基礎。

（三）注重聯系實際，在建構模型中升華活動經驗

教學實踐表明，生活中的一些問題轉化為數學問題之后，一些學生看似解決了，但他們只是“就事論事”，解決問題或是不合情理，或是不夠優化。

由于部分學生對這樣的“實際生活”缺乏體驗，他們建立了這樣的模型：每次玩個人項目，盡可能每個項目付出的錢數要少，所以絕大部分學生的解答是打水球、水上射擊、參觀水族館（或游泳）等。

針對這樣的問題，教師可以創設一個模擬現實情境，并讓學生進行小組交流：在生活中坐船時，是一個人單獨坐船，還是幾個人合坐一條船？租金怎樣分擔？

通過交流，學生意識到：也可以參與一些集體項目， 每個人可以平均分擔租金。解決問題的模型發生了質的變化：由“每次參加單人項目、盡可能選擇付出錢數少的”到“既可以參加集體項目也可以參加個人項目、盡可能選擇付出錢數少的”。

數學離不開生活，活動經驗來源于對生活的思考。在教師的引領下，學生解決了問題。8÷4=2（元），6÷2=3（元），10=2+3+2+3。因此，最多可以玩四個項目。

由此可見，教學中教師必須聯系學生的生活實際，讓生活經驗促發學生的數學思考，從而促進學生主動建構解決問題的模型。

（四）巧妙實現融錯，在辨析矯正中深化活動經驗

教學中學生會生成許多錯誤，教師如果充分利用這些“差錯”資源，讓學生進行辨析、矯正，經歷思辨、比較過程，可以有效提升學生的思維經驗。

在六年級教學中，對于“正方形的面積與邊長成正比例嗎”這一論題，學生的初始練習錯誤率達40%左右，一周后再次練習錯誤率依然較高。學生一錯再錯，這表明了學生活動經驗尤為膚淺。究其原因，從審題方面看，有的學生審題失誤，將面積看成周長；從思維層面看，有的學生思路不暢，對面積與邊長的關系含糊不清；從糾錯態度看，有的學生應付了事，寫個答案算了；當然，還可能有其他原因。不妨從以下幾個維度幫助學生構建經驗。

經驗之一在于對意義的深度理解。正方形的面積與邊長是兩種相關聯的量，關鍵是看相對應量的兩個數之比的比值是否一定（如下表）。

經驗之二在于辨析知識點易混處。對于正方形的面積與邊長、正方形的周長與邊長而言，它們之間的關系有怎樣的區別？要讓學生對兩個關系進行比較：

正方形的面積÷ 邊長=邊長

正方形的周長÷邊長=4

通過比較可以發現：正方形的面積除以邊長，比值表示邊長，邊長在變化，不符合正比例的意義；而正方形的周長除以邊長，商4，比值一定，所以正方形的周長與邊長成正比例關系。

經驗之三在于審題的認真細致。引領學生觀察，在解決問題時，要細心審題，不能屢錯屢犯。

總之，數學活動經驗的積累是教學的重中之重，教師不僅要善于發現問題，進行歸因分析，還要善于尋求有效的方法對癥下藥，促進學生活動經驗不斷積累，學習水平不斷提高，從而實現教學的新境界！

（江蘇省如皋經濟技術開發區實驗小學 226500）