數學解題“確定必可求”思想與思維可視化的整合應用

羅勝彬

成為數學解題高手的秘訣是什么？有人說“知識基礎必須扎實”。知識基礎誠然重要，沒有基礎肯定不行，但有了基礎也未必行。還有人說“必須多做題”。題一定是要做的，但搞題海戰術是不科學的，題做多了，會掉入“感性經驗解題”的陷阱——做題不是靠思考而是靠記憶。缺乏有效解題策略支持，盲目做題，不但負擔沉重，而且會造成思維僵化。筆者從事數學教學二十余年，總結出培養學生解題能力的兩大關鍵：一是培養其心理能力，即遇到難題時，不慌，不亂，不怕。二是培養其思維能力，即要形成有效的解題策略。筆者把培養這兩種關鍵能力的思想總結為“確定必可求”。筆者將結合思維可視化技術來分享這一數學解題思想在數學教學中的具體應用。

初中數學擔負著一個重要的使命——幫助學生轉變學習方式（主要是思維方式）。由于小學數學知識相對簡單，不是特別強調深度理解，很多學生養成了死記硬背的學習習慣（背公式、背定理甚至是背題目），但到了初中，再依靠死記硬背顯然難以應對變得復雜和抽象的數學題目，因此初中數學教師必須幫助學生轉變解題思維，即從“感性經驗答題”轉變為“理性思考解題”。但“理性思考”很抽象，不好理解，怎么辦？筆者認為思維可視化是較好的選擇。因為，它能夠將不可見的思維（思考方法和思考路徑）呈現出來，使其清晰可見，更易于理解。下面筆者就結合自己的教學實踐，談談如何將數學解題策略的研究與思維可視化技術進行有效整合，提高數學教學效能。

何為“確定必可求”的解題思想

一些相對復雜或綜合性的數學題目，由于條件較多，圖形復雜，學生做題時往往會心理慌亂，思維無序，解不出來。如果學生能夠熟練運用“確定必可求”的解題思想，則能夠較輕松地應對了。那么，到底什么是“確定必可求”呢？

要搞清這個思想，我們首先要理解“確定”這個概念（如圖1）。所謂“確定”即明確的、肯定的意思。在數學解題中，“確定”是指確定一個宏觀的解題對象。在幾何中，這個對象可能是一個確定的、具體的三角形、四邊形、圓形等圖形，我們稱之為“定形”。在代數中這個對象可能是一個確定的、具體的方程、函數等代數關系，我們稱之為“定性”。這里要強調的是它必須是一個確定的、具體的圖形或關系，而不是一個“類”的概念，如果是一個“類”的概念，就會存在著多種可能性，是無法解的。在初中數學題目中，所有的對象都是確定的、具體對象，所以才一定是可解的。

其次，還要知道如何“確定”？也就是說根據什么條件證明這個解題對象存在或成立呢？答案是“滿足這個對象存在的一切條件都可以”。接下來我們來了解“必可求”：哪些是必可求的呢？答案是“跟這個解題對象有關的一切未知條件都是必可求的”。用什么來求呢？并不是用題目中所給的那些條件直接求，如果能直接求的那就不是“難題”了。而是要用給的那些條件去“確定”解題對象，再根據解題對象所具有的特性去解決問題，這就是“確定必可求”。下面，我們舉例來說明。

例如，解一道有關三角形的證明題，首先要確定三角形的成立，用什么條件來確定呢？一般用全等思想（結合特殊圖形）來確定，既然能滿足與另外一個三角形全等的條件，那么這個三角形一定存在，若題干中給出了三條邊，那么就可根據“SSS”的全等思想來確定這個三角形；如果是特殊三角形，若條件給出了高和斜邊長，那么就可根據“HL”來確定直角三角形。一旦確定了這個具體的三角形，那么此三角形的特性及相關要素就都是可求的，如三角形的邊長、周長、面積、角度、角平分線、高線、中線、中位線等都可求了。既然所有的都是可求的，那么要求的條件肯定在可求的之列，所以解題時只要按照“確定必可求”的思想先確定解題對象，然后再根據這個對象的特性去推導出要求的就可以了。

“確定必可求”的解題思想按照華東師大劉濯源教授提出的“六種思考方式”來分類屬于“轉化思維”，所謂轉化思維就是從具體到抽象，再從抽象落到具體的思維過程。從哲學角度講，就是從個別到一般，再從一般到個別的思考過程。把這種思想運用在數學解題中（如圖2），就是根據題干中所給出的條件A1、A2來確定A（也就是我們所說的解題對象），再根據A所具有的特性，推導出A3、A4、A5。這種思維模式在數學解題中應用非常廣泛，可以稱之為數學解題“第一思維”。

如何應用“確定必可求”的解題思想

下面用一道初中數學綜合題（函數與三角形相結合）來舉例說明如何在具體的解題實踐中運用“確定必可求”的解題思想。

例：如下頁圖3，已知，是一次函數的圖像和反比例函數 的圖像的兩個交點，求△的面積。

這道題的解題步驟比較繁雜，很多學生遇到這類題時要么感覺無從下手，要么就會思維混亂，亂中出錯。但是按照“確定必可求”的思想并結合思維可視化中的魚骨圖（如圖4）來解題就容易多了。

解題魚骨圖由三部分構成：中間脊骨為總問題及解題的關鍵節點；脊骨下方為策略分析過程，主要由“追問策略”來引導；脊骨上方為條件轉化（已知→未知）過程。如圖4所示本題的總目標為求△AOB的面積，那么根據“確定必可求”的解題思想，只要確定了三角形，與其有關的其他未知都可求，包括它的面積。那么用什么條件來確定呢？這道題中顯然要用邊長來確定，如何確定邊長？確定A、B、C、O四點的坐標即可，B點與O點的坐標已知，那么三角形面積的問題則轉化為求A與C兩點坐標的問題。如何求出A與C點的坐標？由于A點為雙曲線上的一點，那么只要知道反比例函數的解析式即可求出，根據“確定必可求”的思想——一點確定雙曲線，已知B點坐標即可求出反比例函數解析式，進而得出A點坐標。C點為一次函數圖像與X軸交點，確定一次函數解析式即可求，根據“確定必可求”的思想——兩點確定一條直線，已知A與B點坐標即可求出一次函數解析式，進而求出C點坐標。得知A、B、C、O四點坐標可確定邊長，進而求出△AOB的面積。

或許你會覺得這樣做一道題太復雜，但是題不在多，而在于做透，做透的目的不僅僅是讓學生做會這道題，而是要讓學生掌握解這類題的有效思考策略。因此，以上看似復雜的分析過程是非常有價值的，按這種方式練習，時間長了，這種思考策略就會被學生“內化”，從而實現腦內畫圖，那么這個解題過程就不用畫在紙上了，而是在學生大腦中快速呈現，進而解題效率大大提高。