由一道習題所想到的

褚俊緡

摘 要： “綜合法”與“分析法”是不等式證明的基本方法.在解題過程中，利用“綜合法”與“分析法”的思維模式幫助分析題意，破解解題思路，能有效提高解題能力，也為教師強化課堂教學效果，提高教學能力提供了方向.

關(guān)鍵詞： 綜合法 分析法 解題思維

一、問題的起源

先從一道大家熟悉的習題說起.

習題：給出一個正整數(shù)n，若n是奇數(shù)，則減去1，否則除以2，這樣經(jīng)過若干次運算后，總是可以得到0，運算結(jié)束.若這個數(shù)經(jīng)過四次運算后得到零，則這個數(shù)是？搖 ？搖.

在高三習題卷中做到這個題目，由于筆者所在中學是省重點中學，學生綜合素質(zhì)比較高，我本以為是一道同學們沒問題的作業(yè)，無非就是“逆推而上”，但經(jīng)過作業(yè)批改發(fā)現(xiàn)，有近一半的學生答案不全.這不得不讓我沉入深思，尋找癥結(jié)所在，反思自己在教學中存在的不足.

二、問題的調(diào)查

事后，我找到了幾個答案不全的學生，詢問他們在解題時是怎么思考的，無一例外的都是“順推而下”.比如取n=8，經(jīng)過四次運算，得到0，符合，……這時，筆者問學生甲：你當時這樣做是否擔心有答案遺漏呢？學生甲：有這種顧慮，但一時想不出好方法，又急于完成作業(yè)，也就沒有多加思考了.為了深入了解做對同學的思維過程，我也詢問了幾個同學，結(jié)果，“順推而下”得到完整答案的不乏其人.這幾個學生平時學習踏踏實實，想必他們一定檢驗了好多數(shù)據(jù)，才放心地寫下這個題目的答案，其嚴謹?shù)膶W習態(tài)度還是值得肯定的.這時我問學生乙：如果題中運算四次改為運算六次或者七次，問符合題意的n有多少個，你該怎么做呢？這時學生乙陷入沉思，想必他一定料到再“順推而下”，要花費的時間是成倍增加的.幾分鐘后，他恍然大悟：“我知道了！”從愉悅的表情中，我堅信他是“柳暗花明又一村”了.

三、問題的分析與思考

每個同學差不多都有過這樣的經(jīng)歷：一道題，自己總也想不出解法，而老師卻給出了一個絕妙的解法，這時你最希望知道的是“老師是怎么想出這個解法的”.如果這個解法不是很難，就會想“我自己完全可以想出，但為什么我沒有想到呢？”

美籍匈牙利數(shù)學家喬治·波利亞對回答上述問題非常感興趣，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，分解解題的思維過程“理解題目”、“擬訂方案”、“執(zhí)行方案”和“回顧”四大步驟，對第二步即“擬定計劃”的分析是最引人入勝的.他指出尋找解法實際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題，最終得出一個求解計劃.”

本習題雖然不是什么難題，但在解題中充分體現(xiàn)出了尋找已知與未知之間的聯(lián)系方法與思維過程.如果說學生甲等的做法相當于我們在不等式證明中的綜合法的話，“逆推而上”，就是不等式證明中的分析法.事實上，我們在解題思維過程中，何嘗不是“綜合法”“分析法”的應(yīng)用或者綜合應(yīng)用呢？

波利亞在“怎樣解題”表中說到解題的關(guān)鍵是“建立已知與未知之間的聯(lián)系”.筆者認為可以理解為：由“已知”推導“可知”，由“未知”探究“需知”，最后建立“可知”與“需知”的關(guān)系的思維過程.用圖示表示如下：

四、解題策略與舉例探討

【例題】若非零向量■與■滿足：■+3■與7■-5■垂直，■-4■與7■-2■垂直，求■與■的夾角.

分析思路及解法：設(shè)■與■的夾角為θ，未知的是cosθ，需知cosθ=■，實際上是求■·■與|■||■|的比值；已知“■+3■與7■-5■垂直，■-4■與7■-2■垂直”可知（■+3■）·（7■-5■）=0（■-4■）·（7■-2■）=0，即7■■+16■·■-15■■=07■■-30■·■+8■■=0①，如何建立①與■的關(guān)系成了解決這道題目的關(guān)鍵.由①式可得■■=2■·■■■=2■·■，故|■|=■■=■，所以cosθ=■=■，∵θ∈[0，π]，∴θ=■.

如果把解題比作打仗，那么解題者的“兵力”就是數(shù)學基礎(chǔ)知識，解題者的“兵器”就是數(shù)學基本方法，而調(diào)用數(shù)學基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學基本方法的解題策略正是“兵法”.這就要求每一位老師在平時教學中都要重視數(shù)學中的基礎(chǔ)知識、基本方法和基本數(shù)學思想.