“變教為學”需要“誘人”的問題

“變教為學”教學改革意欲將學生的學習方式從“被動接受式”改變為“主動生成式”；將教師的教學方式從“講授式”改變為“引發式”。其中“引發”的含義包括“引導學生專心，激勵學生努力，誘導學生愿意”。為此，教師就需要在備課中為學生設計能夠“吸引注意、煥發勇氣、激發動機”的情境與問題。這種“誘人”的問題的開發與設計，是“變教為學”教學改革研究的一項重要內容。

“誘人（Engagement）”的情境與問題的一個特征應當是“真實（Authentic）”，也就是問題應當來源于真實發生的社會活動或者自然現象中人的某種需求，歷史上許多這樣真實的問題吸引了數學家們的注意并開展研究，因此導致了數學中重大的發現或者發明。

比如，在18世紀的歐洲，普瑞格爾河（Pregel River）流過東普魯士（East Prussia）的古城哥尼斯堡（Konigsberg）市中心，河兩岸分別是圖1的B處和C處，流經兩個小島分別是圖1中的A處和D處，連接兩岸和小島之間筑有七座古橋（見圖1）。每逢節假日，市民們紛紛上島游玩散步。凡旅游者都有一種愿望，游覽的景點盡量多，而且不走重復路。漸漸地，人們發現這七座橋不能滿足這一愿望。要想走遍七座橋，就一定有橋重復走，不重復就不能走遍七座橋。這就刺激人們產生了解決下面問題的愿望：尋找一條行走路線，使得每座橋都走到，并且每座橋只走一次。這一問題曾經吸引了無數人的研究興趣，最終由當時在彼得堡科學院工作的瑞士數學家歐拉（Leonhard Euler，1707～1783）成功解決，并在此基礎上創立了數學的一個分支——“圖論”。[1]

這一問題被后人稱為“七橋問題”，“七橋問題”之所以誘人，從客觀的角度看，是人們在日常活動中遇到的真實的事情，從主觀的角度看，正是人“占有更多”和“簡捷省力”的愿望，導致了人們具有解決這個問題的需求。因此可以說“誘人”的問題僅有“真實”的特征是不夠的，還應當與問題解決者的愿望或者需求有聯系。

比如，在用現金購物的活動中，人們經常會出現需要“找零”的情況，對于商家來說有時會出現缺少零錢而不能實現找零的窘境。因此就會出現下面的情境與問題。

例題1：某件商品17元，顧客付款20元，商家應當找回零錢3元。如果此時商家恰好沒有3元零錢，那么有什么辦法可以解決這個問題呢？

這樣的問題來源于日常活動，反映了人們在社會活動中的需求，應當說具有“誘人”的特征。問題的解決至少可以有兩個方案，第一是如果商家此時有5元紙幣，顧客有2元零錢，那么就可以請求顧客再付2元，而后商家找還給顧客5元。思考過程中需要的計算包括：

20-17=3（元）

20+2-17=5（元）

第二個方案與此類似，如果商家此時沒有5元紙幣，但有10元紙幣，顧客恰好有7元零錢，那么就可以再付給商家7元，商家找還10元即可。用到的算式為：

20+7-17=10（元）

以上過程在實際教學中，不需要教師對解決方案進行講解。教師可以通過“講故事”或者“視頻”的手段，向學生展示情境的發生與發展，而后組織學生思考并討論諸如下面的問題：

要解決的問題是什么？

可以怎樣解決？

解決過程用到了哪些知識和方法？

其中“要解決的問題是什么”的思考與討論，目的是引導學生經歷“發現問題、理解問題、表達問題”的過程。也就是讓學生在這個思考和討論的過程中，能夠感受到問題的存在，理解問題的含義，能夠用自己的語言表述。

對于“可以怎樣解決”這一問題，其實是引導學生經歷對于解決問題的過程與方法的設計過程。這一過程期望學生對每一個解決方案進行細致思考，以及對不同方案的交流和比較。

關于“解決過程用到了哪些知識和方法”的思考，其實是對解決問題后的反思或總結的過程。前面問題的解決實際上運用的是“湊整”的方法，是在減法運算中為減法的結果“湊五”或“湊十”，用到了減法的一個運算規律，即“如果減數不變，那么被減數增加或減少多少，差也增加或減少多少”。用算式表達出來就是：

（a+c）-b=（a-b）+c

（a-c）-b=（a-b）-c

由于這一問題的解決所用到數學知識相對簡單，因此適合于低年級的計算以及解決問題的教學。而在中年級學生學習混合運算時，可以引導學生研究下面的問題。

例題2：學校每天上午上4節課，每節課40分鐘。上午的一次課間為課間操，時間為30分鐘。其余課間休息每次時間為10分鐘。如果早晨第一節課8點整開始，那么上午最后一節課什么時間結束？

這一問題顯然與學生每天在學校的活動息息相關，自然會喚起學生愿意去思考并解決的愿望。思考過程會用到“倒推”的思路，為了知道“什么時間結束”，需要知道“共用多少時間”；為了知道共用多少時間，先要知道“上課共用時間”和“課間共用時間”。這樣的思考過程可以用圖2的流程圖直觀表現出來：

有了以上分析，就可以通過計算解決問題了。因為一個上午共4節課，每節課40分鐘，因此一個上午“上課共用時間”為：

40×4=160（分）

又因為共有3次課間，其中2個每次是10分鐘，另一個是課間操需要30分鐘，所以課間共用時間為：

10×2+30=50（分）

所以共用時間為：160+50=210（分）

核算出210分鐘是3個半小時，因此從8點開始上課，到最后一節課結束共經過3個小時30分鐘，因此最后一節課結束時間應當是上午11點半。

實際教學中，重點是引導學生對問題進行分析和轉化。也就是要引導學生理解下面這些問題，并且理清這些問題之間的關系：

最后一節課什么時候結束？

從早晨8點開始上課，到最后一節課結束共經過多少時間？

上課共用多少時間？

課間共用多少時間？

一個上午一共上幾節課？

一節課多少分鐘？

一個上午有幾次課間？

每個課間多少分鐘？

問題的解決過程中，不僅要用到混合運算的知識與方法，而且還用到了“植樹問題”的模型。在“一個上午有幾次課間”這個問題的思考中，因為一個上午共有4節課，因此其中會出現3次課間，這實際上就是“植樹問題”的模型。（見圖3）

學生學習數學的過程，對于數學知識是分門別類進行學習的。而在解決實際問題的時候，知識的應用往往是綜合的，這就需要學生逐步形成一種能夠甄別、選擇和使用所學知識的能力。為了鍛煉這種能力，就需要給學生更多這樣的機會去經歷和體驗。

在人的日常活動中往往有對于“日期”和“星期”相互轉換的需求，比如：

例題3：在不查看日歷的情況下，如何能夠迅速知道2015年12月18日是星期幾？

對于這一問題的思考，所依據的基本原理是數學中的“余數”。觀察日歷表可以發現12月18日的星期數與12月4日、11日、25日的星期數是一樣的，原因是4、11、18、25除以7的余數相同。由于這四個日期數均勻分布于整月中，因此，有一種方法就是利用所熟悉的特殊日期進行推算，比如，如果12月6日恰好是自己或親朋好友的生日，因此對于12月6日是星期日印象深刻，由此推算12月4日是星期五，因此12月18日也是星期五。

另外一個簡便的方法是記住12月第一個星期日的日期數，比如2015年12月第一個星期日的日期數是6日，從6日開始過1天是7日，就是星期一，過2天是8日，就是星期二，依次類推，從6日開始算起，經過幾天就是星期幾。因此要想求出18日的星期數，只要用18減去6的結果為12，說明從6日到18日共經過12天。用12除以7，余數為5，說明經過12天與經過5天的星期數相同，因此5就是18日的星期數，即星期五。

在小學數學課程中有“探索規律”的課程內容，所謂“探索規律”就是在運動與變化的過程中尋找不變因素，[2]一旦發現這樣的不變因素，就意味著發現了規律，進而就可以實現“預見未來（Prediction）”的目的。如果把從12月6日到12月18日的變化過程用圖4表示出來，就可以明顯地看出這樣的規律：

實際教學中，應當引導學生把注意力放在運動與變化上，以及其中蘊含著的不變因素方面。在圖4的變化過程中存在著兩個不變因素，第一是從6日開始過幾天就是星期幾（天數比8小的時候），比如過5天是11日恰好是星期五；第二是從任何一天經過7天的星期數是相同的，比如從6日（星期日）經過7天是13日，也是星期日。抓住了這樣兩個不變因素，就可以方便地計算出本月任何一天是星期幾。

這種在現實中與人的需求息息相關的真實情境與問題是很多的，需要教師善于觀察發現，并且能夠與教學內容建立聯系。比如在北京、杭州等城市，乘坐地鐵出行不僅準時舒適，而且環保，圖5是北京地鐵1號線線路圖。

這樣的情境與小學數學課程中的“植樹問題”就有緊密的聯系。對于有乘坐地鐵經驗的學生來說，諸如下面的問題都可以成為學生思考討論的真實問題。

地鐵運行一站大約需要多少時間？

地鐵在每站大約停多少時間？

從某地到某地共有多少站？

從某地到某地共經過多少站？

從某地到某地需要多少時間？

為了在某個時刻到達目的地，在某地出發去目的地應當幾點出發？

再比如，我國許多地區都有過年“包餃子”的習俗，餃子通常會擺放在圓形“蓋簾兒”上。（見圖6）

在包餃子過程中，人們通常需要知道“是否夠吃”，也就是需要迅速知道一個蓋簾兒上大約擺放了多少餃子，如果一個一個去數，會比較麻煩。因此就有尋找簡便的估算方法的需求。其中實際上蘊含著一個有關圓面積與圓周長之間關系的數學知識，即圓周長的一半與圓半徑的乘積等于這個圓的面積。如果用字母r表示圓的半徑，圓周長的一半就是，與半徑r的乘積為：×r=πr2。由于=2π×，因此這一關系還可以理解為：圓面積等于中間位置的同心圓的周長與圓半徑的乘積。（見圖7）

估算餃子數量的方法與此相關，在圖6第一個圖中，中間一圈的餃子數量是25個，總共可以看作是擺放了3圈，因此這個蓋簾兒上大約擺放了（25×3=75）個餃子。第二個圖也可以用類似方法估算出來。對于小學中低年級學生，關于乘法認識、長方形面積等數學內容，可以用圖8中的擺放方式進行探究。

讓學生經歷真實情境與問題的思考和研究，其目的一方面是讓學生感受到數學知識與方法的實際意義，進而誘發學生學習數學的動機。另外對于學生在真實情境中善于發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的習慣養成和能力提升，都會有所裨益。真實情境中的問題往往具有開放性，也就是其條件、結論以及過程與方法未必是唯一確定的，因此對于學生綜合并且靈活運用知識和方法的能力的逐步提升也會起到積極作用。凡此都需要教師不斷開發并積累這樣的案例。

參考文獻：

[1]郜舒竹，徐春華. 歐拉究竟是怎樣解決七橋問題的[J]. 數學通報，2005（1）.

[2]郜舒竹. “探索規律”釋義[J]. 課程·教材·教法，2015（1）.

（首都師范大學初等教育學院 100048）