壓縮映射原理的應用探討

戴馨 林燕

摘 要： 本文通過幾個具體實例探討了壓縮映射原理在線性方程組解的唯一性、數列極限的存在性、方程的近似解、積分方程的解這四個方面的應用，闡明了壓縮映射在數學各分支中應用的靈活性和廣泛性.

關鍵詞： 壓縮映射 線性方程組 數列 方程

泛函分析是20世紀30年代形成的數學分科，泛函分析在數學的其他分支中應用也很廣泛.度量空間是泛函分析中一個最簡單和常用的概念.壓縮映射原理作為泛函分析中完備度量空間概念的應用，它在許多關于存在唯一性定理的證明（如：代數方程、分析、積分方程、微分方程）中起著重要作用.下面我們通過具體實例，深入探討壓縮映射原理在線性方程組解的唯一性、數列極限的存在性、方程的近似解、積分方程的解這四個方面的具體應用.

定義[1]：設（X，d）是度量空間，T是X到X中的映射，若存在數a，0

幾何意義：x和y經過壓縮映射T映射后，像的距離縮短，不超過原像距離的a倍.

定理（壓縮映射原理）[1]：設X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，則T有且只有一個不動點，即方程Tx=x，有且只有一個解.

1.線性方程組解的唯一性

例1[2]：設a ，i，j=1，2，…，n，為一組實數，適合條件0< （a -δ ） <1，其中δ 當i=j時為1，否則為0，求證：線性方程組

a x +a x +…+a x =b a x +a x +…+a x =b …？搖？搖…？搖？搖…？搖？搖…a x +a x +…+a x =b

對任何一組固定的實數b ，b ，…，b ，必有唯一的一組解x ，x ，…，x .

證：記A=a ？搖 a ？搖 … ？搖a a ？搖 a ？搖 … ？搖a …？搖？搖…？搖？搖…？搖？搖…a ？搖 a ？搖 … ？搖a ，

？坌X，Y∈R ，記X=（x ，x ，…，x ） ，||X|| = ，

d（X，Y）=||X-Y|| ，令F（X）=（E-A）X+b，其中E是n×n階的單位矩陣，b=（b ，b ，…b ） ，則易知F為R →R 的映射.？坌X，Y∈R ，有

D（F（X），F（Y））=d（（E-A）X+b，（E-A）Y+b）

=||（E-A）（X-Y）|| ≤||E-A|| ·||X-Y|| =αd（X，Y）.

其中α=||E-A||= （a -δ ） 是矩陣范數[3]，且0<α<1，故F為壓縮映射.

由壓縮映射原理，F有唯一不動點X.因為