悟

徐宏臻

如何幫助學生獲得基本的數學活動經驗？《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數學學習活動過程中逐步積累的。對此，筆者結合自身的研究和實踐認為， “悟”是幫助學生獲得探究經驗的一條好路徑。這里的“悟”主要是指通過反思來領悟探究過程中的數學活動經驗和數學思想方法。因為思想的感悟和經驗的獲得是隱性的東西，光靠老師講是不行的，必須注重讓學生自主感悟，而領悟又要靠對思維過程的反思才能達到。“悟”有利于活動經驗的提取、內化和系列化，有利于對數學思想的感悟。為此，我們要以解決問題為載體，教會學生“悟”探究過程，“悟”知識本質，“悟”知識間的內在聯系，“悟”數學思想方法，鼓勵其主動地、自覺地、經常地“悟”，從而使探究經驗逐步突出、明確，并被學生內化于心。下面筆者談談在這方面的一些做法和體會。

一、在“做”中悟得

孔凡哲等專家認為，數學活動經驗具有一定的情境性。“不經一事，不長一智。”根據小學生的年齡特點和認知規(guī)律，他們需要經歷具體的、充分的、較為真實的探究過程，在親自“做”中才能獲得真切的活動體驗。實踐證明，親自“做”是學生獲得探究經驗的主要路徑。為此，要精心設計現實的、有意義的和富有挑戰(zhàn)性的數學問題情境，設法激發(fā)學生的探究欲望，放手讓其獨立思考，自主探索，合作交流，全面參與數學概念的形成和建立過程，數學規(guī)律的概括、歸納和總結過程，數學問題的發(fā)現、提出、分析和解決過程等，要給予學生充分的探究時空，讓其在教師的科學、適時和恰當的引導下進行“再探究”“再發(fā)現”。這樣，探究經驗就會自然地附著在數學知識上，就會變得具體、強烈和深刻，學生就容易體驗到，也容易靈活遷移和合理運用。

例如，蘇教版六年級上冊在教學“分數四則混合運算”時（以下舉例均為蘇教版教材），編排了如下探索題：

教材從具體形象到抽象，從特殊到一般，引導學生通過多次舉例驗證和合情推理，逐步發(fā)現變化規(guī)律。為了使學生獲得具體、充分的探究經驗，并加深對探究經驗的體驗，筆者把上題合編為：把一個長方形的長和寬分別增加后，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？

在此基礎上，筆者用下列問題引導學生回顧和反思、比較和優(yōu)化，從中“悟”得探究經驗：為什么一開始我們無從下手？后來想到了什么方法？在這幾種方法中，你更喜歡哪種？為什么？研究了這題后，你感受最深的是什么？

學生在“做”中獲得了具體的、豐富的、深切的體驗。他們說：要把抽象的、復雜的問題轉化為具體的、簡單的問題；要從研究具體、特殊的問題轉向研究一般的問題，從中找到規(guī)律；要多方驗證規(guī)律；不但要解決問題，而且要從中找到解決問題的好方法……通過“做”，學生將會把獲得的探究經驗帶到今后的學習中，成為今后學習的經驗和方式方法。

二、在“議”中悟得

孔凡哲等專家研究表明，活動經驗具有層次性和個體性差異，并處于不斷的變化和更新中。即使經歷同樣的探究活動，但不同的人得到的經驗往往有所不同，這里面有粗糙與精細、煩瑣與簡捷、片面與完整等區(qū)分。因此，在面對學生各自獲得的探究經驗時，教師很有必要引導其進行相互交流和評議、審視和反省，相互補充和完善、修正和提升，使經驗更具概括性和科學性。實踐證明，引導學生“議”是幫助學生獲得探究經驗的又一重要路徑。

例如，在教學“三角形的內角和”后，筆者及時引導學生對幾種探究方法進行評議，以使經驗趨向合理。學生說：可以從特殊三角形推想到一般三角形，如先求出一副三角板的內角和分別是多少度，因為它們都是180°，所以可以類推出一般三角形的內角和也是180°。但有人反對說：特殊三角形是這樣，不代表所有的三角形都是這樣，我們要分別研究銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，看是否具有同樣的結果，這樣就把不同種類的三角形都研究過了，這樣得出的結論才適合所有的三角形。有人說：用量角器“量后加”有誤差，不夠準確，僅能得到一個近似的總和；有人說：把三個內角“折在一起”他們沒想到，也比較難折，因為折法有講究；有人說：把三個內角“撕下拼”最簡單，一眼就看出能拼成一個平角。但有人反對說：“撕下拼”只適合研究三角形和四邊形的內角和，假如研究五邊形、六邊形、七邊形……的內角和就行不通，撕下后拼成的角都超過周角了，不知道是多少度。有人說：可以把五邊形、六邊形、七邊形……分割成一個個小三角形……在相互評議和碰撞中，探究方法逐步從特殊走向一般，從模糊走向精確，從繁難走向簡單，已有的經驗得到改造和提升，學生的思維逐步向縱深方向發(fā)展。同時，通過評議，學生也能客觀地、理性地、辯證地看待自己的經驗，避免“一根筋”。

“吃一塹，長一智。”對于學生在探究過程中所出現的失誤，教師也要珍惜和利用，要引導學生回顧探究過程，反思和尋找失敗原因，及時進行交流和評議，從中汲取經驗和教訓。這樣，學生就獲得多方面的探究經歷和體驗，就能把錯誤變?yōu)橘Y源，避免以后再犯類似的錯誤。筆者認為，“議”更讓學生從中懂得了討論的必要性，學會怎樣從傾聽、交流和討論中得到自己所要的東西。

三、在“用”中悟得

探究經驗是在數學活動中逐步積累的，它的獲得需要一個長期的過程，絕非一兩節(jié)課或一兩次活動就能完成。運用也是積累，而且能促進積累。實踐證明，運用是幫助學生獲得探究經驗的又一條重要路徑。因為運用能促進領悟，提升認識，能鞏固和改造已有的經驗。在運用時，不但要鞏固知識和技能，而且要鞏固過程和方法；不但要通過運用已有的經驗解決問題，還要通過解決問題進一步內化經驗。為此，要精心設計運用的情境和問題，激活學生已有的經驗，讓經驗展現出應有的“魅力”和“活力”。這樣，學生對已有經驗的感悟就會愈來愈清晰、穩(wěn)固和深刻，就會逐步“扎根”于心，并把經驗上升為解決問題的能力。

例如，在教學五年級下冊“一一列舉”的策略后，筆者在鞏固和運用階段出示了下列題組讓學生思辨。你打算用什么策略解決下列問題？

（1）王大叔用30根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？

（2）王大叔用300根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？

（3）王大叔用30根1米長的木條圍一個長方形花圃，已知寬是7米。面積是多少平方米？

通過討論和交流，學生明白：對于問題（1）可以用一一列舉的策略，對于問題（2）當然也可以用一一列舉的策略，但比較麻煩，需要尋找新的策略。有的學生發(fā)現，可以把題中的根數變少，使題目簡單，從中找到規(guī)律，再運用規(guī)律解決復雜的問題。對于問題（3），學生認為不需要用一一列舉的策略，只要先用周長的一半減去寬，就得到長，再用長乘寬就得到長方形的面積。如果用一一列舉的策略，反而比較麻煩。筆者提問：怎樣改動問題（3），就需要用一一列舉的策略呢？為什么？學生普遍認為“去掉已知寬是7米”即可，因為這時不止一種情況了，需要有序地一一尋找。這樣，學生在運用中對何時用一一列舉的策略，怎樣用，一一列舉策略的局限性等有了較為全面的、深刻的認識，他們的思維得到了發(fā)展，并創(chuàng)造出解決問題的新經驗——找規(guī)律。

總之，只要我們緊扣教學目標和教學內容，善于根據學生的知識水平、生活經驗、學習能力、心理特征和經驗形成的規(guī)律設計探究活動，真正把過程做實、做足、做好，并把“悟”與“做”“議”“用”有機結合，持之以恒地堅持下去，學生就一定會獲得探究的經驗，其數學素養(yǎng)一定會大幅提升。

（注：此文系2011年江蘇教育科學“十二五”規(guī)劃課題“小學數學實踐課的開發(fā)與應用”的研究成果，批準號為：D/2011/02/066）

（江蘇省高郵實驗小學 225600）