由表及里方能表里如一

陸雅

一、緣起

2011年版數學課程標準把“數學思考”列入四大目標之中。而“數學思考”與“數學表達”是相依相存的。從認知心理學的角度看，“數學思考”就是學習者對知識、問題的內部表征。“數學表達”則是學習者對知識、問題的外部表征。

美國2000年頒布的數學課程標準中明確地將“數學表示”作為十條標準之一，該標準對“數學表示”明確提出：數學教學應該重視數學表示，以促進對于數學的理解，使全體學生能夠———

創造和應用數學表示來組織、記錄和交流數學思想；

恰當地選擇和運用數學表示來解決問題；

運用數學表示對物理、社會和數學的現象進行建模與解釋。

由此不難分析出“表征”的重要價值：簡化問題使問題可解、暴露思維過程便于交流和研究、發現規律解決問題。

研究學生的思維表征形式與能力水平，是教學設計的重要組成部分，是走向有效教學的正確途徑。

我們選擇“表內除法”這一內容進行研究，是因為計算教學尤其是基本口算教學是學生進一步學習必備的知識技能。隨著數學課程目標從“雙基”向“四基”轉變，口算教學也承載起實現顯性目標和隱性目標的重任，體現更豐厚的教學價值。而實際教學中，學生學習途徑日益擴展， “未教先會”的不在少數。那么對于除法及口訣求商，學生已經會了什么？他們了解除法算式的意義嗎？他們對求商有哪些自己的表征形式？學習的困難在哪里？帶著這些問題，我們對二年級5個班級216名學生展開了測查。

二、測查

測查的時間節點放在二年級上冊教學完成之后，在“表內除法（一）”教學之前。主要測查學生對除法含義的理解程度和口訣求商思維的表征形式。

【測查題目】

這樣的算式，你是怎么想的？可以把你的想法寫一寫、畫一畫。

6÷2=（ ） 20÷5=（ ）

經統計，不同表征形式的比重差異很大。圖形表征是學生采用最多的方式，超過25%；其次是算式表征，超過13%；有超過8%的學生采用兩種及以上的表征方式；運用實物表征和文字表征的學生分別只有4%左右（見表1）。

有研究者將知識的主要表征方式總結為書面符號表征、圖形表征、情境表征、操作模式表征、語言表征等，而這一系列的表征方式共同構成了表征系統，它們之間不一定存在先后的發展次序，但需要關注的是它們之間的轉換和相互影響（如圖1），而且，這種轉換和影響對學生的概念形成和理解有重要的作用。一般地，操作模式表征和實際生活情境表征屬于形象表征，圖形表征屬于半抽象表征，文字符號表征和口語符號表征屬于抽象表征。

在認知心理學理論的指導下，結合二年級學生的實際情況，我們把除法及口訣求商的表征形式，分成行為表征、實物（圖）表征、圖形（表）表征、文字符號表征和混合表征這五種。行為表征是指用擺、分、畫、圈等具體操作活動進行理解的表征形式。實物（圖）表征是指用蘋果、草莓、盤子等實物（圖）形式進行數學解釋。用圓、三角形等幾何圖形說明或者以圖表方式說明的稱為圖形（表）表征。而像“除法就是乘法倒過來”等這樣以語言文字描述的稱為文字表征，以乘法或除法算式表示的稱為算式表征，算式表征和語言文字表征統稱為文字符號表征。運用兩種（及以上）形式進行表征的稱為混合表征。

在對學生的材料進行分類時，由于書面測查的局限性，我們無法清楚準確地判定行為表征。或者說，行為表征總是伴隨著其他表征形式。因此，我們沒有單獨統計行為表征。而文字表征和算式表征雖同屬于文字符號表征，但是在思維層面上存在差異性，對此我們分別進行了統計。

當然，同一種表征形式，有正確表征和錯誤表征之分。我們認為，口訣求商正確表征應該能反映兩點：一是除法的含義；二是除法運算的意義。

口訣求商思維的表征形式，實質上反映了學生對除法含義的理解。除法是數學中的基本運算之一，等分除和包含除是除法的兩種含義。將一個數等分成若干份，求每一份是多少的算法稱為等分除法，即先確定等分的份數，再確定每份數（見圖2）。求一個數里包含著多少個另一個數，即求一個大數是一個小數的多少倍的算法稱為包含除法（只有在大數能被小數整除時才有意義），亦即先確定每份是多少，再確定有這樣的幾份（見圖3）。

除法運算的意義是相對乘法提出的，即已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算。除法是乘法的逆運算，因此，想乘算除，具體地說，就是以乘法算式、乘法口訣和乘法的意義表征除法求商，是符合邏輯的思維形式。除此之外的表征是錯誤表征。

我們分別對兩道算式的正確表征率進行統計（見圖4、圖5）。

測查結果統計，兩道算式的正確表征率均接近50%，其中6÷2的正確表征率略高于20÷5。

測查統計給我們的信息是：將近50%的學生已經有關于除法的初步概念，甚至是上位知識（即除法學習的后續知識），比如有一個學生提到“倍”的概念，有兩個學生列出除法豎式。并且，學生對于除法及求商的表征形式是多樣的，反映出他們對除法的含義認識基礎是十分復雜的，除法求商的策略不是唯一的。這些都是我們需要進一步分析的真實的學情。

三、分析

我們可以肯定，二年級學生的思維表征水平處于形象表征和半抽象表征水平。（需要注意：超過50%的學生對測查題無法正確表征）在一系列的正確表征和錯誤表征背后，學生的思維水平呈現出一定的梯度。

結合對部分學生訪談，我們試對學生學習除法前口訣求商思維水平進行分層。

水平1：無意義水平。處于這一水平的學生作業表現為無意義的圖形或算式，包括空白無填寫（如圖6）。

筆者對該學生的訪談如下：

筆者：你的圖很有意思，能說說表示什么嗎？

生：嗯……不知道……我不會。

該水平的學生還沒有除法的初步概念，不認識除法，或者聽說過但完全不理解。

水平2：負遷移水平。處于這一水平的學生作業表現為受到以往所學知識包括形式上和意義上的消極影響（如圖7）。

筆者對該學生的訪談如下：

筆者：你的圖很有意思，能說說表示什么嗎？

生：我本來是想畫4個的，看到同桌畫了3個，就改了。

筆者：你想把6分成4和2，對嗎？

生：是的。

筆者：把6分成4和2，可以用什么方法？

生：減法。

筆者：那這種運算方法你見過嗎？

生：這是除法，我不知道怎么算。

該水平的學生受到減法運算的影響，類似地，還有把除法理解成乘法，把6÷2理解成6個2相加的。他們試圖把新知納入已有的知識結構，根據以往的學習經驗來解決問題。

水平3：平均分水平。處于這一水平的學生作業表現為具有“平均分”的概念（見圖8、圖9）。

該水平的學生有初步的平均分的想法，但不會表達，還未形成完整的認識，也沒有形成除法的正確認知。

水平4：上位解釋水平。處于這一水平的學生作業表現為用后續的知識解釋除法運算（見圖10、圖11）。

筆者對該學生的訪談如下：

筆者：你寫得很特別，是什么？

生：這是豎式。就是四五二十，然后再四五二十，20減20就是0。所以20÷5=4。

筆者：你能用口訣來計算除法，很棒！你剛才說了兩次四五二十，為什么？

生（想了一會兒）：就是這樣算的，說不清楚。

還有學生用“倍”解釋。筆者對該學生的訪談如下：

筆者：你用不同的方法計算，真好！ “2的3倍是6”，是什么意思？

生：就是2×3=6，2個3是6。

筆者（出示圖12）：這幅圖你怎么想？

生：三角形有3個，圓有6個，三角形比圓少3個。嗯，有3個3。

該水平的學生已經接觸除法的上位數學知識，并在形式上進行接受和理解。但實質上，對深層的意義理解是不到位的。同時，對除法的理解也是不到位的。

水平5：乘除聯系型水平。處于這一水平的學生作業表現為用乘法（尤其是乘法算式）計算除法（見圖13），也有部分學生用文字描述“我知道乘法就像除法反了一下”“把乘法倒過來就是除法”等等。

該水平的學生對乘除這兩種互逆的運算有一種自發的敏感性，初步理解兩種運算的關系。他們從聯系的角度來思考除法求商，體現了對除法運算的意義“已知兩數之積和其中一個因數，求另一個因數的運算”的初步感知。

水平6：意義解釋型水平。處于這一水平的學生作業表現為用除法“分”的含義表征口訣求商的過程（見圖14、圖15）。

該水平的學生是從“平均分”的角度來思考問題并加以表征解釋的。圖14和圖15分別是等分除和包含除的典型作品。通過訪談，這部分學生能清楚、準確地表述自己所畫圖意。如畫圖14的學生認為“6÷2就是把6個圓平均分成2份，每份是3個圓”。畫圖15的學生認為“6÷2就是把6個蘋果，2個2個地分，分成3盤”。但是這一水平的學生還無法把兩種含義用同一個算式表示，如畫圖14的學生認為應該用6÷3=2來表示圖15。

水平7：概念理解型水平。處于這一水平的學生作業表現為用多種表征形式理解除法求商的過程，并能理解同一個算式可以有不同的表征和解釋（見圖16）。

筆者對該學生的訪談如下：

筆者：你畫的圖很有趣，話說得很清楚。你看看這個小朋友畫的（圖17），你覺得他畫得對嗎？

生：他畫得對。他把6分成2個3，就是要把6個蘋果分成2份，每份就是3個蘋果。

筆者：和你畫的圖比較一下。

生：我是2個2個地分，分成3份。他是分成2份，每份就是3個。

筆者：這兩個“2”表示的意思一樣嗎？

生：不一樣。他是有2份，我是每份有2個。

生：我知道了，乘法可以畫出兩幅圖，除法也可以。

該水平的學生對除法的兩種含義區分清楚，明確每份數和份數的不同。并且能和乘法溝通聯系。他們具有在形象表征、半抽象表征和抽象表征之間自由轉換的能力。

由于筆者的水平和訪談面有限，我們把學習除法前口訣求商思維水平分為七個層次。前四個層次是錯誤表征水平，后三個層次是正確表征水平。不同的思維表征水平，既是教師教學的豐富資源，或許也會成為學生學習新知的牽絆，需要我們教師挖掘、組織，以利于進一步的有效學習。

四、建議

（一）從行為表征、實物（圖）表征、圖形（表）表征到文字符號表征是學生理解除法含義的一般途徑和必然過程

上述行文中我們探究了學生除法求商的思維表征形式和水平層次。那么現行教材是如何編排的？是否體現了學生概念形成的規律性？我們以人教版、蘇教版、北師大版3個版本的教材為例，整理了例題中關于除法及口訣求商的表征形式出現的次數百分比（見圖18），并整理了習題中相應表征形式的題數百分比（見圖19）。人教版和蘇教版這一單元中沒有教學“倍”的認識，而北師大版加入了“倍”的內容。為便于比較，北師大版有關“倍”的例題和習題均未列入統計。（事實上，大多數題都是幾種表征形式混合的。統計時，我們以“偏向于哪種表征形式”為標準，比如把圖片分一分，我們歸到行為表征）

二年級學生的思維處于形象思維階段，教材例題中安排了大量的行為表征形式，讓學生動手分一分、擺一擺、圈一圈、畫一畫，在實踐活動中，形成豐富的表象，充分積累活動經驗，逐步抽象出除法的含義。相比較，北師大版重視半抽象表征的過程，有超過20%的圖形表征形式，尤其是運用了不少圖表。而蘇教版的圖形表征都結合著行為表征，因此行為表征的次數百分比最高。

在習題編制上，蘇教版和北師大版中實物（圖）表征的題數百分比較高，而人教版文字符號表征的題數百分比遠高于其他表征形式。可見，北師大版突出形象表征，人教版更關注文字符號表征。

從前文實際測查結果看，只有4%的學生采用實物（圖）表征形式，而圖形（表）表征、文字表征和算式表征的百分比遠高于此。我們建議，教學中可以適當加快實物（圖）表征頻率，適當加強對半抽象的圖形（表）表征的理解。

（二）因思維表征形式和水平層次的不同實施分層教學

數學表征能力與問題解決的正相關已經得到證實。如何提升學生的表征能力和思維水平？我們建議分層教學。分層教學包括兩個層面：一是課時分層，即每一課時有側重；二是課堂分層，在一堂課的教學中關注學生的不同起點，使不同的學生都能獲得良好的發展。

1.課時分層，用3個新授課時完成教學

第一課時“分一分”，在大量的操作活動中知道有不同的分法：先確定分成幾份，或者先確定每份幾個。通過觀察比較明確“平均分”的概念。可以請思維水平層次高的學生做“小老師”，協助思維水平層次低的學生。這一階段以行為表征為主。

第二課時“認識除法”，理解“每份一樣多，分成幾份”這樣的過程和結果可以用除法算式表示。接下來出示除法算式，讓學生用不同形式的表征，進一步理解“等分除”與“包含除”的含義。這一階段以圖形（表）表征為主。

第三課時“口訣求商”。在前兩課時的基礎上，學生理解除法的含義，可以將落腳點放在“求商”上，引導學生掌握“求商”的方法，再突出乘法口訣的價值。數學是研究關系的學科，“求商”教學可突出除法與減法、除法與乘法的關系。這一階段引導學生以文字符號表征為主。

2.課堂分層：對不同思維水平的學生進行相應的訓練

對處于水平7的學生要提高其對除法含義的理解和口訣求商靈活應用能力，在理解中重視表征形式的轉換，用不同的表征形式內化知識、深化理解。比如，在習題中可以增加類似這樣的題目：寫一寫除法算式12÷3所表示的意義；編一道可以用12÷3解決的生活問題；用一幅圖編乘除法三道題等。這樣的題目可以考查學生對乘除關系的理解程度，也有助于學生辨別等分除與包含除的不同意義，加深對除法含義的真正理解。同時，積累解決問題的經驗。

對處于水平5和水平6的學生，可以加快從形象表征到半抽象表征的過渡。鼓勵他們用多種形式進行表征，達到對知識的理解和應用。在教學中，引導他們從不同的角度看同一幅圖，細化等分除和包含除的異同之處，感悟、體會除法的兩種含義。增加辨析等分除和包含除的練習，比如通過解決問題進行對比，還可指導學生把除的方法和結果用具體形象區分開來。如：①把18平均分成3份，每份是多少？②18里面有幾個3？分別讓學生先用小棒擺，再用算式表示。

對處于水平1至水平4的學生，要在行為表征階段反復操練，通過大量的動手操作，逐漸形成對除法含義的認識。避免乘法和減法的負遷移影響。可以在包含除的具體操作中，體會除法是同數連減，感悟除法與減法的關系，以區別一步減法。反復明確乘除互逆的關系，要適當增加類似于這樣的練習：根據一幅圖，寫出一道乘法算式和兩道除法算式；根據一句口訣，寫出三道乘除法算式；把同數連加寫成乘法，把同數連減寫成除法等。從而達到理解用口訣求商的目標，能比較熟練地應用口訣求商。

從下面這個“口訣求商”的教學片段，我們可以看到教師是如何遵循起點、發展思維的。

師：今天我們來研究怎樣求商。（出示8÷2，很多學生報出了結果，商是4）

師：怎么想的？

生：我想到 2×4=8，所以8÷2=4。

生：二四得八，所以 8÷2=4。

生：除法就是將乘法倒過來了。

（繼續出示幾道除法算式，學生報出商）

師（出示12÷3）：我們知道乘法和加法有聯系，加法和減法有聯系，你覺得除法和誰有聯系呢？

生：和乘法有聯系。

生：用乘法口訣可以算出得數。

師：除法還和誰有關系呢？

生：和減法有關系，就是從12里將3分出去，一直分到沒有。

師：（順勢畫圖）我幫你在圖上表示出來。先找到 12，然后從12里分3，一直分到沒有。你是怎么找到商的？

生：減去了幾次，商就是幾。

師：講得非常好。我們還可以用減法直接來算。（板書：12-3=9，9-3=6，6-3=3，3-3=0）一直減到不能減了，減了4次，12里有4個3，12÷3=4。請聽明白的學生再舉個例子，如12÷4，用減法求出商。

教師又出示了88÷11，無法用口訣口算，檢驗學生是否會自己求出商。解決問題過程中學生對求商有了初步的認識。

師：（回顧）現在你會求商了嗎？

師：覺得哪種方法好？

生：用乘法口訣求商很快，用減法太麻煩了。

生：乘法口訣要記熟了，求商就快了。

生：如果數字不太大，我們可以用減法算，看被除數里有多少個除數，商就是多少。

（三）理性對待學生已有知識經驗和認知起點

數學教學最有效的方法是把握學生已經知道了什么，同時把握新知是以哪些舊知為基礎，是哪些舊知的拓展和延伸。但是我們不得不承認，學生的學習越過我們的教學，是一件棘手的事情。

測查中出現了兩個除法算式，一個是正確的（見圖10），一個是錯誤的（見圖20）。前者從父母處得知除法豎式中的正確列法，而后者是學生自己從加法、減法豎式中推理得出。前者會列除法豎式，但無法解釋為什么這樣列豎式。也就是說，這個學生把握了“形”，但沒有抓住“本”。我們很難界定前者的學習必定優于后者。而且我們有理由這樣推測：前者進行了大量的接受性學習， 而后者卻是在自主探索的過程中。

又如關于“倍”的認識，學生能明白“2的3倍是6”與2×3=6的關系。但是我們發現，學生對于倍的認識是不完整的。他們雖然從數量上把握了“倍”的大小，卻沒有“比”的概念。我們常說“倍比”，也就是說“倍”的概念是在“兩個量”的比較中發生的。

諸如此類，都提醒我們，要慎重地、理性地對待學生已有的知識經驗和認知起點。

五、結語

綜上所述，學生在學習除法前口訣求商的表征形式十分豐富，而相應地，教材也遵循學生概念形成的一般規律，采取多樣的表征形式。數學表征的過程可以看成是數學化的過程，就是學會表征并應用表征解決問題，荷蘭數學家弗蘭登塔爾認為“與其說學習數學，不如說學習數學化”。數學表征可以使隱性的思維外顯，暴露學生的思維過程，便于交流和研究、發現規律解決問題。由表及里，方能表里如一，從而走向深層次的學習。而在教師教學層面，我們應認識到學生的思維水平存在層次性，從而理性地把握學習起點，促使學習真正的發生！

（注：作者系朱樂平名師工作室成員）

（浙江省寧波市鎮海區煉化小學 315207）