讓錯誤遠離二次函數

張璇

一、 概念清晰，避免錯誤

例1 （2015·甘肅蘭州）下列函數解析式中，一定為二次函數的是（ ）.

A. y=3x-1 B. y=ax2+bx+c

C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+

【錯解】選B.

【剖析】所謂二次函數，是指形如y=a2x+bx+c（a≠0）的函數，其中a，b，c都是常數，且a≠0.首先，二次函數必須是整式函數，因此D就被排除；其次，選項A是一次函數，所以A也被排除；再來看B和C的區別：僅從形式上看，似乎沒什么區別，但由于二次函數必須要求a≠0，也就是說二次項系數不能為0，而這一點上，B選項是沒有保證的，所以B選項也不對.故選C.

【正解】選C.

二、 點線明確，避免錯誤

例2 （2015·甘肅蘭州）二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖1，點C在y軸的正半軸上，且OA=OC，則（ ）.

A. ac+1=b B. ab+1=c

C. bc+1=a D. 以上都不是

【錯解】因為點C坐標為（0，c），所以OC=c，

所以OA=OC=c，所以A（c，0），

又A（c，0）在拋物線上，則0=a·c2+b·c+c，即c（ac+b+1）=0，

因為c≠0，所以ac+b+1=0，所以選D.

【剖析】線段的長度一定是正數，而點的坐標可以是正數，可以是負數，也可以是零，所以長度轉化為點的坐標時，一定要考慮其正負情況.本題中，OA=OC=c，但點A在x軸負半軸上，因此，點A坐標不是（c，0），而是（-c，0）.

【正解】因為點C坐標為（0，c），且點C在y軸正半軸上，所以OC=c，

由OA=OC，且點A在x軸負半軸，所以A點坐標為（-c，0），

A（-c，0）在拋物線上，則0=a·（-c）2+b·（-c）+c，即c（ac-b+1）=0，

因為c≠0，所以ac-b+1=0，即ac+1=b，所以選A.

三、 數形結合，避免錯誤

例3 已知二次函數y=x2-4x-3，若-1≤x≤6，則y的取值范圍是________.

【錯解】當x=-1時，y=（-1）2-4×（-1）-3=2；當x=6時，y=62-4×6-3=9，因此y的取值范圍是 2≤y≤9.

【剖析】二次函數圖像是拋物線，在對稱軸左右兩側，y隨x的變化情況正好是相反的，所以這里我們既要考慮x的端點值，也要關注函數的最大（最小）值，這樣才能確定y的取值范圍.

【正解】在二次函數y=x2-4x-3中，

∵a=1>0，

∴拋物線開口向上，y有最小值，

∵y=x2-4x-3=（x-2）2-7，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，y最小=-7，

∵-1≤x≤6，

∴當x=6時，y最大=62-4×6-3=9.

∴-7≤y≤9.

因此y的取值范圍是：-7≤y≤9.

例4 已知二次函數y=mx2+（m-1）x+m-1有最小值0，則m的值為________.

【錯解】由題意得： =0，3m2-2m-1=0，解得m1=1，m2=- ，因此m的值為1或- .

【剖析】二次函數有最小值的前提條件是拋物線的開口向上，即m>0，錯解中顯然忽略了這一點，所以我們要清楚地理解二次函數的性質.

【正解】由題意得： =0，3m2-2m-1=0，解得m1=1，m2=- ，又因為m>0，所以m=1，因此m的值為1.

四、 考慮問題周全，避免錯誤

例5 （2014·山東東營）若函數y=mx2+（m+2）x+ m+1的圖像與x軸只有一個交點，那么m的值為（ ）.

A. 0 B. 0或2

C. 2或-2 D. 0，2或-2

【錯解】∵函數y=mx2+（m+2）x+ m+1的圖像與x軸只有一個交點，∴Δ=（m+2）2-4m m+1=0，且m≠0，解得：m=±2，故選C.

【剖析】題目并未明確此函數一定是二次函數，而“錯解”中由于思維定式，將它只當作二次函數來解，以至于出現漏解.

【正解】分為兩種情況：①當函數是二次函數時，∵函數y=mx2+（m+2）x+ m+1的圖像與x軸只有一個交點，∴Δ=（m+2）2-4m

· m+1=0，且m≠0，解得：m=±2；②當函數是一次函數時，m=0，此時函數解析式是y=2x+1，和x軸只有一個交點，因此選D.

五、 審題清楚，不主觀臆斷，避免錯誤

例6 拋物線y=kx2-6x+3的頂點在x軸的下方，則k的取值范圍是________.

【錯解】因為拋物線y=kx2-6x+3的頂點在x軸的下方，所以拋物線與x軸有兩個交點，因此Δ=（-6）2-4×k×3>0，得k<3，又拋物線中k≠0，所以k的取值范圍是k<3且k≠0.

【剖析】主觀臆斷——拋物線開口向上，導致錯誤.事實上，由于二次項系數k的不確定，所以拋物線開口可能向上，也可能向下，因此應分兩種情況討論.

【正解】①若拋物線開口向上，則k>0，因為拋物線的頂點在x軸的下方，所以拋物線與x軸有兩個交點，則Δ=（-6）2-4×k×3>0，得k<3，又拋物線中k≠0，得0

②若拋物線開口向下，則k<0，因為拋物線的頂點在x軸的下方，所以拋物線與x軸沒有交點，則Δ=（-6）2-4×k×3<0，得k>3，與k<0矛盾，故不成立.

因此k的取值范圍是0

（作者單位：江蘇省泗陽縣實驗初級中學）