空間向量在立體幾何中的應用

洪建新

摘 要： 高中數學新教材增添了“空間向量”這一節知識，它是平面向量的延續和推廣，為我們提供解立體幾何問題的工具性知識.由于空間向量本身具有代數形式（有序實數對表示）與幾何形式（有向線段表示）的雙重特點（數形兼備），因此在向量知識的整個學習過程都體現了數形結合的思想方法，注重轉形為數，突出數的運算.

關鍵詞： 立體幾何 空間向量 化繁為簡

利用空間向量處理立體幾何問題的這種處理辦法就起到了避開復雜空間想象，將復雜的邏輯推理轉化為簡單機械的代數運算，克服了輔助線添加所帶來的解題難度等作用，大大簡化了思維過程，減輕了思維負擔.可見，利用向量可以把幾何結構代數化，以數明形，使向量成為具有一套優良運算通性的數學體系，成為研究立體幾何的重要工具.

本文舉例研究如何用向量方法解決立幾中的點、線、面的位置關系問題和求角、距離問題.以此歸納總結各種題型的解法，強化“向量”的應用價值，激發學生學習向量的興趣.

一、做幾點準備

1.明確兩個重要概念

兩條異面直線的方向向量：垂直于兩條異面直線所在直線的方向向量的向量.平面的法向量：表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則向量叫做平面的法向量.法向量是一個平畫的特征向量，它是處理有關平面的軸心骨.

2.本文的兩個定義

本文稱在兩條異面直線上各取一點（當然取特殊點）構成的向量以為兩條異面直線的斜向量.平面的斜線段所在直線的方向向量叫做平面的斜向量.本文稱用舊教材處理幾何問題的傳統方法為純幾何法，稱用空間向量處理幾何問題的方法為純向量法.

3.利用空間向量處理立體幾何問題的兩個關鍵點

（1）利用空間向量處理立體幾何問題的關鍵處在于建立空間直角坐標系，建系應遵循以下兩個原則：①尋找墻角模型即三條兩兩垂直于同一點的直線.②利用直線垂直于面.以這條直線為z軸，以這個面內互相垂直的兩條直線為x軸和y軸建立空間直角坐標系.若有面垂直于面，則通過面垂直于面的性質定理即可得到線垂直于面.合理地建立空間直角坐標系，是完成從幾何問題向代數問題轉化的基礎，也是難點.

（2）建立空間直角坐標系后，如何確定各點的坐標？常采用化立體為平面的策略即先確定豎坐標，然后像平面直角坐標系一樣確定橫坐標和縱坐標.一般有個別的點比較難求，需要結合平面的基本知識（如平行成比例的性質）確定.

二、典例剖析，方法透視

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=■，AB=1，M是PB的中點.

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值.

證明：以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為

A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1■）.

（Ⅰ）證明：由于■=（0，0，1），■=（0，1，0），故■·■=0，故AP⊥DC.

由題設知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

（Ⅱ）解：由于■=（1，1，0），■=（0，2，-1），

故|■|=■，|■|=■，■·■=2，

cos<■，■>=■=■.

（Ⅲ）解：在MC上取一點N（x，y，z），則存在λ∈R使■=λ■，

■=（1-x，1-y，-z），■=（1，0，-■），∴x=1-λ，y=1，z=■λ

要使AN⊥MC，只需■·■=0，即x-■z=0，解得λ=■.

可知當λ=■時，N點坐標為（■，1，■），能使■·■=0

此時，■=（■，1，■），■=（■，-1，■），有■·■=0.

由■·■=0，■·■=0得AN⊥MC，BN⊥MC.所以∠ANB為所求二面角的平面角.

∵|■|=■，|BN|=■，■·■=-■.

∴cos（■，■）=■=-■，

故所求的二面角為arcos（-■）.

點評：向量的巧妙之處在于避開作二面角的復雜過程，求點面距離的難點是作出高線，確定垂足，而此法不要求確定垂足的確切位置就可將距離求出，真正做到了避繁就簡.

總之，用向量知識求解立體幾何問題不僅簡潔明了，而且具有一般性.應用向量方法解題構思新穎，方法簡單、直觀.它可以不依賴于圖形特征，把幾何圖形的性質轉化為向量運算，變抽象的邏輯推理為具體的向量運算，實現了“數”與“形”的完美結合.