高中數學“數形結合”問題再探究

嚴莉

摘 要： 高中數學中“數形結合”是一種非常重要的思想.“數”與“形”是數學中兩個最基本的概念，一個用抽象的數字描述問題，一個用直觀的圖形呈現問題，既分析其代數含義又分析其幾何含義.

關鍵詞： 數形結合 轉換 對應 思維

高中數學中，“數形結合”是一種非常重要的解題方法和思維方式.“數”與“形”是數學中兩個最基本的概念，一個用抽象的數字描述問題，一個用直觀的圖形呈現問題.熟練地應用“數形結合”方法，可以做到把“數”變成“形”，把“形”變成“數”，根據自己的需求相互結合應運.但是，我們該如何用“數形結合”解決問題呢？我認為應該注意以下三點.

一、切實把握“數”與“形”的對應關系

數形結合的核心是“數”與“形”的對應關系，熟知這些對應關系，才能溝通兩者的聯系，才能把握住每個研究對象在數量關系上的性質與相應的圖形特征之間的聯系，以求相輔相成、相互轉化.

例1：已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（a，b≠0，α-β≠kπ，k∈Z）.求證：cos = .

分析：由條件式的結構，讓人很容易聯想到直線方程，即點A（cosα，sinα）與B（cosβ，sinβ）是直線ax+by=c上的兩點，另外又由cos a+sin a=1及cos β+sin β=1，可知，A、B兩點在單位圓x +y =1上，即點A、B是直線ax+by=c與單位圓x +y =1的交點條件所具有的幾何意義，使我們聯想到易于用數形結合處理問題.

解：在平面直角坐標系中點A（cosα，sinα）與B（cosβ，sinβ）是直線l：ax+by=c與單位圓x +y =1的兩個交點，如圖1所示，從而有

|AB| =（cosα-cosβ） +（sinα-sinβ） =2-2cos（α-β）

又∵單位圓的圓心到直線的距離d=

由平面幾何知識可知

|OA| -（ |AB|） =d ，即1- =d =

以證得

cos =

在明確了所給條件的幾何意義之后，還要根據圖形的性質分析清楚其結論的幾何意義，這樣才能選擇恰……