數學教學的邏輯

張鶴，海淀區教師進修學校數學教研員，北京市特級教師。海淀區名師工作站中學數學導師組組長，承擔海淀區優秀教師的培養工作。2008年被授予蘇步青數學教育獎（二等獎）。

課堂教學中常常看到這樣一種教學狀態：教師為了引入課題，向學生提出一些莫名其妙的問題，讓學生摸不著頭腦。為了配合教師的教學，學生也努力地思考著并給出他們的解釋或回答。還有一種常常能看到的教學現象，就是學生們在教師的指令下進行一些操作性的學習活動（也常常美言為探究活動），但是為什么探究，學生似乎也不是很關心，只要按照教師的要求做就是了。每當在教學過程中出現一些思維難點時，這本來正是需要學生們靜靜思考的時候，教師卻耐不住這份寂寞，容不得靜悄悄的課堂，總要“煽動”學生們進行小組交流，開展合作學習。這種喧鬧下的學習也總是能夠產生“奇效”，再難的問題在合作學習下也“無堅不摧”。如果按照時下流行的教學理念去對照課堂中出現的這些現象，都能看到教育教學改革的“效果”：在問題解決中培養學生的思維能力，在探究學習中培養學生的解決問題能力。

實事求是地評價教學中的這些現象，不能不說這樣的課堂總是讓人感到缺一點東西，失去了一些味道，讓人看不到貫穿課堂教學始終的一條主線。即使是教師自己來評價，也是不滿意的居多，他們也以只會教學生知識不會教學生能力自嘲。一些教師對課堂教學工作產生職業倦怠，也正是他們在課堂教學的活動中享受不到工作的樂趣所致。

北京師范大學王策三先生在他的專著《教學論稿》中指出：教學過程本質上就是認識的過程。這句話是對教學過程本質的最精練概括，讓我們能夠靜下心來思考教學過程的最本質的東西是什么，為什么我們的教學會出現不盡如人意的現象。

上述教學現象的產生，最根本的原因在于課堂教學邏輯的缺失。一個能夠讓學生體會到學習的快樂、讓教師享受到教學樂趣的課堂，一定是遵循了教學規律的課堂，這樣的課堂應該賦有教學的邏輯。所謂邏輯通常是指思維的規律和方法。數學的教學過程是人認識知識本質的過程，在這個過程中并存著教師的教學過程，知識的發生、發展過程以及教師與學生的思維活動過程，這些過程實際上都是教學中客觀存在的邏輯過程，它必然存在著思維層面的規律和方法。

教學的邏輯首先是知識的邏輯。教學的展開都是以知識為載體的，而知識是有邏輯關系的。知識邏輯回答教學“教什么”的問題，它是教學活動中最具實質性的要素。知識邏輯一方面體現在本節課的知識與其所屬學科其他知識之間的邏輯關系；另一方面體現在本節課的知識與學生此前所學知識的邏輯關系和此后將要學習的知識之間的邏輯關系。作為教師，在進行一節課的知識教學前，就要能夠明確這些邏輯關系，并依據對知識的邏輯理解和認識，進行教學設計。知識的邏輯具有隱蔽性，但它無時無刻不在，如果你不去研究，你就看不到它，課堂教學就會不可避免地陷入單純的知識教學中，缺乏邏輯的教學也就“應運而生”了。

如何把握知識的邏輯關系呢？我認為明確所教授的知識與這段知識所處學科的知識之間邏輯關系是最為重要的。這種關系能夠使我們看清楚教師今天所教授的知識在整個學科知識體系中的地位與價值；教師在課堂上所進行的知識的教學是否遵循著學科的觀點和思維的方法；教師的課堂教學是不是在引導著學生探尋學科的本質。可以說，每一節課的知識的教學就是在明確著這些知識與學科知識的內在邏輯關系，讓學生通過知識的學習去體會、感受所學知識與知識所處的學科的邏輯關系。

例如，在平面幾何的各個單元知識的教學中，就要依據幾何學的學科知識的內在邏輯。即幾何學的教學要讓學生學會如何研究單個的幾何對象的幾何性質和不同幾何對象之間的位置關系。在幾何學不同階段的教學中，所教授的知識可能不同，但是都是要培養學生理解和掌握幾何學的這種學科觀點和研究問題的方法，理解幾何學背景下的知識邏輯。

本文以義務教育九年級數學上冊第24章關于圓的部分教學內容為例，就其知識邏輯進行簡要分析：圓是平面幾何學習的一個重要內容，其教學就是要使學生通過圓的有關知識的學習，在直線型圖形研究的基礎上進一步體會研究非直線型幾何圖形的思維與方法，深刻領悟幾何學的學科觀點。

圓這部分的知識邏輯主線是從兩個方面展開的：其一是對圓自身性質的研究，即圓的對稱性及其應用。圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。這種對稱性反映了圓這一幾何圖形的本質特征，它是圓的知識邏輯的核心，因而成為圓的知識邏輯展開的一條主線。無論是學習“垂徑定理”還是研究“切線長定理”，都是圓的軸對稱性質的體現。關于圓心角定理和圓周角定理，包括“正多邊形與圓”的學習和“圓的弧長公式”的學習，也都是在理解體會圓的旋轉對稱性質或中心對稱圖形的性質。其二是圓與其他幾何元素之間的邏輯關系。在直線與圓的位置關系的研究中，直線與圓相切是需要重點研究的一種位置關系。為了讓學生能夠更深刻地體會這種位置關系的判定和性質，就要從聯系的、運動變化的角度去理解直線與圓的三種位置關系，進而理解直線與圓的

相切。

總之，教師只有從研究幾何圖形的角度出發，依據平面幾何學的觀點、方法，才能夠揭示出圓的知識邏輯，實現圓的教學價值。

同樣，在高中階段的數學教學中，知識邏輯的確定也是提高教學質量的前提，是教師進行教學研究的切入點。如在平面解析幾何的教學中，如何有效地對幾何對象進行代數化是教學最為重要的任務。很多時候，由于教師不能從幾何學的知識邏輯的角度理解教學，使得平面解析幾何的教學經常陷入繁難的代數運算中不能自拔。實際上，依據幾何學的知識邏輯，對于幾何元素所進行的代數化不是一蹴而就的，而是要在明確幾何對象的幾何特征前提下進行代數化。如果是用“曲線與方程”的觀點看幾何對象，就是要明確動點運動的幾何規律之后再進行代數化。對于類似直線與橢圓（或雙曲線、拋物線）兩個或兩個以上幾何對象的研究，也是先要明確它們之間在幾何上的位置關系，才有可能用代數方法去解決它們的問題。

又比如，在立體幾何的教學中，盡管研究的對象是空間幾何體，但是同樣要遵循幾何學知識邏輯展開教學。也就是要研究幾何元素點、直線、平面的確定以及它們之間的位置關系。如2013年高考北京文科卷的第8題：在正方體的體對角線上有一個三等分點P，問點P到正方體的八個頂點的距離有幾組不同的值。解決這個問題的關鍵就是要確定點P的位置。題目僅是從代數的量的角度給出了點P的位置，但是點P的幾何特征仍然沒有明確下來。這個點在幾何上是如何確定的就成為解決問題的關鍵。這種認識就是基于數學問題與幾何學知識邏輯的關系的思考與研究。

發展學生的數學思維能力是數學教育的基本目標之一，教師的教學任務就是要通過教學活動，讓學生領悟數學的各個單元知識的思維特征，并能夠用知識所承載的思維方法理解數學問題并解決數學問題。因此，教學的邏輯不僅體現在知識本身的邏輯上，也反映在參與教學的教師與學生的思維活動中。思維邏輯就是指在知識邏輯的基礎上，在師生之間所進行的思維活動的規律和方法。

數學的教學價值在于學生思維邏輯的確立，讓學生的思維具有邏輯是數學教學最為重要的任務。但這個目標的達成不是知識邏輯自身能夠完成的，它需要授課教師在對知識邏輯具有深刻理解和認同的基礎上進行富有成效的教學活動，讓學生在學習知識的過程中建立起思維邏輯。可以說，思維邏輯不僅是教師教學工作專業性的體現，也是學生在知識學習的基礎上學科素養全面提高的重要標志。

既然思維的邏輯在數學教學中的地位如此重要，那么思維邏輯在現實的教學中是不是得到了應有的地位呢？我們不得不承認，在現如今的教學實踐中，應試思維還非常普遍，它在一些教師和學生的頭腦中還根深蒂固。如在習題教學中，一些教師為了讓學生盡快地運用數學的結論解決數學問題，主動放棄了許多有學科價值的數學思維活動，讓學生在沒有理解問題的情況下就直接進入到操作層面的學習活動中，學生知其然不知其所以然的現象客觀存在。在應試的思維下，“解題模型”已經從商家的鼓噪堂而皇之地進入我們的課堂，成為一些教師進行解題教學的利器。現如今，平面幾何教學中的基本圖形已經不是10多年前的“基本圖形”的概念了。最早提出“基本圖形”概念的北京市西城區教育學院的傅佑珊老師在《平面幾何基本圖形的方法與教學實踐》一文中指出：“所謂基本圖形是指現行教材中概念公理和定理所對應的圖形。”可是目前流行于課堂教學中的基本圖形已經發生了變異，遠遠超出了當年傅老師給“基本圖形”下的定義。各式各樣的“基本圖形”成為“題型”的代言人，“題型”教學穿上了美麗外衣在教學中大行其道。如在相似三角形判定的教學中，“A型圖和X型圖”成為能夠讓學生從復雜的圖形中找到解決問題的“基本圖形”，并作為判斷三角形相似的依據。學生記住了“A型圖和X型圖”，卻失去了用最基本的幾何元素之間的位置關系去判斷三角形相似的思維訓練。這種快餐式的教學就使得思維邏輯的建立變得極其艱難。

如何在教學實踐中確立思維邏輯呢？我們深知：數學中的基本概念反映了學科知識的本質，它是學科思維方法的最重要的載體。思維邏輯就來源于教師和學生對基本概念的深刻理解；思維邏輯的建立就依賴于學生在教師的指導下遵循基本概念所承載的思維特點所進行的思維活動。如用函數自變量的變化特征和相對應的因變量的關系來分析函數性質的思維方法，就是依托于函數概念所確立的函數思維的邏輯。“解題模型”是對思維邏輯的反動，應該拋棄；“基本圖形”要回歸到基本，讓學生有更多的機會用最基本的幾何位置關系去對問題作出解釋和判斷。要讓學生具有思維邏輯，就要讓他們學會用最基本的概念去理解問題和思考問題，并能夠站在知識邏輯的高度去認識知識所承載的思維

邏輯。

教學邏輯回答“怎么教”的問題，它是使得教學活動從不規范到規范、從隨意性向高度自覺性發展的要素。要讓教學過程賦有邏輯，課堂教學的主導者—教師不僅要研究教材，明確知識邏輯，還要研究知識所承載的思維，讓課堂教學活動賦有思維邏輯。可以說，知識邏輯和思維邏輯的確立是教學邏輯準確定位的基礎，教學邏輯的準確定位又是知識邏輯和思維邏輯在教學中得以充分揭示與展現的條件。

教學邏輯所面臨的最大的問題是教師的教學觀問題，它是對數學教學本質的溯源。教師的數學觀將直接影響學生的學習觀，具有正確數學觀的教師所理解的數學教育核心就是教好數學，讓他的學生的思維具有數學的邏輯。具有正確數學觀的教師所采用的教學方法是為學生理解數學內容、研究數學問題服務的方法。數學本質在具有正確數學觀教師的課堂上是不會被淹沒于表面化的教學形式、意義不當的訓練和枝節性的步驟之中的。

總之，作為教學研究者的教師，要準確把握教學中的知識邏輯和思維邏輯，并據此確立教學邏輯。在教學活動中揭示出所教授知識的本質，實現知識教學的教育價值，讓學生通過數學學習，感受到數學邏輯的魅力。要讓學生掌握研究數學問題的一般方法，養成理性思維的習慣，為他們今后的學習、研究打下一個堅實的

基礎。

（責任編輯：趙彩俠）