分析信息作出決策

諸廣平

同學們，學習本章知識時，你們有什么感受？可能你們會覺得本章和我們以往學過的大部分數學知識有些不同. 確實，在“概率和統計的簡單應用”這一章里，既沒有復雜的計算，也很少涉及嚴密的邏輯推理，還無需同學們發揮豐富的空間想象能力. 不過，本章要求同學們對提供的信息作出分析，甚至要求根據分析作出決策. 下面，我們就對本章出現的一些典型問題作一個回顧.

一、 關于簡單隨機抽樣

例1 判斷下列抽樣調查選取樣本的方法是否合適，并說明理由：

（1） 為了解某地區老年人的健康狀況，在該地區醫院里調查了100名老年病人1年內生病的次數；

（2） 某方便面廠家為了解產品質量情況，在生產線上每100包隨機抽取1包進行檢查；

（3） 為了解某城市的空氣污染情況，調查了該城市某個月的空氣污染情況.

這一題主要是考查同學們對簡單隨機抽樣的理解. 一般來說，判斷抽樣調查是否合理，主要是看提取的樣本是否具有代表性，以及總體中每個個體抽到的可能性是否相同. 本題中，第（1）小題調查的是該地區全體老年人的健康狀況，但是選取的樣本卻是醫院里的病人，根本不能代表所有的老年人，因此不具有代表性. 同樣第（3）小題只選取了某一個月的空氣污染情況，也不具有代表性，如果在每個月里隨機抽取若干天，會更合理. 只有（2）是合適的.

例2 （2010·福建廈門）小明學完了統計知識后，從“中國環境保護網”上查詢到他所居住城市2009年全年的空氣質量級別資料，用簡單隨機抽樣的方法選取30天，列出下表：

請你根據以上信息解答下面問題：

（1） 這次抽樣中“空氣質量不低于良”的頻率為______；

（2） 根據這次抽樣的結果，請你估計2009年全年（共365天）空氣質量為優的天數是多少？

本題主要考查抽樣調查的作用：用部分估計總體，也就是用樣本的統計量來估計總體的統計量.

（1） 根據頻率等于頻數與總數的商，可以算得，這次抽樣中，“空氣質量不低于良”的頻數是30-0-1-2=27，因此頻率為=0.9；

（2） 因為樣本中空氣質量為優的天數a=30-（15+2+1）=12，頻率為0.4，因此估計總體（也就是全年的空氣質量情況）中空氣質量為優的頻率也是0.4左右，所以估計全年空氣質量為優的天數為365×0.4=146（天）.

二、 利用統計分析作預測

例3 隨機調查了某校10名九年級男生的身高和體重，整理如下：

（1） 以體重為橫坐標，身高為縱坐標，在平面直角坐標系中畫出相應的點，并選用一條適當的直線近似表示該校九年級男生身高與體重之間的關系；

（2） 求這10名男生身高與體重之間數量關系的近似表達式，并由該表達式估計該校身高為180 cm的九年級男生的平均體重.

在平面直角坐標系中描好這10個點以后，同學們會發現，這些點大致分布在一條直線附近，為此我們可以選取其中兩個點，求出經過這兩個點的直線表達式，就用這條直線表達式來近似地表示該校九年級男生身高與體重之間的關系（顯然，同學們可能會選取不同的兩個點，從而求出的直線表達式也會不同，不過沒有關系哦，因為同學們會發現這些不同的直線差距很小，況且我們這里是用來近似表示兩者之間的關系）. 比如，我們選取（49，170），（69，183）兩點，則可求得y=0.65x+138.15. 從而第（2）小題中，當身高為180 cm時，可求得平均體重為64.4 kg.

三、 利用概率判斷是否公平

例4 一個不透明的袋子中裝著標號為1，2，3，4的4個小球，這些球除顏色外都相同. 甲乙兩人共同協商了一個游戲規則：將球攪勻后，每人從中摸出一個球，其中摸出的球上的標號大的一方獲勝.

（1） 若甲先摸球且摸出的球不放回，乙再摸球，求乙獲勝的概率；

（2） 若甲摸出的球放回后乙再摸球，此時制訂的游戲規則公平嗎？為什么？

第（1）小題中，要求乙獲勝的概率，相信同學們應該能輕松解決，對了，通過列表或者畫樹狀圖的方法，列出所有可能的情況共12種，其中乙勝的情況數為6種，因此乙獲勝的概率為0.5；關于第（2）小題，要判斷游戲規則是否公平，同學們想想看，應該根據什么來判斷呢？不錯，就是看在該規則下甲乙兩人獲勝的概率是否相同！因此，只需算出甲乙兩人的獲勝概率，就可以作出判斷. 同樣列出表格或者樹狀圖，可以看到，現在的所有可能的情況是16種了，不過其中有四種是平局，另外甲勝有6種，乙勝也有6種，因此甲乙兩人獲勝的概率都是0.375，因此這個游戲規則是公平的.

同學們，這一類問題的解決方法應該清楚了吧？不妨再挑戰難度大點的：如果把游戲規則改為甲先摸球，記下標號后放回，然后乙再摸球，把兩人摸到的球的標號相加，如果和為偶數，則甲勝，否則乙勝. 請問這個游戲規則公平嗎？

相信同學們應該能解決，萬變不離其宗，仍然是分別求出兩人獲勝的概率，看看是否相同，相同則規則是公平的，否則就是不公平哦！

例5 （2014·云南）某市“藝術節”期間，小明、小亮都想去觀看茶藝表演，但是只有一張茶藝表演門票，他們決定采用抽卡片的辦法確定誰去，規定如下：將正面分別標有數字1、2、3、4的四張卡片（除數字外其余都相同）洗勻后，背面朝上放置在桌面上，隨機抽出一張記下數字后放回，重新洗勻后背面朝上放置在桌面上，再隨機抽出一張記下數字. 如果兩個數字的和為奇數，則小明去；如果兩個數字的和為偶數，則小亮去.

（1） 請用列表或畫樹形圖（樹狀圖）的方法表示抽出的兩張卡片上的數字和的所有可能出現的結果；

（2） 你認為這個規則公平嗎？請說明理由.

怎么樣？有信心解決這個問題嗎？再次強調一下，要根據概率來判斷游戲規則是否公平哦！

四、 利用概率進行估計

例6 為了估計魚塘中魚的數量，先從魚塘中捕撈30條魚做上標記，然后放回魚塘，經過一段時間，待有標記的魚完全混合于魚群后，再從中多次捕撈，并算得每200條魚中，帶有標記的魚有5條，試估計該魚塘中魚的數量.

根據什么來估計魚塘中魚的數量呢？肯定與有標記的魚出現的頻率有關. 因為這個頻率可以作為有標記的魚出現的概率的估計值. 因此，可以估計帶有標記的魚出現的概率是0.025，而總共有30條魚帶有標記，于是估計魚塘中魚的總數為30÷0.025=1 200（條）.

例7 （2014·福建莆田）某校為了解該校九年級學生對籃球、乒乓球、羽毛球、足球四種球類運動項目的喜愛情況，對九年級部分學生進行了隨機抽樣調查，每名學生必須且只能選擇最喜愛的一項運動項目，將調查結果統計后繪制成如下兩幅不完整的統計圖. 請根據圖中的信息，回答下列問題：

（1） 這次被抽查的學生有______人；請補全條形統計圖；

（2） 在統計圖2中，“乒乓球”對應的扇形的圓心角是______度；

（3） 若該校九年級共有480名學生，估計該校九年級最喜歡足球的學生約有______人.

仔細讀統計圖表，同學們肯定能發現，喜歡羽毛球的同學共有9人，占15%，因此被抽查的學生共有60人，于是你能算出這次調查中喜歡足球的學生有多少人了嗎？對了，有6人. 那么這次調查中喜歡足球的頻率就是0.1，于是估計喜歡足球的概率也是0.1左右，到這里，相信同學們已經可以輕松估計出該校九年級最喜歡足球的學生約有多少人了.

五、 根據概率計算該如何收費

例8 某航空公司的保險合同上有這樣一個條款：飛機一旦失事，公司將向每名乘客賠償人民幣50萬元，但保險公司需向每名乘客收取保險費20元. 如果該航空公司航班平均每次約有120名乘客，那么在n次飛行中，平均來說，當飛機失事的概率不超過多少時，才能保證保險公司的收入不小于支出？

本題要求公司的收入不小于支出，這是一個不等關系，我們需要把這個不等關系轉化為關于飛機失事概率P的不等式，從而求出P的范圍. 在n次飛行中，保險公司共收取費用120×20n元，平均失事nP次，平均賠償500 000×120nP元. 同學們，這些數量關系能理清嗎？于是得到不等式120×20n≥500 000×120nP，解得P≤0.000 04.

同學們，上面我們對本章出現的一些經典問題進行了回顧與總結、拓展與延伸，相信同學們對本章知識一定有了更深的體會，也有了更大的收獲.

（作者單位：江蘇省無錫市張涇中學）