高中數學“數形結合”問題再探究

嚴莉

摘 要： 高中數學中“數形結合”是一種非常重要的思想.“數”與“形”是數學中兩個最基本的概念，一個用抽象的數字描述問題，一個用直觀的圖形呈現問題，既分析其代數含義又分析其幾何含義.

關鍵詞： 數形結合 轉換 對應 思維

高中數學中，“數形結合”是一種非常重要的解題方法和思維方式.“數”與“形”是數學中兩個最基本的概念，一個用抽象的數字描述問題，一個用直觀的圖形呈現問題.熟練地應用“數形結合”方法，可以做到把“數”變成“形”，把“形”變成“數”，根據自己的需求相互結合應運.但是，我們該如何用“數形結合”解決問題呢？我認為應該注意以下三點.

一、切實把握“數”與“形”的對應關系

數形結合的核心是“數”與“形”的對應關系，熟知這些對應關系，才能溝通兩者的聯系，才能把握住每個研究對象在數量關系上的性質與相應的圖形特征之間的聯系，以求相輔相成、相互轉化.

例1：已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（a，b≠0，α-β≠kπ，k∈Z）.求證：cos = .

分析：由條件式的結構，讓人很容易聯想到直線方程，即點A（cosα，sinα）與B（cosβ，sinβ）是直線ax+by=c上的兩點，另外又由cos a+sin a=1及cos β+sin β=1，可知，A、B兩點在單位圓x +y =1上，即點A、B是直線ax+by=c與單位圓x +y =1的交點條件所具有的幾何意義，使我們聯想到易于用數形結合處理問題.

解：在平面直角坐標系中點A（cosα，sinα）與B（cosβ，sinβ）是直線l：ax+by=c與單位圓x +y =1的兩個交點，如圖1所示，從而有

|AB| =（cosα-cosβ） +（sinα-sinβ） =2-2cos（α-β）

又∵單位圓的圓心到直線的距離d=

由平面幾何知識可知

|OA| -（ |AB|） =d ，即1- =d =

以證得

cos =

在明確了所給條件的幾何意義之后，還要根據圖形的性質分析清楚其結論的幾何意義，這樣才能選擇恰當的方法完成證明.

二、運用“形”的直觀解決數量關系

靈活應用“數”與“形”的轉化，提高思維靈活性和創造性.運用數形結合的方法解決數學問題，但并不是要將每一道數學題都用圖像法呈現出來去解，或是把每一副數學圖像都轉化成數學方程來解，而是根據題目的具體情況.

若數學問題的條件或結論的表達式有明顯的幾何意義，或通過轉化可與之建立聯系時，就可以探求圖形的關系著手解答.

例2：已知C<0，試比較C，2 ，（ ） 的大小.

分析：這是比較數值大小的問題，用比較法會在計算中遇到一些困難，在同一坐標系中，畫出三個函數：y=x、y=2 、y=（ ） 的圖像位于y左側的部分，如圖2所示，很快就可以從三個圖像的上、下位置關系得出正確的結論.

函數圖像及性質與代數運算巧妙地結合，會給解題帶來極大的方便.

三、利用數量關系揭示幾何圖形的性質

由“數”到“形”，靈活運用解析的思想，可以幫助我們更快捷地應對數學上的幾何題.

例3：如圖3所示，已知圓C 的半徑為r （n=1，2，…），它們均與大小為2θ（θ為銳角）的定角∠AOB的兩邊OA、OB相切，并且圓C 與C 彼此外切，又r ∠r ，且r =1.試證明：不管在這組圓C 中任意取出多少個（順序不論），所有取出的圓面積之和必小于半徑r= 的圓面積.

分析：分析結論可知，應從證明 =常數q（|q|<1）入手，而圓與圓外切，可構造直角三角形并利用三角比的關系得出相鄰兩圓的半徑間關系.

解：設圓C 與C 分別與OB相切于B 和B ，作C C⊥C B 于C，則CC =r -r .在Rt△C C C中，sinθ= = ，

得 =

設圓C 的面積為S ，則 =（ ） 為定值.

∵0

∴數列﹛S ﹜是首項為S =π×1 =π，其公比為（ ） 的無窮等比數列.故所有圓面積的和為S=S +S +…+S +…= = = =π（ ） .

若從圓簇C 中任意取出n個，則其面積和必小于所有圓面積和S.

本題充分利用圖形的幾何特性，其中重要的一步sinθ= 就是由圓與圓外切的特性得到化“形”為“數”的.

總的來講，采用數形結合思想解數學題，就是對題目中的條件與結論，既分析其代數含義又分析其幾何含義，根據自己的需要在數與形之間靈活的轉換和應運，將代數和幾何統一起來解決問題的方法.