例談在初中數學課堂教學中數學建模意識的培養

黃卿征

《全日制義務教育數學課程標準》對數學建模提出了明確要求，強調“從學生已有的生活經驗出發，讓學生親自經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展”。由此可見，在教學中不斷滲透數學建模思想，回歸實踐原野，追尋數學本真，促使學生逐步了解利用數學建模的思想和方法分析和解決問題的全過程，不斷提高他們建模聯想的能力，以及應用數學的意識與能力顯得尤其重要。下面我結合自己在初一數學課堂教學中對學生數學建模意識的培養談幾點做法。

一、創設問題情境，滲透建模意識

在教學過程中，時常能遇到一些創設有關知識情境的問題，這些問題大多數可以結合數學思想、數學方法進行教學。在這個教學過程中進行數學建模思想的滲透，不僅可以使學生體會到數學并非只是一門抽象的學科，而且可以使學生感悟利用數學建模的思想結合數學方法解決實際問題的妙處，進而對數學產生更濃厚的興趣。

【案例】在教義務教育課程標準實驗教科書（華師大版）數學初中一年級（七年級）（上）教材中，“有理數的加法”這一節的第一部分就是學習有理數的加法法則，課文是按提出問題……進行實驗……探索、概括的步驟得出法則的。教學中先給學生提出問題：“一位同學在一條東西向的跑道上，先走了20米，又走了30米，能否確定他現在位于原來位置的哪個方向？與原來位置相距多少？”然后讓學生回答出這個問題的答案。（結果在實際教學中我發現學生所回答的答案中包括了全部可能的答案，這時我趁勢提問回答出答案的同學是如何想出來的，并把他們的回答一一寫在黑板上，用1、2、3、4……區分出不同的分類情況。）在學生回答完之后，就可以順勢介紹數學建模的數學思想和分類討論的數學方法，并結合這個問題介紹數學建模的一般步驟：首先，由問題的意思可以知道求兩次運動的總結果，是用加法解答的；然后對這個問題進行適當假設：①先向東走，再向東走；②先向東走，再向西走；③先向西走，再向東走；④先向西走，再向西走。接下來根據四種假設的條件規定向東為正，向西為負，列出算式分別進行計算，根據實際意思求出這個問題的結果。

最后引導學生觀察上述四個算式，歸納出有理數的加法法則。這樣一來，不僅可以使學生學習有理數的加法法則，理解有理數的加法法則，而且在這個過程中使學生學習到了分類討論的數學方法，并且對數學建模有了初步印象，為今后進一步學習數學建模打下了堅實的基礎。利用課本知識的教學，在學生學習知識的過程中滲透數學建模的思想，能夠使學生初步體會數學建模的思想，了解數學建模的一般步驟，進而培養學生用數學建模思想處理實際中的某些問題，提高解決問題的能力，促進數學素質的提高。

二、挖掘教材資源，強化建模意識

數學概念、公式、方程式和算法系統等都是數學專家從現實生活實踐中總結出來的數學模型，數學模型不同于一般的模型，它是用數學語言模擬現實的一種模型，即把一個實際問題中某些事物的主要特征、主要關系抽象成數學語言，近似地反映客觀事物的內在聯系與變化過程，可以說，根據數學建模的思想一直貫穿在數學教材中。只要我們深入鉆研教材，挖掘教材所蘊涵的數學建模與應用數學的內容，從中總結提煉，就能找到數學建模教學的良好素材及最佳滲透時機。

【案例】華氏溫度=攝氏溫度×1.8+32，86℉相當于多少℃？這是一道簡單的列方程解應用題，教學時對習題進行了改造，簡要教學過程如下：

（一）創設問題情境

1.出示攝氏溫度和華氏溫度對照表。

2.猜一猜，你知道它們是如何換算的嗎？

（二）建立數學模型

1.填表：4℃相當于多少℉？10℃呢？

2.交流：探索換算規律，用自己的語言說一說。

（每增加1℃，就增加1.8℉；華氏溫度比攝氏溫度的1.8倍還多32；華氏溫度=攝氏溫度×1.8+32）

3.建模：如果用x表示攝氏溫度，華氏溫度該怎么表示？（1.8x+32）

（三）應用數學模型

1.應用：86℉相當于多少℃？學生根據等量關系，列出方程并解答。（1.8x+32=86）

2.拓展：還有哪些問題可以用這樣的方法解決？

上述案例中，教者以建模的思想組織數學材料，讓學生在材料的引領下構建數學模型，為學生提供了充分的探索與實踐的機會，帶領學生經歷了分析問題（找等量關系）—列出方程表示—解方程等過程。這樣的分解處理，既考慮到學生的建模意識和建模能力還處在啟蒙階段，避免“越位”和增加負擔，又發揮了教師的主導作用，及時“補位”，提升了探索效益。學生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中，較好地達到了“經歷將現實問題抽象為數學問題（方程）的過程，積累將現實問題‘數學化’的經驗，感受方程的思想方法及價值，發展抽象能力和符號感”這一過程性目標。

三、歸納總結教材，提高建模能力

只要教師是有心人，經過精心設計，課本中的數學問題大都可挖掘出生活模型，生活模型又可關聯數學模型，選擇緊貼社會實際的典型問題深入分析，逐漸開展初中數學建模教學。通過歸納總結，逐步擴展到讓學生用已有的數學知識解釋一些實際結果，描述一些實際現象，模仿地解決一些比較確定的應用問題，進而提升到能獨立地解決數學應用問題（建模問題等），最后發展成能獨立地發現、提出一些實際問題，并能用數學建模的方法解決它。

【案例】在義務教育課程標準實驗教科書（華師大版）數學初中一年級（七年級）（下）第6章《一元一次方程》教材中，為了在方程的應用中體現數學模型思想，在教學中我讓學生完成3個問題：

1.尋找教材中編寫模型（方程）相同，但背景不同的應用題。

如教材第11頁例7：學校團委組織65名團員為學校建花壇搬磚，初一同學每人搬6塊，其他年級同學每人搬8塊，總共搬了400塊.問初一同學有多少人參加了搬磚？與本文提到的第11頁練習3；還有第16頁問題3與第17頁練習1：為慶祝校運會開幕，初一（2）班學生接受了制作小旗的任務.原計劃一半同學參加制作，每天制作40面。完成了三分之一以后，全班同學一起參加，結果比原計劃提前一天半完成任務，假設每人的制作效率相同，問共制作小旗多少面？顯然，若采用直接設元，則它們列出的方程相同.

2.給出模型（方程），讓學生添背景編題。

如第17頁練習3：編一道聯系實際的數學問題，使所列的方程是3x+4（45-x）=150.對于這一模型的應用題，上文中提到的第11頁例7可以算是它的一個原形，學生若能根據生活經驗及所學的知識進行編題，則可讓學生自由創作；若不能達到這一程度，則可以讓學生先模仿第11頁例7編題.

3.讓學生改換背景編題。

如第19頁習題6.3，3的第1題：試將下題內容改為與我們日常生活、學習有關的問題，使所列的方程相同或相似：食堂存煤若干噸，原來每天燒煤3噸，用去15噸后，改進設備，耗煤量改為原來的一半，結果多燒了10天，求原存煤量.

通過以上三個層次的編寫使學生更深刻地領會模型思想，懂得從千變萬化的問題中尋找出共同點——數學模型。

總之，在數學建?；顒咏虒W中，我們的教學設計要注重從生活實際出發，強調學生的參與性。對于許多讓學生感到無從入手的問題，我們不能急于一時，要一步一步把這“建”的意識培養起來。因為學生出現的這些困難并不都是數學上的，更多的往往是生活經驗及相關知識的缺乏、或對問題的興趣和專注程度等。因此，我們在數學建模教學的活動設計中，要注意以下幾點：（1）注意從學生已有的認知水平出發，小步子、低要求、分層遞進。（2）注意結合正常教學的教材內容。（3）注意建模過程的構建，培養學生思考的過程。（4）注意培養學生用建模的眼光看問題。（5）選題要適當，要有科學性、實用性、趣味性，要符合中學生的認知特點，與生活實際相聯系。在建模過程中要善于引導學生透過實際問題的現象，抓住數學問題的本質，尋求問題的內在聯系，綜合運用數學知識。