高考復習中值得關注的五大函數模型

張艷

摘 要： 本文結合歷年高考數學試題，對備受命題專家青睞的一些函數模型及性質作一總結歸納，旨在對高中數學教學有所幫助.

關鍵詞： 高考 函數模型 總結

在高考試題中，無論是全國卷還是各省市卷，除了二次函數、三次函數和分段函數（這三種模型幾乎在每套試題中都有）外，還有一些函數模型備受命題專家青睞.現將它們及其常見性質列出，供同行和高三學生參考.

1.形如f（x）=■（a≠0，x≠-■）的函數

函數可變形為f（x）=■=■+■，其圖像是由反比例函數圖像通過平移變換得到的，它的性質見表1.

例1：（2011課標全國卷理12）函數y=■的圖像與函數y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖像所有交點的橫坐標之和等于（？搖 ？搖）

A.2 B.4 C.6 D.8

解析：畫出兩函數在所給區間上的示意圖，立刻可得答案為D.

評析：畫圖時要注意兩函數圖像的關鍵點，有些學生畫圖比較隨意而出錯.

2.形如g（x）=ax+■（ab≠0）的函數

函數g（x）性質見表2.

表2

例2：（2010年大綱全國卷Ⅰ理10）已知函數f（x）=|lgx|，若0

A.（2■，+∞） B.[2■，+∞） C.（3，+∞） D.[3，+∞）

解析：因為f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或b=■，所以=a+2b=a+■，又0f（1）=1+■=3，即a+2b的取值范圍是（3，+∞）.故選C.

評析：本小題主要考查對數函數的性質、函數的單調性、函數的值域，考生在做本小題時極易忽視a的取值范圍，而利用均值不等式求得a+2b=a+■>2■，從而錯選A，這也是命題者的良苦用心之處.

直接以“對勾”函數為模型的高考題較少，而多半在綜合題中化歸轉化為“對勾”模型.

3.形如h（x）=a■±a■（a>0，且a≠1）的函數

函數的性質見表3：

表3

例3：（2010年課標全國卷理5）已知命題p■：函數y=2■-2■在R為增函數，p■：函數y=2■+2■在R為減函數，

則在命題q■：p■∨p■，q■：p■∧p■，q■：（？劭p■）∨P■和q■：p■∧（？劭p■）中，真命題是（？搖 ？搖）

A. q■，q■ B. q■，q■ C.q■，q■ D.q■，q■

解析：p■真p■假，所以q■，q■真，故選C.

評析：2011年湖北理6，2010年廣東理3、重慶理5都是本函數模型.

4.形如p（x）=■|x-k|（n∈N*，x∈R）的函數

當n為偶數時，函數p（x）在（-∞，■]上是減函數，在[■+1，+∞）上是增函數；當x∈[■，■+1]時，函數p（x）到得最小值，且p（x）■=1+3+…+（n-1）=■，無最大值.

當n為奇數時，函數p（x）在（-∞，■]上是減函數，在[■，+∞）上是增函數；當x=■時，函數p（x）取得最小值，且p（x）■=0+2+4+…+（n-1）=■，無最大值.

特別地，對于函數y=|x-a|+|x-b|（a

例4：（2006年全國卷Ⅱ理12）函數f（x）=■|x-n|的最小值為（？搖 ？搖）

A. 190 B. 171 C. 90 D. 45

解析：當x=■=10時，f（x）■=■=90.

評析：2011年陜西理14，2013四川理15等都可用該模型解答.值得一提的是，近幾年新課標卷不等式選講試題中有許多與“U”型函數有關.

5.與函數y=e■，y=x，y=lnx有關的函數模型

單獨考慮三個函數，似乎沒有多大意義，若我們把三個函數圖像畫在同一坐標系中，則大有文章可做.近幾年全國卷和各省市卷的函數、導數綜合題很多與它們有關.

可以證明，曲線y=e■與直線y=x+1相切于點（0，1），曲線y=lnx與直線y=x-1相切于點（1，0）（如圖1）.由此可得：

①對任意x∈R都有x-1

②對任意x>0都有lnx≤x-1

（x=1時“=”成立）.

例5：（2012年全國課標卷理10）已知函數f（x）=■；則y=f（x）的圖像大致為（？搖 ？搖）

解析：函數的定義域為（-1，0）∪（0，+∞），排除D，又由②知ln（x+1）

例6：（2013課標全國Ⅱ理21）已知函數f（x）=e■-ln（x+m）

（Ι）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）當m≤2時，證明f（x）>0.

解析：（Ⅰ）（過程略）當m=1時，f（x）在x=0處取得最小值.f（x）在（-1，0）上是減函數，在（0，+∞）上是增函數.其幾何意義很明顯，如圖2，設直線x=a（a>-1）與曲線y=e■和y=ln（x+1）交于M、N兩點，當a在（-1，0）上由小到大取值時，|MN|減少，當a=0時，|MN|最小是1，當a在（0，+∞）上由小到大取值時，|MN|增大.

（Ⅱ）因為當m≤2時，ln（x+m）≤ln（x+2），所以要證f（x）>0，只需證ln（x+2）-2時，由①②易得ln（x+2）≤x+1≤e■，而前一個“=”在x=-1時取得，后一個“=”在x=0時取得，因而ln（x+2）

當然上述證明欠嚴謹，但我們可從中看出命題人的思路，完全可以仿此命制一道有質量的模擬題.如：

例7：已知函數f（x）=e■-1，g（x）=ln（x+1）.

（Ⅰ）求函數f（x）的圖像與函數g（x）的圖像交點處的公切線方程；

（Ⅱ）若0≤y

解析：（Ⅰ）解略；

（Ⅱ）利用已有的結果有：e■-1>x>ln（x+1），從而得f（x-y）=e■-1>x-y，g（x）-g（y）=ln（x+1）-ln（y+1）=ln■<■-1，

只需比較x-y與■-1=■的大小即可.

第（Ⅱ）問的幾何意義是k■>k■（圖4），

即■>■，亦即f（x-y）>g（x）-g（y）.

評析：利用已有的結果：e■-1>x>ln（x+1），把三個函數圖像畫在同一坐標系中，結合幾何意義，從而使問題得到巧妙的解答.