高中數(shù)學(xué)分類討論思想的應(yīng)用與教學(xué)

黃祖銘

參數(shù)廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類問題中，含參問題是近年來高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問題之一，特別在2014年福建省各地市的質(zhì)檢中屬于高頻考點(diǎn)，也是學(xué)生的一大難點(diǎn).以命題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn)，含參數(shù)的問題可分為兩種類型.一種類型的問題是已知參數(shù)范圍，探索命題結(jié)論；另一種類型的問題是已知命題結(jié)論，探索參數(shù)范圍.本文結(jié)合2014年福建省各地市質(zhì)檢，就分類討論問題類型一的解題思想方法作探討，不妥之處，敬請指正.

類型：已知參數(shù)范圍，探索命題結(jié)論，根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值（或取值范圍），探求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后歸納出命題的結(jié)論.

解決該類型的參數(shù)問題，通常要用“分類討論”的方法，即根據(jù)問題的條件和所涉及的概念，運(yùn)用的定理、公式、性質(zhì)及運(yùn)算的需要，圖形的位置等進(jìn)行科學(xué)合理的分類，然后逐類分別加以討論，探求出各自的結(jié)果，最后歸納出命題的結(jié)論，達(dá)到解決問題的目的.它實(shí)際上是一種化難為易、化繁為簡的解題策略和方法.

一、根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例1：解關(guān)于x的不等式組log■2x<2log■x（a-1）x■0且a≠1.

解，由于不等式中均含有參數(shù)a，其解的狀況均取決于a>1還是a<1，因此1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，

（Ⅰ）當(dāng)0

（Ⅱ）當(dāng)a>1時(shí)，可解得：x>20

（1）當(dāng)1

（2）當(dāng)a>3時(shí)，解集為（2，■）.

綜上所述：當(dāng)03時(shí)，解集為（2，■）.

二、根據(jù)參數(shù)的范圍確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例2：【2014年寧德質(zhì)檢題】20.已知數(shù)列{a■}滿足a■=t>1，a■=■a■.函數(shù)f（x）=ln（1+x）+mx■-x（m∈[0，■]），試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

分析：本例涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.對于含參的單調(diào)性問題，參數(shù)的不同取值對函數(shù)的單調(diào)性有著不同的影響，關(guān)鍵是如何分類，主要結(jié)合參數(shù)取值范圍中尋找分類的臨界點(diǎn)，如本題的臨界點(diǎn)就是m=0，m=■，以及對分子為0的取值進(jìn)行分類討論.

解：f′（x）=■+2mx-1=■=■（x>-1），

當(dāng)m=0時(shí)，f′（x）=■，當(dāng)-10；當(dāng)x>0時(shí)，f′（x）<0，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，0），減區(qū)間是（0，+∞）；

當(dāng)0

當(dāng)00，當(dāng)-10；

當(dāng)0

X>-1+■時(shí)，f′（x）>0，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，0）和（-1+■，+∞），減區(qū)間是（0，-1+■）；

當(dāng)m=■時(shí)，x■=x■=0，f′（x）=■≥0，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，+∞），無減區(qū)間.（7分）

綜上所述，當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，0），減區(qū)間是（0，+∞）；

當(dāng)0

當(dāng)m=■時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，+∞），無減區(qū)間.

三、根據(jù)參數(shù)存在性確定標(biāo)準(zhǔn)

例3：【2014年寧德質(zhì)檢題】19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C■上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）的距離之和為2■.

（Ⅰ）求曲線C■的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓C■：x■+■=1，若斜率為k的直線OM交橢圓C■于點(diǎn)M，垂直于OM的直線ON交曲線C■于點(diǎn)N.

（i）求證：|MN|的最小值為■；

（ii）問：是否存在以原點(diǎn)為圓心且與直線MN相切的圓？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.

分析：本小題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查分類與討論、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等.

解：（Ⅰ）由橢圓定義可知曲線C■的軌跡是橢圓，設(shè)C■的方程為■+■=1（a>b>0），所以2a=2■，c=1，則b=1，故C■的方程■+y■=1.

（Ⅱ）（ⅰ）證明：當(dāng)k=0，M為C■長軸端點(diǎn)，則N為C■短軸的端點(diǎn)，|MN|=■.

當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線OM：y=kx，代入x■+■=1，

整理得（x+3k■）x■=2，即x■=■，y■=■，所以|OM|■=x■+y■=■.

又由已知OM⊥ON，可設(shè)ON：y=-■x，同理得|ON|■=■，

所以|MN|■=|OM|■+|ON|■=■+■=（2+2k■）·■，

又|MN|■-2=■=■>0，

所以|MN|的最小值為■.

（ⅱ）存在以原點(diǎn)為圓心且與直線MN相切的圓.

設(shè)Rt△MON斜邊上的高為h，由（Ⅱ）（ⅰ）得當(dāng)k=0時(shí)，h=■；

當(dāng)k≠0時(shí)，|OM|·|ON|=■·■，

又|MN|=■ （12分）

由|MN|·h=|OM|·|ON|，得h=■=■，

故存在以原點(diǎn)為圓心，半徑為■且與直線MN相切的圓，圓的方程為x■+y■=■.

四、分類討論的方法和步驟

（1）確定是否需要分類討論及需要討論時(shí)的對象和它的取值范圍；

（2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理分類；

（3）逐類進(jìn)行討論得出各類結(jié)果；

（4）歸納各類結(jié)論.

例4：解關(guān)于x的不等式：■≥a-x.

略解：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題如圖：

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=■和y=a-x的圖像，

以L■，L■，L■在y軸上的截距作為分類標(biāo)準(zhǔn)

知：當(dāng)a≤-1時(shí)，-1≤x≤3；

當(dāng)-1

當(dāng)3

當(dāng)a>1+2■時(shí)，不等式無解.

總之，分類討論在高考中是一種重要的數(shù)學(xué)思想，從已知出發(fā)，通過分類討論，探索命題的結(jié)果，關(guān)鍵的要點(diǎn)在于分類的臨界點(diǎn)如何確定，如何科學(xué)分類是解決問題的重要節(jié)點(diǎn)，分類時(shí)要注意做到不重不漏.分類討論的思想是一種重要的解題策略，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性，以及提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助.然而，并不是問題中一出現(xiàn)含參數(shù)問題就一定得分類討論，如果能結(jié)合利用數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的思想等解題思想方法就可避免或簡化分類討論，從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題效果.