高中三角函數問題常見

李軍

三角函數問題是高中數學的重要內容，是學習高中數學的重點，也是歷年高考的熱點內容.三角函數中常見錯解有以下幾類.

一、忽視具體函數值的制約致錯

例題：已知sin■=■，cos■=-■，試確定α所在象限.

錯解：由sin■=■>0，cos■=-■<0可知■為第二象限角.

即2kπ+■<■<2kπ+π（k∈Z），從而4kπ+π<α<4kπ+2π（k∈Z），故α為第三或第四象限或終邊在y軸負半軸上的角.

錯解分析：推出■是第二象限角是正確的，但這只需由sin■>0，cos■<0即可確定，而題中sin■=■，cos■=-■不僅給出了符號，而且給出了具體的函數值，通過其值可進一步縮小■所在區間.

正解：由sin■=■>0，cos■=-■<0可知■為第二象限角.又由于sin■=■<■=sin■π，因此2kπ+■π<■<2kπ+π，即4kπ+■π<α<4kπ+2π（k∈Z），故α為第四象限角.

二、忽視角的范圍致錯

例題：已知tanα=■，求cos（π-α）.

錯解：∵sin■α+cos■α=1，∴tan■α+1=■

∴cosα=■=■=■，∴cos（π-α）=-cosα=-■.

錯解分析：由于tanα=■>0，因此α可能是第一象限的角，也可能是第三象限的角，因此，利用平方關系求cosα開方時，根號前面應取“±”號.

正解：∵tanα=■>0，∴α是第一或第三象限的角.

又∵sin■α+cos■α=1，∴tan■α+1=■，

∴cosα=±■=±■=±■

∴cos（π-α）=-cosα=±■（α為第一象限角取負，α為第三象限角取正）

三、求角時，選擇三角函數不當致錯

例題：在△ABC中，A，B為銳角，若cos2A=■，sinB=■則A+B的值為？搖？搖 ？搖？搖？搖.

錯解：∵A，B為銳角，∴0

又∵cos2A=1-2sin■A=■，∴sinA=■，cosA=■.

∵sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=■×■+■×■=■，

∴A+B=■或A+B=■π.

錯解分析：由于0

正解：∵A，B為銳角，sinB=■，∴cosB=■=■

又cos2A=1-2sin■A=■

∴sinA=■，cosA=■=■

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=■×■-■×■=■.

∵0

四、忽視三角形內角的范圍致錯

例題：在△ABC中，內角A、B、C滿足4sinBsin■（■+■）+cos2B=1+■，求角B的度數.

錯解：由4sinBsin■（■+■）+cos2B=1+■得：

4sinB·■+1-2sin■B=1+■，即2sinB+1=1+■

∴sinB=■

∴B=■

錯解分析：在△ABC中，內角B∈（1，π），由sinB=■知B=■或B=■π，忽視了角B的范圍致錯.

正解：由4sinBsin■（■+■）+cos2B=1+■得：

4sinB·■+1-2sin■B=1+■，即2sinB+1=1+■

∴sinB=■

又∵B∈（1，π），∴B=■或B=■π

五、沒有抓住變換的對象致錯

例題：把函數y=sin（5x-■）的圖像向右平移■個單位長度，再把所得圖像上各點的橫坐標縮短為原來的■倍，所得圖像對應的函數解析式為（？搖？搖）

A.y=sin（10x-■π）？搖？搖B.y=sin（10x-■π）

C.y=sin（10x-■）？搖？搖D.y=sin（10x-■π）

錯解一：將原函數圖像向右平移■個單位長度，得y=sin（5x-■-■）=sin（5x-■π），再把橫坐標縮短到原來的■倍，得y=sin（10x-■π），故選A.

錯解二：將原函數圖像向右平移■個單位長度，得y=sin[5（x-■-■）]=sin[5（x-■π）]，再把橫坐標縮短到原來的■倍，得y=sin（10-■π），故選B.

錯解分析：這兩種解法都是錯誤的，其原因在于沒有抓住變換的對象.

錯解一中，在平移變換時，把5x看成變換的對象；錯解二中，在伸縮變換時，把5（x-■π）看成變換的對象.

正解：把原函數圖像向右平移■個單位長度，得y=sin[5（x-■）-■]=sin（5x-■π），再把橫坐標縮短到原來的■倍，得y=sin（10x-■π），故選D.

六、復合函數單調性規律理解不到位致錯

例題：求函數y=sin（■-2x）的單調增區間.

錯解：令μ=■-2x，則y=sinμ，而函數y=sinμ在區間[2kπ-■，2kπ+■]（k∈Z）上遞增，整體代換得：2kπ-■≤■-2x≤2kπ+■（k∈Z）.

解得：-kπ-■≤x≤-kπ+■π（k∈Z）.由于k表示的是周期的整數倍，因此可寫為：kπ-■≤x≤kπ+■π（k∈Z），

即所求的單調遞增區間為[kπ-■，kπ+■π]（k∈Z）.

錯解分析：要全面地根據內、外層函數y=sinμ的單調性確定復合函數的單調性或單調區間.

正解：令μ=■-2x，則內函數μ是關于x的減函數，那么所求復合函數的單調增區間即要取外函數的單調減區間求解.

即μ∈[2kπ+■，2kπ+■]（k∈Z）即2kπ+■≤■-2x≤2kπ+■（k∈Z）

解得：-kπ-■≤x≤-kπ-■（k∈Z）

由于k表示的是周期的整數倍，因此可寫為：kπ-■≤x≤kπ-■（k∈Z），

即所求的單調增區間為[kπ-■，kπ-■]（k∈Z）.