用《幾何畫(huà)板》進(jìn)行數(shù)學(xué)解題教學(xué)的合理性分析

程偉

摘 要： 文章分析了問(wèn)題解決的一般心理過(guò)程和幾何畫(huà)板的特點(diǎn)，從幾何畫(huà)板對(duì)問(wèn)題表征的合理性和解題策略選擇的有效性兩個(gè)方面論述了幾何畫(huà)板在解題教學(xué)應(yīng)用中的合理性。

關(guān)鍵詞： 幾何畫(huà)板 問(wèn)題解決 問(wèn)題表征 解題策略

傳統(tǒng)教學(xué)方法下，數(shù)學(xué)解題教學(xué)的典型特征是教師講解數(shù)學(xué)問(wèn)題，呈現(xiàn)解題過(guò)程，學(xué)生進(jìn)行大量練習(xí)，提高解題能力。在結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、數(shù)學(xué)關(guān)系直觀明了的數(shù)學(xué)問(wèn)題下，通過(guò)大量地講解與練習(xí)可達(dá)到一定的效果，而對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜、數(shù)學(xué)關(guān)系較抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題則只有少數(shù)學(xué)生才能理解其解題過(guò)程和解題原理。能否借助計(jì)算機(jī)提高問(wèn)題解題教學(xué)的有效性，讓更多的學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，合理地表征數(shù)學(xué)問(wèn)題，整體地把握數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？

1.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的一般心理過(guò)程

根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)家的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決可概述為在數(shù)學(xué)概念、命題學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行初始狀態(tài)表征，提取與問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，選擇解題策略和方法，進(jìn)行初始表征狀態(tài)的修正、模式的匹配等操作后，直至達(dá)到問(wèn)題目標(biāo)狀態(tài)的探究活動(dòng)。所以數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程就是從問(wèn)題初始狀態(tài)到最后目標(biāo)狀態(tài)的過(guò)程。紐維爾和西蒙把這些認(rèn)知狀態(tài)組合在一起稱為“問(wèn)題空間”，所以問(wèn)題解決的本質(zhì)就是對(duì)問(wèn)題空間的搜索。

在整個(gè)問(wèn)題解決的過(guò)程中，首先，解題者要能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的初始狀態(tài)表征，表征方式可以是命題、圖像等，表征一般以內(nèi)在的形式存在于大腦中、紙質(zhì)上乃至計(jì)算機(jī)上。然后，儲(chǔ)存在工作內(nèi)存的信息開(kāi)始激活個(gè)體長(zhǎng)時(shí)記憶系統(tǒng)中的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，提取與該問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)，選擇有關(guān)的解題策略和方法，進(jìn)行探究并修正初始狀態(tài)的表征，選擇大腦中已經(jīng)解決的問(wèn)題模式與之匹配。最后，達(dá)到問(wèn)題的目標(biāo)狀態(tài)。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的心理過(guò)程中，受阻主要表現(xiàn)在如下方面：?jiǎn)栴}的表征、相關(guān)知識(shí)的激活與提取、解題策略的選擇、已有模式的豐富程度與匹配的可能程度。幾何畫(huà)板能幫助學(xué)生合理表征問(wèn)題，有效激活相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生采用適當(dāng)?shù)慕忸}策略進(jìn)行合理探究，建立完善直觀的問(wèn)題模式，豐富學(xué)生問(wèn)題化歸的途徑。

2.幾何畫(huà)板的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)最大的特征是對(duì)事物在變化中不變性質(zhì)的研究，而幾何畫(huà)板操作系統(tǒng)的設(shè)計(jì)正是出于數(shù)學(xué)的這一特征，所以在幾何畫(huà)板提供的操作環(huán)境中能保證數(shù)學(xué)的這一特點(diǎn)。具體地說(shuō)，變化中保持?jǐn)?shù)學(xué)關(guān)系的不變，即：不管圖形如何變化，而事先給定的所有數(shù)學(xué)關(guān)系都保持不變，這樣更有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的變化中不變性的把握，深入數(shù)學(xué)的精髓，突破了傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)。這使得用幾何畫(huà)板制作的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)的課件能生動(dòng)形象、直觀具體地從根本上揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征。符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的動(dòng)態(tài)直觀表現(xiàn)，使數(shù)學(xué)從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，從抽象到直觀，從微觀到宏觀，從定性到定量的轉(zhuǎn)換，便于學(xué)生聯(lián)系地、整體地思考和把握數(shù)學(xué)問(wèn)題。

3.幾何畫(huà)板能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行合理的問(wèn)題表征

問(wèn)題表征是指人們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)所使用的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)，具有多種形式（Chi，& Feltovich & Glsaer，1981），包括對(duì)問(wèn)題的敘述、推理和抽象概括，具體表現(xiàn)為對(duì)問(wèn)題、問(wèn)題的條件與結(jié)論及問(wèn)題狀態(tài)轉(zhuǎn)化過(guò)程中產(chǎn)生的知識(shí)與關(guān)系的呈現(xiàn)。問(wèn)題解決的典型特征是生成合理的問(wèn)題表征，而合理的問(wèn)題表征必須滿足如下三個(gè)條件：①表征與問(wèn)題的真實(shí)結(jié)構(gòu)相對(duì)應(yīng)；②表征中的各個(gè)問(wèn)題成分被適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合在一起；③表征結(jié)合了問(wèn)題解決者的其他知識(shí)。因?yàn)閹缀萎?huà)板在課件制作過(guò)程中必須滿足問(wèn)題所應(yīng)有的數(shù)學(xué)關(guān)系，并且在保持了這些數(shù)學(xué)關(guān)系的同時(shí)將問(wèn)題的各個(gè)部分結(jié)合在了一起，所以用幾何畫(huà)板可以合理進(jìn)行問(wèn)題表征。在幾何畫(huà)板的背景下，學(xué)生能動(dòng)態(tài)直觀地理解和把握數(shù)學(xué)問(wèn)題，所以幾何畫(huà)板能促進(jìn)學(xué)生合理進(jìn)行問(wèn)題表征。

4.幾何畫(huà)板能促進(jìn)學(xué)生對(duì)解題策略的選擇和問(wèn)題模式的識(shí)別

解題策略的選擇是問(wèn)題解決的關(guān)鍵所在，解題策略包括一般的思維方式（觀察與實(shí)驗(yàn)，比較與概括，分析與綜合，一般化與具體化等）、探索策略（取特殊情況嘗試，分離與組合，動(dòng)員與組織等）、數(shù)學(xué)思想方法（分類討論，數(shù)形結(jié)合，化歸轉(zhuǎn)化等）和技巧（換元，分離常數(shù)等）。最終把要解決的問(wèn)題歸結(jié)為已經(jīng)解決的某種問(wèn)題模式，可以說(shuō)問(wèn)題解決的實(shí)質(zhì)是模式識(shí)別。所謂模式是指若干元素或成分按照一定關(guān)系形成的某種刺激結(jié)構(gòu)，也可說(shuō)模式是刺激的組合。模式識(shí)別過(guò)程就是感覺(jué)信息與長(zhǎng)時(shí)記憶中的項(xiàng)目有著最佳匹配的過(guò)程。所以要成為一位優(yōu)秀的問(wèn)題解決者必須掌握一定的解題策略，能合理地辨認(rèn)和使用解題策略，并在長(zhǎng)期的問(wèn)題解決中儲(chǔ)存更多的問(wèn)題模式，能很好地辨認(rèn)原有模式與眼前問(wèn)題的聯(lián)系與區(qū)別，建立良好的匹配關(guān)系。

幾何畫(huà)板本身就是一個(gè)探究平臺(tái)，它能在保持?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)關(guān)系下，動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，在變化中實(shí)現(xiàn)觀察與實(shí)驗(yàn)的探究，促進(jìn)數(shù)形結(jié)合的處理，啟發(fā)分類討論的解題策略等功能。能從宏觀上感觸到問(wèn)題從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的轉(zhuǎn)化，從一定的高度認(rèn)識(shí)問(wèn)題空間，也能從微觀的角度感受到任意兩個(gè)空間狀態(tài)的轉(zhuǎn)化過(guò)程。

通過(guò)上述分析可以認(rèn)為，用幾何畫(huà)板進(jìn)行數(shù)學(xué)解題教學(xué)是符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的，有助于促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行合理的問(wèn)題表征，豐富學(xué)生的表征方式，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣，能直觀感知問(wèn)題空間中問(wèn)題表征狀態(tài)轉(zhuǎn)化，促進(jìn)解題策略的選擇，豐富便于激活的問(wèn)題模式。

參考文獻(xiàn)：

[1]喻平著.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].南寧：廣西教育出版社，2008：233.

[2]鮑建生，周超著.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2010：184，185，191.