簡論高中數學思維品質的培養

席百平

高中生在學習數學和運用數學解決問題時，要不斷經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程。而學生的學習效果的優劣和解決問題的科學程度的高低，是由學生思維發展水平的高低和思維品質的優劣程度決定的。因此，開發高中學生的數學思維潛能，培養數學思維品質，對于學好高中數學起著決定性的作用。思維科學研究表明：思維能力的核心是思維品質，其靈活性、獨創性、敏捷性、批判性和深刻性 是構成思維品質的五大要素。為此，在高中數學實際教學過程中必須以這“五大要素”作為突破口，優化課堂教學過程，全方位提升學生的思維品質，才能真正實現高中數學教學目標。

一、思維的靈活性

靈活性是指思維活動的靈活程度。提高學生思維的靈活性就是要培養學生具備靈活敏捷的思維起點；靈活多變的思維過程；靈活有效的思維結果。在實際數學教學中，教師要深入挖掘教材中的有效素材，利用多問、多解、多變等方法，不斷有目的地培養學生從不同角度提出解決問題的能力，指導學生能靈活運用各種法則、公理、定理、規律、公式等從一種解題途徑轉向另一種途徑，并能夠達到舉一反三、觸類旁通的效果。例如，關于函數零點問題的教學中，引導學生進行多方面探索得出：二次函數零點的存在性及其符號問題，可轉化為相應的二次方程問題，進而用判別式與韋達定理處之；若要求二次函數的零點都在某區間內、兩零點都大（小）于某數、一個零點小于某數另一個零點大于該數、在某區間內恰有一個零點，則可借助二次函數的圖像探索出相應的充要條件；當二次函數的零點問題用二次方程與二次函數探求繁難時，可嘗試對方程進行代數變形（如參數分離、換元等），構造出新的不含參數的函數，進而利用該函數的單調性或值域等知識常可使問題獲得簡解。

二、思維的獨創性

獨創性即思維活動的創造性。《普通高中數學課程標準（實驗）》強調：高中課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。獨創性源于主體對知識經驗或思維材料高度概括后集中而系統的遷移，進行新穎的組合分析，找出新異的層次和交結點。在實際教學中，教師要讓學生親身經歷探究的過程，使學生的認知從低級到高級，思維從感性到理性的過程，最終讓學生自己達到目標。例如，在探究直線與平面垂直的判定定理時，可以創設如下活動情境：請同學們拿出一塊三角形紙片，過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）。

（1）AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

（3）如果不經過A點能否得到折痕DE與桌面所在的平面垂直？

（4）如果我們把折痕抽象為直線，把BD、CD抽象為直線，把桌面抽象為平面，那么你認為保證直線與平面垂直的條件是什么？

（5）將紙片繞直線AD（點D始終在桌面內）轉動，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內。問：直線AD現在還垂直于桌面所在平面嗎？

（6）根據試驗，請你給出直線與平面垂直的判定方法。

通過以上6步的親身探究與思考，不斷使學生的思維得到開拓，認識得到提升，從而培養學生思維的獨創性。

三、思維的批判性

批判性是思維活動中獨立發現和批判的程度。在高中階段，思維的批判性更多地應該注重思維的求異性方面。在教學中就是要鼓勵學生大膽懷疑，敢于爭辯，組織對有爭議的問題進行鑒別、討論，對隱藏的錯誤進行辯誤、駁謬，更多的是要敢于提出自己“不同凡響”的方法，還要引導學生通過對錯解的分析、糾正，從而培養思維的批判性。例如，在教“兩角和與差的正切公式”時，給出這樣一道例題：不查表，求的值。根據本節所學的方法，很多學生提出了這樣的解法：先把tan15°的值求出來，然后再求出整個式子的值。為了培養學生的求異思維，我提出還有更好的求解方法，讓學生試試。很快有學生提出了這樣的解法：將式子里面的1用tan45°進行代換，然后利用和差法進行求解。這種引導學生從反方向進行思維，即逆用公式求得結果的方法，可以很好地培養學生思維的批判性。

四、思維的敏捷性

敏捷性是指思維活動的速度，它反映了智力的敏銳程度。培養學生思維的敏捷性主要從數學方法和數學建模上入手，要讓學生能夠迅速對問題作出正確判斷，并能夠適應正確科學的方法解決問題。在實際教學中，教師要根據不同類型的數學問題和數學模型，讓學生掌握解決這類問題的一般和特殊的方法，從而提高學生思維的敏捷性。比如，在解決三角問題時，一般的方法就是利用“變換”。在教學時利用不同的題目，教會學生以下“變換”的方法：在把“未知角”用“已知角”表示的過程中合理地選擇三角變換的公式，進而完成對三角求值題的求解；通過“切化弦、升降冪、化為一個角的一種三角函數”等變換，完成對三角函數圖像與性質題的求解；通過“邊化角或角化邊”，完成對三角形中三角函數題的求解。

另外還有，空間關系的思考方式：轉移；解析幾何問題的思考方式：翻譯；數列問題的思考方式：化歸，等等。

五、思維的深刻性

思維的深刻性是指思維活動的深度、廣度和難度，以及思維活動的抽象程度和邏輯水平。思維的深刻性集中表現為在智力活動中深入思考問題，善于概括歸類，邏輯抽象性強，善于抓住事物的本質和規律，開展系統的理解活動，善于預見事物的發展進程。在教學實踐中，就是通過對問題引申、推廣、變式，誘導學生從偶然中尋求必然，發現并探索出新穎的帶有普遍性的規律，教育學生學會透過現象看本質，學會全面地思考問題，養成追根究底的習慣。對于那些容易混淆的概念，如正數與非負數、空集F和集合{0}、銳角和第一象限的角、充分條件和必要條件、映射與一一映射、sin（arcsinx）與arcsin（sinx），等等，可以引導學生通過辨別對比，認清概念之間的聯系與區別，在同化概念的同時，使新舊概念分化，從而深刻理解數學概念。