盤點中考中的二次函數系數與圖像的關系

李建婷

二次函數是初中階段學習的重要內容之一，在中考命題中，由二次函數的圖像確定其待定系數及系數組成的代數式的符號，或由二次函數的系數符號判斷函數圖像等都是考試熱點.命題常以客觀題形式出現，這類考題不僅能較為全面地考查同學們對知識的理解掌握情況，還考查同學們運用知識分析問題解決問題的能力.

二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與系數的關系：

（1） 開口方向：二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小.當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下，a越大，開口越小.

（2） 對稱軸：一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置.當a與b同號（即ab>0）時，對稱軸在y軸左側；當a與b異號（即ab<0）時，對稱軸在y軸右側.簡單說：“左同右異”.

（3） 與y軸的關系：常數項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于（0，c），當c>0時，拋物線與y軸的交點在正半軸上；當c<0時，拋物線與y軸的交點在負半軸上；當c=0時，拋物線恰好經過原點.

（4） 與x軸的關系：拋物線與x軸交點個數由Δ決定.當Δ=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有兩個交點；當Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x軸只有一個交點；當Δ=b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

（5） 確定am2+bm+c的符號：關鍵是拋物線上橫坐標為m的點P的位置情況.當點P在x軸上方時，am2+bm+c>0；當點P在x軸下方時，am2+bm+c<0；當點P在x軸上時，am2+bm+c=0.

一、 由二次函數的圖像考查系數及系數組成的代數式的符號

例1 （2015·廣東深圳）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，下列說法：①a>0；②b>0；③c<0；④b2-4ac>0，正確的個數是（ ）.

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

【解析】∵拋物線的開口向下，∴a<0，故說法①錯誤；

∵拋物線的對稱軸在y軸右側，∴- >0， 即b>0，故說法②正確；

∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c>0，故說法③錯誤；

∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2-4ac>0，故說法④正確.

綜上所述，正確的說法是②④.因此選B.

二、 由二次函數的圖像考查點與對稱軸的關系

例2 （2015·湖北恩施）如圖2是二次函數y=ax2+bx+c圖像的一部分，圖像過點A（-3，0），對稱軸為直線x=-1，給出四個結論：①b2>4ac；②2a+b=0；③a+b+c>0；④若點B- ，y1、C- ，y2為函數圖像上的兩點，則y1

A. ②④ B. ①④

C. ①③ D. ②③

【解析】∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴b2-4ac>0，即b2>4ac，故①正確；

∵對稱軸為直線x=-1，

∴x=- =-1，

∴2a-b=0，故②錯誤；

∵圖像過點A（-3，0），對稱軸為直線x=-1，

∴圖像與x軸的另一交點為（1，0），

即當x=1時，y=0，

∴a+b+c=0，故③錯誤；

由圖像可知：拋物線開口向下，當x=-1時，函數有最大值，點B- ，y1、C- ，y2為函數圖像上的兩點且C點距離對稱軸較近，∴y1

【點評】此題考查二次函數對稱軸的性質，解答本題關鍵是掌握二次函數根的判別式，會利用對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理.

三、 由二次函數的圖像考查系數符號及其與二次方程之間的關系

例3 （2015·廣西南寧）如圖3，已知經過原點的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x=-1，下列結論中：①ab>0；②a+b+c>0；③當-2

A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個

【解析】∵拋物線的開口向上，

∴a>0，

∵對稱軸在y軸的左側，

∴- <0，∴b>0，

∴ab>0，故①正確；

觀察圖像知：當x=1時，y=a+b+c>0，故②正確；

∵拋物線的對稱軸為x=-1，與x軸交于（0，0），∴另一個交點為（-2，0），

∴當-2

因此選D.

【點評】本題主要考查圖像與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍確定2a與b的符號，以及二次函數與二次方程之間的轉換.

四、 考查由二次函數的系數確定圖像中的定點

例4 （2014·甘肅白銀）二次函數y=x2+bx+c，若b+c=0，則它的圖像一定過點（ ）.

A. （-1，-1） B. （1，-1）

C. （-1，1） D. （1，1）

【解析】由b+c=0，得c=-b，代入二次函數，變形得y=x2+b（x-1），若圖像一定過某點，則與b無關，當x=1時，二次函數為y=x2，與b無關，此時y=1，因此它的圖像一定過點（1，1）.選D.

【點評】本題考查了二次函數圖像與系數的關系，在這里求定點問題，應把b當作變量，令其系數為0進行求解.

五、 考查由二次函數的系數符號確定相關的圖像

例5 （2015·遼寧錦州）在同一坐標系中，一次函數y=ax+2與二次函數y=x2+a的圖像可能是（ ）.

【解析】根據一次函數和二次函數的解析式可得直線與y軸的交點為（0，2），拋物線的開口向上.

解法一：從解析式的系數入手：

①若a<0，拋物線的頂點在y軸負半軸上，直線經過一、二、四象限；

②若a>0，拋物線的頂點在y軸正半軸上，直線經過一、二、三象限.

因此選C.

解法二：從函數圖像入手：

選項B中的圖像拋物線開口向下，產生錯誤，排除B；選項D中的圖像，直線與y軸交點在負半軸上，產生錯誤，排除D；選項A中的圖像，因為直線上升，所以a>0，但是拋物線的頂點在y軸負半軸上，所以a<0，產生矛盾，排除A.

因此選C.

【點評】與二次函數相關的圖像的確定，一般采用以下兩種方法：（1） 從函數關系式入手，確定其中一個關系式系數符號，當它的正負不確定時，要進行分類討論，或逐一比較各個關系式中相同的系數，判斷其在同一坐標系中是否矛盾；（2） 從圖像入手，依據在同一坐標系中各個圖像的位置，判斷各個關系式中相同的系數符號是否矛盾.即由數找形或由形定數.

六、 由圖表構建圖像考查二次函數性質的綜合運用

例6 （2014·山東泰安）二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）中的x與y的部分對應值如下表：

下列結論：①ac<0；②當x>1時，y的值隨x值的增大而減小；③3是方程ax2+（b-1）·x+c=0的一個根；④當-10.其中正確的個數為（ ）.

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

【解析】由圖表中數據描出圖像（如圖4），可得出：拋物線開口向下，∴a<0，

又x=0時，y=3，∴c=3>0，

∴ac<0，故①正確；

∵拋物線開口向下，且對稱軸為x= =1.5，∴當x>1.5時，y的值隨x值的增大而減小，故②錯誤；

∵當x=3時，y=3，∴9a+3b+c=3，

∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，

∴3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一個根，故③正確；

∵當x=-1時，ax2+bx+c=-1，

∴當x=-1時，ax2+（b-1）x+c=0，

∵當x=3時，ax2+（b-1）x+c=0，且函數有最大值，

∴當-10，故④正確.

因此選B.

【點評】數形結合是研究二次函數最常用的方法，把圖表信息轉化為圖像信息能更直觀地發現其所具有的性質，更好地分析解決問題.

小試身手

1. 拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=-1，與x軸的一個交點A在點（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖像如圖5，則下列結論：①4ac-b2<0；②2a-b=0；③a+b+c<0；④點M（x1，y1）、N（x2，y2）在拋物線上，若x1

A. 1個 B. 2個

C. 3個 D. 4個

2. 如圖6，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=-1，且過點 ，0，有下列結論：①abc>0；②a-2b+4c=0；③25a-10b+4c=0；④3b+2c>0；⑤a-b≥m（am-b）.其中所有正確的結論是________.（填寫正確結論的序號）

答案：

1. C 2. ①③⑤

（作者單位：江蘇省南京師范大學附屬中學江寧分校）