以拋物線為背景的三角形、四邊形的存在性問題探究

李洪生

以拋物線為載體、滿足某種條件的幾何圖形是否存在的問題，是中考的熱點和難點.解決這類問題的關鍵是，弄清函數與幾何圖形之間的聯系，在解題過程中將函數問題幾何化，幾何問題數量化，數形統一.

一般步驟是：首先假設其存在，畫出相應的圖形；然后根據所畫圖形進行解答，得出某些結論；最后，如果結論符合題目要求或是定義定理，則假設成立；如果出現與題目要求或定義定理相悖的情況，則假設錯誤，所設不存在.

一、 拋物線中等腰三角形的存在性問題

例1 （2015·貴州銅仁節選）如圖1，關于x的二次函數y=x2+bx+c的圖像與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3）.

（1） 求二次函數的表達式；

（2） 在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在.請求出點P的坐標.

【解析】（1） （略）y=x2-4x+3；

（2） 當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：CP=CB或BP=BC或PB=PC.

令y=0，則x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3 .

①當CP=CB時，PC=3 ，

∴OP=OC+PC=3+3 或OP=PC-OC=3 -3，

∴P1（0，3+3 ），P2（0，3-3 ）；

②當BP=BC時，OP=OC=3，∴P3（-3，0）；

③當PB=PC時，∵OC=OB=3，此時P與O重合，∴P4（0，0）.

綜上所述，點P的坐標為：（0，3+3 ）或（0，3-3 ）或（-3，0）或（0，0）.

【點評】本題是二次函數的綜合題，其中涉及運用待定系數法求二次函數、等腰三角形的性質等知識，運用數形結合、分類討論是解題的關鍵.

二、 拋物線中直角三角形的存在性問題

例2 （2015·湖南益陽節選）已知拋物線E1：y=x2經過點A（1，m），以原點為頂點的拋物線E2經過點B（2，2），點A、B關于y軸的對稱點分別為點A′，B′.

（1） 求m的值及拋物線E2所表示的二次函數的表達式；

（2） 如圖2，在第一象限內，拋物線E1上是否存在點Q，使得以點Q、B、B′為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【解析】（1） ∵拋物線E1經過點A（1，m），∴m=12=1.

∵拋物線E2的頂點在原點，可設它對應的函數表達式為y=ax2（a≠0），

又點B（2，2）在拋物線E2上，

∴2=a×22，解得：a= ，

∴拋物線E2所對應的二次函數表達式為y= x2.

（2） 假設在第一象限內，拋物線E1上存在點Q，使得△QB′B為直角三角形，由圖3可知直角頂點只能為點B或點Q.

①當點B為直角頂點時，過B作BQ1⊥B′B交拋物線E1于Q1，

則點Q1與B的橫坐標相等為2，將x=2代入y=x2得y=4，

∴點Q1的坐標為（2，4）；

②當點Q2為直角頂點時，則有Q2B′2+Q2B2=B′B2，過點Q2作Q2G⊥BB′于G，

設點Q2的坐標為（t，t2）（t>0），

則有（t+2）2+（t2-2）2+（2-t）2+（t2-2）2=42，

整理得：t4-3t2=0，

∵t>0，∴t2-3=0，解得t1= ，t2=- （舍去），

∴點Q2的坐標為（ ，3）.

綜合①②，存在符合條件的點Q坐標為（2，4）與（ ，3）.

【點評】本題考查了待定系數法求函數的解析式的運用，直角三角形、勾股定理的判定及性質的運用，分類討論思想的運用，解一元二次方程等.數形結合是解題的關鍵.

三、 拋物線中平行四邊形的存在性問題

例3 如圖4，拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且經過點（2，-3a），對稱軸是直線x=1，頂點是M.

（1） 求拋物線對應的函數表達式；

（2） 經過C，M兩點作直線與x軸交于點N，在拋物線上是否存在這樣的點P，使以點P，A，C，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

解：（1） （略）y=x2-2x-3；

（2） 存在.

在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3，

令y=0，得x2-2x-3=0，∴x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.

又y=（x-1）2-4，

∴頂點M（1，-4），

求得直線CM的表達式是y=-x-3，

∴N（-3，0），∴AN=2.

在y=x2-2x-3中，令y=-3，得x1=0，x2=2，

∴CP=2，∴AN=CP，

又AN∥CP，

∴四邊形ANCP為平行四邊形，此時P（2，-3）.

【點評】本題以拋物線、直線、平行四邊形為知識載體，考查對各知識點的理解掌握程度，同時考查綜合運用的能力.

四、 拋物線結合三角形、四邊形新概念存在性問題

例4 （2012·陜西）如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”.

（1） “拋物線三角形”一定是________三角形；

（2） 若拋物線y=-x2+bx（b>0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

（3） 如圖6，△OAB是拋物線y=-x2+bx（b>0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由.

【解析】（1） 等腰.根據拋物線的對稱性，拋物線的頂點A必在O、B的垂直平分線上，所以OA=AB，即“拋物線三角形”必為等腰三角形.

（2） 因為“拋物線三角形”是等腰直角三角形，

所以該拋物線的頂點坐標 ， ，滿足 = （b>0），得b=2.

（3） 存在.

如圖7，作△OCD與△OAB關于原點O中心對稱，則四邊形ABCD為平行四邊形.

當OA=OB時，平行四邊形ABCD是矩形.

又∵AO=AB，

∴△OAB為等邊三角形.

作AE⊥OB，垂足為E，

∵A ， ，AE= OE，

∴ = × （b>0），得b=2 ，

∴A（ ，3），B（2 ，0），

C（- ，-3），D（-2 ，0），

∴過O、C、D三點的拋物線為y=x2+2 x.

【點評】此題以拋物線、等腰三角形等核心內容為載體，引出了“拋物線三角形”這個新概念，結合中心對稱、矩形等內容，考查同學們的綜合運用能力.

（作者單位：江蘇省泗陽縣莊圩初級中學）