壓縮映射原理的應用探討

戴馨 林燕

摘 要： 本文通過幾個具體實例探討了壓縮映射原理在線性方程組解的唯一性、數列極限的存在性、方程的近似解、積分方程的解這四個方面的應用，闡明了壓縮映射在數學各分支中應用的靈活性和廣泛性.

關鍵詞： 壓縮映射 線性方程組 數列 方程

泛函分析是20世紀30年代形成的數學分科，泛函分析在數學的其他分支中應用也很廣泛.度量空間是泛函分析中一個最簡單和常用的概念.壓縮映射原理作為泛函分析中完備度量空間概念的應用，它在許多關于存在唯一性定理的證明（如：代數方程、分析、積分方程、微分方程）中起著重要作用.下面我們通過具體實例，深入探討壓縮映射原理在線性方程組解的唯一性、數列極限的存在性、方程的近似解、積分方程的解這四個方面的具體應用.

定義[1]：設（X，d）是度量空間，T是X到X中的映射，若存在數a，0

幾何意義：x和y經過壓縮映射T映射后，像的距離縮短，不超過原像距離的a倍.

定理（壓縮映射原理）[1]：設X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，則T有且只有一個不動點，即方程Tx=x，有且只有一個解.

1.線性方程組解的唯一性

例1[2]：設a ，i，j=1，2，…，n，為一組實數，適合條件0< （a -δ ） <1，其中δ 當i=j時為1，否則為0，求證：線性方程組

a x +a x +…+a x =b a x +a x +…+a x =b …？搖？搖…？搖？搖…？搖？搖…a x +a x +…+a x =b

對任何一組固定的實數b ，b ，…，b ，必有唯一的一組解x ，x ，…，x .

證：記A=a ？搖 a ？搖 … ？搖a a ？搖 a ？搖 … ？搖a …？搖？搖…？搖？搖…？搖？搖…a ？搖 a ？搖 … ？搖a ，

？坌X，Y∈R ，記X=（x ，x ，…，x ） ，||X|| = ，

d（X，Y）=||X-Y|| ，令F（X）=（E-A）X+b，其中E是n×n階的單位矩陣，b=（b ，b ，…b ） ，則易知F為R →R 的映射.？坌X，Y∈R ，有

D（F（X），F（Y））=d（（E-A）X+b，（E-A）Y+b）

=||（E-A）（X-Y）|| ≤||E-A|| ·||X-Y|| =αd（X，Y）.

其中α=||E-A||= （a -δ ） 是矩陣范數[3]，且0<α<1，故F為壓縮映射.

由壓縮映射原理，F有唯一不動點X.因為

X=F（X）？圳X=（E-A）X+b？圳AX=b.

故對任何一組固定的實數b ，b ，…，b ，必有唯一的一組解x ，x ，…，x .

2.數列極限的存在性

例2：已知a =0，a = ，a = ，…，a = ，…，求數列{a }的極限.

解：令f（x）= ，x∈[0，+∞），則f：[0，+∞）→[0，+∞）.由于 f′（x）= ，故對任意x，y∈[0，+∞），存在ξ介于x與y之間，使得

|f（x）-f（y）|=|f′（ξ）||x-y|≤ |x-y|.

記α= ∈（0，1），則f是壓縮映射.由壓縮映射原理，方程x=f（x）有唯一解，記為x .

由已知a =0，a =f（a ），n=1，2，…，則

|a -a |=|f（a ）-f（a ）|≤α|a -a |≤…≤a |a -a |.

對？坌n>m，有

|a -a |≤|a -a |+…+|a -a |

≤（α +…+α ）|a -a |

=a · |a -a |

< |a -a |→0，（n，m→∞）.

故{a }是柯西數列，從而收斂.記其極限為a.在a =f（a ）兩邊取極限n→∞，由的連續性知，a=f（a），即a是方程x=f（x）的解，故a=x .解方程x=f（x）= 得x = ，所以{a }的極限為 .

3.方程的近似解

例3：求方程x=1-x 的近似解

分析：若令f（x）=1-x ，則f：[0，1]→[0，1]，對任意x ，x ∈[0，1]，存在ξ介于x 與x 之間，使得|f（x ）-f（x ）|=4ξ |x -x |.在[1/ ，1]的范圍內，f不是壓縮映射，因此不能直接對f應用壓縮映射原理.然而我們可以適當改變迭代格式，使之滿足壓縮映射原理.為此，引進一個參數λ（λ≠0），令G（x）=（1-λ）x+λ（1-x ），則方程x=1-x 等價于x=G（x）.適當選擇參數λ，可使得|G′（x）|≤q<1.

解：取λ= 則當x∈[0，1]時，|G′（x）|=|1-λ-4λx |=| - x |≤ .所以G：[0，1]→[0，1]且？坌x ，x ∈[0，1]，有|G（x ）-G（x ）| ≤ |x -x |.故G是壓縮映射，由壓縮映射原理，方程x=G（x）有且只有一個解，記為x ，即方程x=1-x 有且只有一個解x .

于是我們可以采取迭代格式x =G（x ）= + .由于

故{x }是柯西數列，所以收斂，且極限即為方程的唯一解x .

4.積分方程的解

例4[4]：考慮常微分方程的初值問題： =F（t，x）x（0）=x .設F（t，x）對變量x關于t一致地滿足局部Lipschitz條件：？堝δ>0及L>0，使得當|t|≤h，以及|x -x |≤δ，|x -x |≤δ時，有|F（t，x ）-F（t，x ）|≤L|x -x |.F（t，x）在[-h，h]×[x -δ，x +δ]上連續，

M=max{|F（t，x）|（t，x）∈[-h，h]×[x -δ，x +δ]}.

求證：若h

分析：該問題的解等價于求連續函數x（t），使之滿足如下積分方程：

為此考慮映射T（x）（t）=x +？蘩 F（τ，x（τ））dτ.這樣求該初值問題的解，等價于求C[-h，h]到自身的映射T的不動點x.

證：令B（x ，δ）是C[-h，h]中的閉球{x∈C[-h，h]： |x（t）-x |≤δ}，由于對任意x∈B（x ，δ），有

由Lh<1知，T是B（x ，δ）到B（x ，δ）中的壓縮映射.而B（x ，δ）是C[-h，h]的閉子空間，故（B（x ，δ），d）完備，應用壓縮映射原理知，存在x∈B（x ，δ），使得x（t）為該問題的解.

參考文獻：

[1]程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文，王漱石.實變函數與泛函分析基礎（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]王康喆.淺談Banach壓縮映射定理的應用[J].科技信息（學術研究），2008，13：53.

[3]徐樹方，高立，張平文.數值線性代數（第二版）[M].北京：北京大學出版社，2013.

[4]張恭慶，林源渠.泛函分析講義（上冊）[M].北京：北京大學出版社，2001.

資助項目：中國礦業大學（北京）2014年“大學生創新訓練計劃”項目“線性算子理論及其應用”（Y20141701）；北京市人才培養共建項目“數學系人才培養模式的改革與創新探索”.