函數三劍客之函數定義域

張文麗

摘 要： 函數作為高中數學的主線，貫穿整個高中數學的始終，而函數的定義域是構成函數的三要素之一，注重定義域對解題結果的影響，培養學生良好的解題習慣，提高他們的解題能力.

關鍵詞： 定義域 值域 奇偶性 函數最值

函數作為高中數學的主線，貫穿整個高中數學的始終.函數的定義域是構成函數的三要素之一，若對函數的定義域沒有特別的說明，則似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會得到錯誤的答案，所以在解函數題中應向學生強調定義域對解題的作用與影響，培養學生良好的解題習慣對提高學生的數學素養有很大的作用.

一、函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤的.如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為200m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為（100-x）米，由題意得：

S=x（100-x）

故函數關系式為：S=x（100-x）.

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量的范圍，也就說學生的解題思路不夠嚴密.因為當自變量取負數或不小于100的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍：0

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就表明學生思維缺乏嚴密性.若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出思維的嚴密性和良好的解題習慣.

二、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定.因此在求函數值域時，應注意函數定義域.如：

例2：求函數y=4x-5+ 的值域.

錯解：令t= ，則2x=t +3

∴y=2（t +3）-5+t=2t +t+1=（t+ ） + ≥

故所求的函數值域是[ ，+∞）.

解析：經換元后，應有t≥0，而函數y=2t +t+1在[0，+∞）上是增函數，

所以當t=0時，y =1.

故所求的函數值域是[1，+∞）.

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要.若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生.也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性.

三、函數最值與定義域

函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大（小）值的問題.如果忽視定義域范圍，就會導致最值的錯誤.如：

例3：求函數y=x -2x-1在[-2，5]上的最值.

解：∵y=x -2x-1=（x -2x+1）-2=（x-1） -2，

∴當x=1時，y =-2.

若按平時的解題思路，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化.這是思維定勢的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性.其實以上結論只是對二次函數y=ax +bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區間[p，q]上，它的最值應分如下情況：

（1）當-

（2）當- >q時，y=f（x）在[p，q]上單調遞減函數f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（3）當p≤- ≤q 時，y=f（x）在[p，q]上最值情況是：

f（x） =f（- ）= ，

f（x） =max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值.

故本題還要繼續做下去：

∵-2≤1≤5

∴f（-2）=（-2） -2×（-2）-1=-1

f（5）=5 -2×5-1=14

∴f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=14

∴函數y=x -2x-3在[-2，5]上的最小值是-1，最大值是14.

這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，則能體現出學生思維的靈活性.

四、復合函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行.如：

例4：指出函數f（x）=log （x -2x）的單調區間.

解：先求定義域：

∵x -2x>0

∴x>2或x<0

∴函數定義域為（-∞，0）∪（2，+∞）.

令u=x -2x，知在x∈（-∞，0）上時，u為減函數，

在x∈（2，+∞）上時，u為增函數.

又∵f（x）=log u在[2，+∞）是增函數.

∴函數f（x）=log （x +2x）在（-∞，0）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數.

即函數f（x）=log （x -2x）的單調遞增區間是（2，+∞），單調遞減區間是（-∞，0）.

在處理復合函數單調性問題時遵循同增異減.如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對復合函數單調性的概念一知半解，沒有理解，在做練習或作業時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性.

五、函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性，應先考求解該函數的定義域，判斷該區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談.否則要用奇偶性定義加以判斷.如：

例5：判斷函數y=x ，x∈[-1，3]的奇偶性.

解：∵定義域區間[-1，3]關于坐標原點不對稱，

∴函數y=x ，x∈[-1，3]是非奇非偶函數.

如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性就會得出如下錯誤結論：

∵f（-x）=（-x） =x =f（x），

∴函數y=x ，x∈[-1，3]是偶函數.

錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因.

綜上所述，在求解函數函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，定義域都起了至關重要的作用，因此重視定義域對解題結果有無影響，就能提高學生解題分析能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生數學素養，進而有利于培養學生思維的創造性，真正把數學應用于生活實際中.

參考文獻：

[1]劉春艷.從學科本質出發培養學生提問能力[J].人民教育，2012（12）：40-41.

[2]莊亞棟主編.高中數學教與學（99.2、99.6）.揚州：中學數學教與學編輯部出版，1999.