巧用拋物線的對稱性

侯海靜

拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）是軸對稱圖形，對稱軸是平行y軸的直線，利用其對稱性特點(diǎn)尋求解題途徑，往往會出現(xiàn)意想不到的效果.

（1） 拋物線y=a（x-h）2+k的對稱軸為：直線x=h；

（2） 若拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0），則對稱軸為：直線x= ；

（3） 若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（m，p），（n，p），則對稱軸為：直線x= .

一、 在表格中尋找對稱點(diǎn)巧用拋物線的對稱性

例1 （2014·山東棗莊）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的x、y的部分對應(yīng)值如下表：

則該二次函數(shù)圖像的對稱軸為（ ）.

A. y軸 B. 直線x=

C. 直線x=2 D. 直線x=

【分析】依據(jù)表格發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=1和x=2時的函數(shù)值相等，所以點(diǎn)（1，-1）和點(diǎn)（2，-1）是拋物線上的兩個對稱點(diǎn)，從而可求出對稱軸.

解：∵x=1和2時的函數(shù)值都是-1，

∴對稱軸為直線x= ，即x= .

因此選D.

【反思】拋物線是軸對稱圖形，所以在用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像時，在列表過程中，往往依據(jù)其對稱性來選取一些適當(dāng)?shù)闹?同樣在分析二次函數(shù)對應(yīng)的表格時，首先要觀察其中是否有對稱點(diǎn)，這樣可以讓解題變得更簡單.

二、 在圖像中尋找對稱點(diǎn)巧用拋物線的對稱性

例2 拋物線y=ax2+2ax+a2+2的一部分如圖1所示，那么該拋物線在y軸右側(cè)與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）.

A. ，0 B. （1，0）

C. （2，0） D. （3，0）

【分析一】因?yàn)榻馕鍪街兄挥幸粋€待定系數(shù)a，所以由圖像上的一個已知點(diǎn)（-3，0）代入即可確定解析式，從而求出交點(diǎn)坐標(biāo).

解一：將（-3，0）代入y=ax2+2ax+a2+2中，得9a-6a+a2+2=0，解得a=-1或a=-2.

當(dāng)a=-1時，y=-x2-2x+3=-（x+3）（x-1），與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3， 0）、（1，0）；

當(dāng)a=-2時，y=-2x2-4x+6=-2（x+3）（x-1），與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3， 0）、（1，0）.

因此拋物線在y軸右側(cè)與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0）.

【分析二】由圖像知拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為（-3，0），由于拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)是對稱點(diǎn)，因此要求拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)，只要能確定對稱軸即可.

解二：因?yàn)閥=ax2+2ax+a2+2，配方得y=a（x+1）2+a2-a+2， 所以對稱軸為x=-1，得另一交點(diǎn)為（1，0）.

【反思】顯然解法二要比解法一簡單得多，解法二就是抓住拋物線的對稱性，讓問題變得清晰，讓解法變得簡單.

例3 （2014·江蘇揚(yáng)州）如圖2，拋物線y=ax2+bx+c（a>0）的對稱軸是過點(diǎn)（1，0）且平行于y軸的直線，若點(diǎn)P（4，0）在該拋物線上，則4a-2b+c的值為________.

【分析】根據(jù)題意可確定拋物線的對稱軸，其中點(diǎn)P是拋物線與x軸的一個交點(diǎn)，結(jié)合圖像能確定另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)，而這個點(diǎn)恰好是代數(shù)式4a-2b+c所必需的x=-2的值.

解：設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)是Q.

∵拋物線的對稱軸過點(diǎn)（1，0），拋物線與x軸的一個交點(diǎn)是P（4，0），

∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)Q（-2，0）.

把（-2，0）代入解析式得：0=4a-2b+c，

∴4a-2b+c=0.

故答案為：0.

【反思】本題考查了拋物線的對稱性，知道拋物線與x軸的一個交點(diǎn)和對稱軸，我們就能夠表示出拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)，求得另一個交點(diǎn)坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵.

三、 借助特殊點(diǎn)位置關(guān)系巧用拋物線的對稱性

例4 已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn) A（-2，7），B（8，7），C（5，-5），則此拋物線上縱坐標(biāo)為-5的另一個點(diǎn)D的坐標(biāo)是________.

【分析】由A（-2，7），B（8，7）兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，知A，B兩點(diǎn)是拋物線上的對稱點(diǎn)，可求得對稱軸.又因?yàn)镈點(diǎn)與C點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，所以C，D兩點(diǎn)也是拋物線上的對稱點(diǎn)，從而解得答案.

解：因?yàn)锳（-2，7）、B（8，7）兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，

所以A、B兩點(diǎn)是拋物線上的對稱點(diǎn)，對稱軸為直線x= ，即直線x=3.

又因?yàn)镃、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，所以C、D兩點(diǎn)也是拋物線上的對稱點(diǎn).

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為D（m，-5），得3= ，所以m=1.因此D的坐標(biāo)是（1，-5）.

【反思】常規(guī)解法是根據(jù)三點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法設(shè)函數(shù)關(guān)系式，即建立三元一次方程組，再解方程組，從而得到函數(shù)關(guān)系式，然后將y=-5代入，即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，顯然解題過程較復(fù)雜.給出的解法巧妙地兩次運(yùn)用拋物線的對稱性，極大地降低了運(yùn)算難度.同學(xué)們要養(yǎng)成細(xì)心審題的好習(xí)慣，理解題意，尋找更好、更巧的解題方法.

四、 數(shù)形結(jié)合，畫出圖像巧用拋物線的對稱性

例5 （2014·臺灣）已知a、h、k為三數(shù)，且二次函數(shù)y=a（x-h）2+k在坐標(biāo)平面上的圖像通過（0，5）、（10，8）兩點(diǎn).若a<0，0

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

【分析】先畫出拋物線的大致圖像，根據(jù)頂點(diǎn)式得到拋物線的對稱軸為直線x=h，由于拋物線過（0，5）、（10，8）兩點(diǎn).若a<0，010-h，然后解不等式進(jìn)行判斷.

解：∵拋物線的對稱軸為直線x=h，

而（0，5）、（10，8）兩點(diǎn)在拋物線上，

∴h-0>10-h，解得h>5.

故選D.

【反思】依據(jù)題意畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合，再借助拋物線的對稱性能讓問題得到巧妙解決.

五、 借助二次函數(shù)圖表點(diǎn)的對稱性巧解不等式

例6 （2014·江蘇南京）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：

則當(dāng)y<5時，x的取值范圍是________.

【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，利用二次函數(shù)的對稱性判斷出x=4時，y=5，然后寫出y<5時x的取值范圍即可.

解：由表可知，二次函數(shù)的對稱軸為直線x=2，所以當(dāng)x=4時，y=5.

所以，當(dāng)y<5時，x的取值范圍為0

【反思】本題考查了二次函數(shù)與不等式的相互關(guān)系，借助圖表利用二次函數(shù)圖像的對稱性，得到y(tǒng)=5時的另一個x的值是解題的關(guān)鍵.

六、 解決實(shí)際問題過程中巧用拋物線的對稱性

例7 某市“安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房子的價格y（元/平方米）隨樓層數(shù)x（樓）的變化而變化（x=1，2，3，

4，5，6，7，8）.已知點(diǎn)（x，y）都在一個二次函數(shù)的圖像上（如圖4所示），則6樓房子的價格為________

元/平方米.

【分析】根據(jù)拋物線的對稱性，x=2和6時的函數(shù)值是相等的.

解：觀察圖像，拋物線的對稱軸是直線x=4，所以當(dāng)x=2和x=6時，函數(shù)值相等，即6樓房子的價格與2樓房子的價格相等，為2 080元/平方米.所以本題應(yīng)填2 080.

【反思】仔細(xì)閱讀圖像，在圖像上獲取有用信息是解題的關(guān)鍵.

例8 （2012·山東濟(jì)南）如圖5，濟(jì)南建邦大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx.小強(qiáng)騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當(dāng)小強(qiáng)騎自行車行駛10秒和26秒時拱梁的高度相同，則小強(qiáng)騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需________秒.

【分析】由條件當(dāng)行駛到10秒和26秒時拱梁的高度相同，我們要想到此時這兩個位置的點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱.

解：如圖6，設(shè)在10秒時到達(dá)A點(diǎn)位置，在26秒時到達(dá)B點(diǎn)位置.

∵10秒時和26秒時拱梁的高度相同，

∴A，B關(guān)于對稱軸對稱.

又∵從A到B需要26-10=16（秒），

∴從A到D需要8秒，

又∵O到D需要10+8=18（秒），

∴從O到C需要2×18=36（秒）.

即小強(qiáng)騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需36秒.

【反思】與二次函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題中，構(gòu)建二次函數(shù)模型，并利用二次函數(shù)的性質(zhì)，特別是借助圖像，巧用對稱性常常讓問題很順利地得以解決.

（作者單位：江蘇省泗陽縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）