透過現象看到本質

姜榮富

初等幾何研究的立體圖形包括棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球等。其中圓柱、圓錐、圓臺都是旋轉體。以長方形的一邊或直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體，分別叫作圓柱和圓錐。不僅如此，利用平面圖形和它的運動，可以方便地定義相關的概念。旋轉軸是它們的軸，在軸上的這條邊叫作它們的高，垂直于軸的邊旋轉成的圓面叫作底面，不垂直于軸的邊旋轉成的曲面叫作側面，無論旋轉到什么位置，這條邊都叫作側面的母線。

古希臘的幾何學家對圓、球、柱、錐進行研究，而且還對其他的多種曲線如橢圓、拋物線、雙曲線等等的性質進行研究，獲得杰出的成果。[1]這三類曲線統稱為圓錐曲線，是數學研究的重要對象。小學生認識圓柱與圓錐，學習相關的測量，為進一步研究圓錐曲線的性質打下基礎。下面從概念引入、轉化方法與學生理解三個方面，討論教材的設計，比較不同教材的編排方式，分析學生的理解與掌握情況。

一、概念的引入：分類與抽象

不同教材引入圓柱與圓錐的方式大致可以分成兩類：一類是從圖形的分類中引入，一類是從實物的抽象中引入。

從分類中引入。教材提供眾多的直柱體與正錐體，讓學生按一定的標準進行分類，在分類的活動中認識圓柱與圓錐區別于其他柱體與錐體的特征。如韓國2006年修訂的《數學課程標準》，在小學六年級圖形的教學內容中，安排了角柱（棱柱，下同）與角錐（棱錐，下同）的性質、圓柱與圓錐的性質，[2]在認識棱柱與棱錐的基礎上學習圓柱與圓錐。臺灣版《國民小學數學課本》第十一冊（南一書局企業股份有限公司，中華民國九十一年八月版），以“角柱與角錐”為單元標題，先是提供了各種各樣的直棱柱與正棱錐，按照是否有尖頂分成柱體和錐體，再根據底面形狀把柱體分成圓柱與角柱。如下圖：

無論是研究問題還是認識圖形，分類都是重要的。通過以上兩級分類，學生可以把柱體與錐體、圓柱與棱柱清晰地區分開來。認識圖形不僅僅是為了讓學生知道哪一種圖形叫什么名字，學會區別圖形，更重要的是讓學生學會對圖形分類，認識某種具體圖形的教學只是個案，只有讓學生理解圖形的分類才使教學具有一般性。[3]分類的核心是建立分類的標準，只有那些可以作為分類標準的性質才是圖形的重要特征。在分類的過程中，既要關注圖形的共性，也要關注圖形的差異，而共性和差異都是抽象的結果，是抽象的具體體現。[4]因此，分類不僅是學生認識圖形的手段，也是培養學生抽象能力的途徑。

從抽象中引入。從實物圖形中抽象出幾何體，也是認識幾何圖形的重要方法。這個抽象的過程，舍棄了圖形的顏色、材質等物理屬性，只保留空間、大小、位置等數學屬性。國內的教材大多采用這種方式來引入圓柱與圓錐。如人教版教材（下左圖）與北京版教材（下右圖）：

不過，抽象似乎并沒有確切的定義，從實物圖抽象到幾何圖，究竟哪些屬性應當保持不變，不同教材其處理的方式也有差異。以上兩個版本的教材，實物圖與幾何圖形的大小是一致的，或者說抽象前后基本保持1∶1的大小比例關系。以前的教材似乎并不注意這一點。如下圖：

筆者的理解是數學中的抽象也是分層次的。如果從不同大小的實物圖形中抽象出一個幾何圖形，屬于比較高層次的抽象，這時抽象得到的幾何圖形具有“類”的特征。換句話說，從大小不同的實物中抽象得到的幾何圖形，只是數學研究的對象，在現實世界中并不真實存在。

二、轉化的方法：立體與平面

認識立體圖形的基本思路是轉化為平面圖形。我國《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求：通過觀察、操作，認識圓柱與圓錐，認識圓柱的展開圖。[5]這些觀察、操作的活動主要是圖形的觀察比較，圖形的展開折疊，平面圖形的旋轉，立體圖形的截面，等等。從教材的呈現上看，包括看一看、比一比、轉一轉、做一做、截一截。

看一看。觀察是認識圖形最重要也是最基本的方法。如下圖人教版教材：

學生在認識圖形的過程中，積累了許多觀察圖形的經驗，比如分析平面直線圖形可以觀察它的邊與角，分析長方體可以觀察棱和面的大小與位置關系，這些經驗不容易直接遷移到認識圓柱的活動中來，教材需要設計更加直觀與豐富的活動。

比一比。圓柱與圓錐聯系密切，同底等高的圓柱體與圓錐體的體積存在確定的倍數關系。通過對這兩類立體圖形進行比較，學生容易找到它們的相同點與不同點。北師大版教材把認識圓柱與圓錐安排在同一課時，使比較成為認識圖形的現實途徑。如下圖：

轉一轉。由平面圖形旋轉得到立體圖形，這是旋轉體獨有的特征，這種特征體現了平面與立體的奇妙關系，也為學生認識立體圖形的特征提供了新的視角。許多教材都安排了將平面圖形進行旋轉的活動，浙教版教材在要求學生觀察想象的同時，還要進一步思考平面圖形的邊長與立體圖形底面半徑的關系。如下圖：

做一做。把立體圖形轉化為平面圖形進行研究，比較直觀的方式就是展開與折疊。人教版教材在學生初步認識圓柱的特征之后，通過展開與折疊的活動，發現立體圖形的組成元素與平面展開圖之間的關系，為學習表面積計算打下基礎。如下圖：

截一截。用一個平面去截立體圖形，也是認識立體圖形性質的一種途徑。如下圖北師大版教材：

朗文出版社出版的《小學數學》，在6A學段呈現了豐富多樣的圓柱或圓錐截面。如下圖：

對于圓柱，用一個垂直于旋轉軸的平面去切割，所得的截痕是一個圓，如果割面和轉軸不垂直，則截痕是一個橢圓。對于圓錐，用一個垂直于旋轉軸的平面去切割，所得的截痕也是一個圓，如果割面和轉軸不垂直，則截痕是橢圓、拋物線或雙曲線。

三、學生的理解：特征與反例

為了解學生對圓柱特征的理解水平，筆者對浙江省某城鎮小學六年級兩個班的113名學生進行了測查。教學使用北師大版教材，兩個班由同一個教師執教。測查安排在上完“面的旋轉”這節新課之后進行，時間20分鐘。測查題目為北師大版教材第4頁的一道練習題，如下圖：

測查的問題是：上面的圖形哪些是圓柱體，哪些不是？想一想圓柱有什么特點，用自己的話寫下來。

主要從兩個方面進行分析：一是學生對圖形特征的描述是否完備？二是反例是否支持學生改善特征描述？

圓柱的組成元素包括底面、側面、高等，這些元素包括形狀、大小、空間關系。這項研究主要考查學生從哪些角度描述圓柱特征，研究的方法是對學生描述的特征進行歸類分析。主要包括：（1）底面是形狀一樣、大小相同的圓；（2）側面是曲面，展開是長方形；（3）有無數條高，這些高都相等；（4）由長方形旋轉得到，是圓平移的軌跡。結果如下：

可見，對于底面的特征學生比較容易把握，而對于圓柱的動態形成過程印象并不深刻。其中，特征描述中包含（1）（2）（3）這三項的有34人，占30.1%。可以這樣說，這部分學生對于圓柱特征的描述比較完備。或者說，與那些“顧此失彼”（只描述一項或兩項）的描述相比，約1/3的學生對圓柱特征的描述比較完備，可以理解為他們對圖形特征的掌握比較好。

正例與反例對于概念學習有各自不同的價值，正例用于概括，反例推動反思。調查時先讓學生獨立寫下圓柱的特征，然后提示學生：再想一想，你寫的話有沒有把上面不是圓柱的例子排除在外，如果沒有排除外，應當怎樣修改你寫的話。對113名學生進行分析，描述中包含了許多錯誤或不夠清晰、嚴謹的地方，但在教師提示學生對照反例后，對描述作了修改的有23人，占20.4%。這樣看來，反例對學生改善圖形特征的描述所起的作用比較小，這是在教學時需要引起注意的地方。

“透過現象看本質”是一句至理名言，它對數學概念教學也有啟示意義。教材提供的實物或幾何圖形，各種屬性是混雜在一起的，它是“現象”。抽象、分類、轉化與概括正例、思考反例，這些活動就像一個個篩子，把本質屬性與非本質屬性分離開來，幫助學生“看透”概念的本質，形成對圖形特征的理解。

（注：本文作者系朱樂平名師工作站一課研究組成員）

參考文獻：

[1]項武義著.幾何學的源起與演進[M].北京：科學出版社，1983：130～131.

[2]曹一鳴主編.十三國數學課程標準評介[M].北京：北京師范大學出版社，2012：224.

[3][4]史寧中著.小學數學教學中的核心問題——基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013：57.

[5]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[Z].北京：北京師范大學出版社，2012：23.

（浙江省新思維教育科學研究院 310003）