引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合的思想

陳寧海　李培芳

“數(shù)與形”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊新增的教學(xué)內(nèi)容，本課意在讓學(xué)生通過自主探究圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)律，嘗試應(yīng)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，感悟數(shù)與形的廣泛聯(lián)系，同時(shí)在利用數(shù)形結(jié)合解決問題的過程中感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。顯然，數(shù)學(xué)思想的感悟離不開具體的學(xué)習(xí)活動，然而，教師該設(shè)計(jì)什么樣的活動？讓學(xué)生經(jīng)歷怎樣的學(xué)習(xí)過程？讓學(xué)生在過程中有什么樣的體驗(yàn)？凡此種種都值得深入地探索與思考。

一、在深入的數(shù)學(xué)思考中感悟數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)學(xué)思想離不開具體的數(shù)學(xué)思考，空談數(shù)學(xué)思想是沒有意義的，只有對數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入的思考，才能逐步體會數(shù)學(xué)內(nèi)容背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。在本課的教學(xué)中，李老師組織學(xué)生在數(shù)與形的關(guān)聯(lián)處進(jìn)行深入思考，并巧妙地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的比較，讓學(xué)生在不斷的數(shù)學(xué)思考中自覺去體會、自發(fā)去感悟。

【教學(xué)片段1】

（一）依數(shù)解數(shù)：思考25的特征

師：同學(xué)們仔細(xì)觀察25這個數(shù)，看看它有什么特點(diǎn)？

生：25是5的倍數(shù)。

生：25是5的平方。

生：25是25個1相加。

生：25里面包含5個5。

生：2和5兩個數(shù)字都有點(diǎn)像鴨子。（同學(xué)們笑了）

（二）化數(shù)為形：嘗試將25轉(zhuǎn)化為形

師：在2000多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家們認(rèn)為每一個數(shù)都是神奇的，都有與眾不同的特點(diǎn)。他們就像咱們剛才那樣，努力去找25這個數(shù)的特點(diǎn)，不過也像咱們這樣，找不出25的神奇之處來。不過，通過不斷的思考，他們做了一件了不起的事情，他們從地上撿起了25塊小石頭，然后用這25塊小石頭擺成了一個圖形。猜猜會是什么圖形呢？

生：正方形。（讓學(xué)生用磁扣擺出“形”來）

（三）以形助數(shù)：借助形尋找 25的特征

師：將數(shù)轉(zhuǎn)化成形后，數(shù)學(xué)家們找到了25很多神奇的特點(diǎn)。來！咱們也來當(dāng)一回?cái)?shù)學(xué)家。老師給大家準(zhǔn)備了這樣的正方形。

學(xué)生借助教師提供的正方形點(diǎn)陣（如下圖）尋找25的特征（略）。

生：1+2+3+4+5+4+3+2+1。

生：25=（1+2+3+4）×2+5。

生：25=1+3+5+7+9。

師：這些算式太優(yōu)美了！

（四）在比較中體會數(shù)形結(jié)合的思想

師：咱們一起來回顧一下是怎么發(fā)現(xiàn)25這個數(shù)這些神奇的特點(diǎn)的。起先，咱們就盯著25這個“數(shù)”（板書）看，幾乎沒有什么發(fā)現(xiàn)。后來，咱們把25轉(zhuǎn)化成一個“形”（板書），就有了這些神奇的發(fā)現(xiàn)。

師：回顧剛才的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有什么想說的嗎？

生：形的作用太大了。

生：形讓我們看到很多數(shù)字的特點(diǎn)。

生：因?yàn)橛行危覀儾拍馨l(fā)現(xiàn)這么神奇的算式。

生：有了形的幫助，就可以看到光看著數(shù)沒辦法看出來的特點(diǎn)。

生：……

【賞析】

這四個小環(huán)節(jié)是執(zhí)教本課的主體部分，是本課的核心環(huán)節(jié)。教學(xué)時(shí)，李老師沒有使用教材提供的正方形圖（如右圖），而是選用點(diǎn)陣這一學(xué)習(xí)素材。這樣的選擇有其獨(dú)到之處：一方面點(diǎn)陣更容易通過不同的分法發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)，而正方形圖就不容易“斜著分”等；另一方面，這樣的學(xué)習(xí)有了古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的真實(shí)的研究為依據(jù)，其實(shí)是還原數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)的過程，因而學(xué)生的學(xué)習(xí)過程變得流暢自然。

這四個小環(huán)節(jié)通過層層遞進(jìn)講述了一個事實(shí)，就是看“數(shù)”本身不易發(fā)現(xiàn)的特征通過看“形”變得一目了然，這樣的學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)對于學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的意義與作用是很有沖擊力的。難怪學(xué)生在最后的數(shù)形比較中發(fā)出了“對‘形’佩服得五體投地”的感慨來。當(dāng)然，值得注意的是，數(shù)形結(jié)合的意義不只是在于形可以助數(shù)，這只是一個側(cè)面，數(shù)形結(jié)合還有一方面的意義在于“以數(shù)解形”，在這方面最典型的是解析幾何，兩條直線是否平行，只要寫成方程，看它們的斜率就可以判定了，圓也可以寫成方程，還有函數(shù)圖像，等等。這可能是對于六年級的學(xué)生是尚無法提及的，然而，教師在這一點(diǎn)上要有清醒的認(rèn)識，不可偏頗！這樣才能給學(xué)生一個較為準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)知識。

縱觀這一學(xué)習(xí)過程，可以看到學(xué)生始終處在有質(zhì)量、有挑戰(zhàn)且持續(xù)不斷的數(shù)學(xué)思考之中，學(xué)習(xí)中此起彼伏的數(shù)學(xué)問題像磁鐵一樣牢牢地吸引住他們。在不斷地思考中，學(xué)生的體驗(yàn)更為深刻。可以看到，在“以數(shù)解數(shù)”中，學(xué)生的思維是受阻的，是困頓的，在“以形助數(shù)”中學(xué)生的思維瞬間明朗，這種柳暗花明、豁然開朗的思維體驗(yàn)讓學(xué)生真切地感受到數(shù)形結(jié)合的神奇與美妙。這種深入的思考與深刻的體驗(yàn)牽引著他們慢慢體會與領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想。

二、引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中感悟數(shù)形結(jié)合的價(jià)值

“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。”（蘇霍姆林斯基語）學(xué)生的心理特點(diǎn)決定了他們對于成為一個發(fā)現(xiàn)者有著強(qiáng)烈的需要，如果數(shù)形結(jié)合能引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，那么他們將更能產(chǎn)生對數(shù)形結(jié)合的價(jià)值認(rèn)同。

【教學(xué)片段2】介紹“神奇的圖形數(shù)”（三角形數(shù)、四面體數(shù)、金字塔數(shù)等）

課件出示：1，4，9，16

師：同學(xué)們，看著這些數(shù)，現(xiàn)在我們穿越，回到2000多年前的古希臘，從地上找出石頭來，用石頭把這些數(shù)擺出來，會是什么形狀？

生：正方形。

師：給這些數(shù)取個名字吧。

生：正方形數(shù)。（課件出示下圖）

課件出示：1，3，6，10，15

師：接著看，來，穿越，撿起石頭來，開始擺。

生：三角形。

師：取個名字。

生：三角形數(shù)。（課件出示：三角形數(shù)）

師：接著看！（課件出示：相鄰數(shù)之和）有發(fā)現(xiàn)的舉手。

生：相鄰數(shù)之和是正方形數(shù)。

生：1+3=4，3+6=9，6+10=16，10+15=25。和都是正方形數(shù)。

師：哇！太神奇了！兩個相鄰的三角形數(shù)的和剛好等于一個正方形數(shù)！怎么會這樣啊？

生（激動）：你看，兩個三角形數(shù)，如果拼在一起就是正方形數(shù)了。（如右圖所示）

接著進(jìn)行金字塔數(shù)與四面體數(shù)的教學(xué)。（如下圖，過程同上略）

三、引領(lǐng)學(xué)生在反復(fù)運(yùn)用中感悟數(shù)形結(jié)合的思想

一個知識抑或一個思想其終極的意義可能要使之在實(shí)用時(shí)得以體現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合的思想也不例外。

【教學(xué)片段3】數(shù)形結(jié)合解決問題

師：由25=1+3+5+7+9想開去，你還能聯(lián)想出像下面這樣優(yōu)美的算式嗎？

生：36=1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1。

生：49=1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1。

生：64=1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1。

生：16=1+2+3+4+3+2+1。

師：真好，這就叫作舉一反三。你能找出其中的規(guī)律來解決下面的問題嗎？

課件出示：1+3+5+7+……（100個連續(xù)的奇數(shù)）=？

生：100乘100等于10000。

生：16是4個奇數(shù)相加，剛好是4的平方。25是5個奇數(shù)相加，又剛好是5的平方，所以100個連續(xù)的奇數(shù)的和就是100乘100，等于10000。（全班鼓掌）

師：看來“形”的作用真是大啊。本來，數(shù)和形是分開的。但是今天咱們把它們聯(lián)系在一起，就有了這么多奇妙的發(fā)現(xiàn)。

四、引領(lǐng)學(xué)生在大膽想象中感悟數(shù)形結(jié)合的思想

學(xué)數(shù)學(xué)離不開大膽的想象，甚至是瘋狂的想象，想象可以促進(jìn)發(fā)現(xiàn)。在理解了數(shù)形結(jié)合是什么之后，讓學(xué)生沿著學(xué)習(xí)的方向，利用數(shù)形結(jié)合的思想想開去！讓學(xué)生看到一片更廣闊的數(shù)學(xué)天地，欣賞不一般的數(shù)學(xué)美景，這對于他們深入地“悟”數(shù)學(xué)思想有積極的意義。

（一）在想象中喚醒“數(shù)形結(jié)合”的已有經(jīng)驗(yàn)

師：其實(shí)，對于數(shù)和形的聯(lián)系，咱們在以前的學(xué)習(xí)中，也有見過的。想象一下，下面的“形”讓你想起什么知識？（出示下圖）

生：（7+3）×5。

生：（7+3）×5=7×5+3×5。

生：有點(diǎn)像乘法分配律。

師：接著看，這個呢？（課件出示下圖）

生：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

師：真好！你看，數(shù)和形的聯(lián)系多緊密啊！

（二）在想象中激發(fā)“數(shù)形結(jié)合”探索興趣

課件出示：展開想象的翅膀

師：請看屏幕！出示數(shù)對（3，4），你能猜出這表示什么嗎？

生：這可以表示一個點(diǎn)。

師：真好！這個數(shù)對可以表示平面上的一個點(diǎn)。這是數(shù)學(xué)家笛卡爾的偉大創(chuàng)造。自從有了這個天才的創(chuàng)造之后，數(shù)與形就更加巧妙地聯(lián)系在了一起。大家看！（課件出示y=3x+5）

師：大膽想象一下，這可能是什么？（生猜略）

師：你肯定想不到，這是一條直線。

師：再猜，這個呢？（出示y=3x）

生猜略。

師：沒錯，這也是一條直線。而且這條直線剛好和y=3x+5這一條直線互相平行。

師：還猜嗎？最后猜一個！（課件出示：x2+y2=25）

生猜略。

師：你能想象嗎？這竟然是一個圓！

【賞析】

“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括。”學(xué)生對于一種數(shù)學(xué)思想的感悟勢必要經(jīng)歷一個從模糊到清晰，從理解到應(yīng)用的長期的過程，李老師“數(shù)與形”的教學(xué)，全課以“數(shù)形結(jié)合”思想為核心，精心選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，巧妙設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷思考、想象、發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動，在活動中讓學(xué)生不斷提煉、總結(jié)，反復(fù)理解、應(yīng)用。顯然，學(xué)生只有經(jīng)歷這樣的過程，才能逐步悟出數(shù)學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

（福建省廈門市華昌小學(xué) 361006）