讓“探究”在“慢”中自由舒展

周秋英

蘇教版小學數學五年級上冊“三角形面積的計算”，學生最容易出錯的就是忘記“除以2”，在與學生的交流中得知：“老師剛教完還好一些，如果隔了一段時間，忘記‘除以2’的同學就更多。”

三角形面積計算公式的推導是一堂探究性較強的課，學生的數學知識、思維能力、思維方式等因素，都會影響探究方向及探究時間。要想在一堂課內探究出“三角形面積的計算公式”，常常會出現少數優生的探究結果替代其他學生的探索過程；教師為了完成教學任務趕“進度”，常常處于“想放手”又“不敢放手”的尷尬境地；很多課存有探究跡象，卻未能真“探”，學生剛“探”有起色，便被“因時間關系”而“叫停”……

“像數學家一樣思考”，這是教師所追求的課堂。只有學生自主研究出來的方法才是學生自己的方法，體驗才會深刻，思路才會清晰。能否實現真正意義上的自主探究呢？筆者以“三角形面積計算”教學為例進行了一次嘗試。

一、“微調查”：找準探究起點

要把學生引導到一個我們要他們去的地方，首先要知道學生在哪兒，這樣才能站在學生的角度去開展教學。

在前測中發現，用直角三角形進行研究的學生最多，他們先畫出一個直角三角形，再補成（或拼成）一個長方形，再得出三角形的面積；用等腰三角形進行研究的學生為其次，將等腰三角形沿著高剪下，然后拼出一個長方形（或正方形），通過計算長方形（或正方形）的面積得到三角形的面積。前測中，沒有學生能用任意三角形研究出三角形面積的計算方法。

我們可以從學生的角度分析，學生對長方形、正方形的認識和理解較為深刻，而直角三角形和等腰三角形更容易轉化成長方形或正方形，更容易找到它們的相通點。

二、“巧分解”：積累探究經驗

真正的“數學探究”，應該為學生提供充分的思考、嘗試、推理、表達的機會，“三角形面積計算的公式推導”，放手讓學生進行探究，而不是“牽著學生鼻子走”，讓學生在具體的探究活動中自主發現、解決問題，感悟轉化思想的必要性和優越性。

依據前測，筆者決定放慢探究進程，拉長探究時間，將三角形面積的探究分成三個層次“穿插分散”進行。第一層次：探究直角三角形的面積計算方法；第二層次：探究等腰三角形的面積計算方法；第三層次：探究任意三角形的面積計算方法。采用“前探究”“微交流”的形式。

第一層次：直角三角形面積的探究。

第二天早讀課進行展示與交流，學生共研究出兩種方法（學生作品列舉）：

由于直角三角形的特殊性及學生對已有知識經驗的積累，在第一層次的探究中，學生并沒有出現教材中用兩個完全相同的直角三角形拼出一個平行四邊形來研究，而基本上都是用上面的兩種方法。

方法一：將直角三角形補（或拼）成一個長方形，三角形的面積是所補（或拼成）長方形面積的一半。

方法二：將三角形沿高的一半進行切割、旋轉，轉化成一個和三角形面積相等的長方形，長方形的底就是三角形的底，長方形的高則是三角形高的一半，所以三角形的面積=底×（高÷2）。

學生面對自己的研究成果，信心倍增。

第二層次：等腰三角形面積的探究。

學生共研究出了四種不同的方法（學生作品列舉）：

正是有了前一天的交流與展示，原來沒有想法的學生開始有了想法，原來有一種想法的學生有了兩種甚至多種想法，這就是“真探究”“真交流”，學生之間的互動是最有效的。等腰三角形因其自身的特點，學生共研究出了四種方法。學生的思維一般都比較傾向于將原有圖形進行分割后再等積轉化，“方法四”全班只有兩位同學想到，但這已經是學生思維的一次突破與飛躍，這種方法離他們的思維水平也許還遠一些吧。

第三層：自主探究任意三角形面積。

在嘗試、反饋、交流的過程中，學生的原生態思維充分展露，教師由淺入深，循著學生的思維軌跡來引導學生探究，意圖在于給學生留下較大的創造空間，使學生從多種途徑探究。轉化思想是一個漸進的過程，需要浸潤和滋養，而不是灌輸和告知。這次探究，用兩個相同的三角形拼成一個平行四邊形的學生突然升至25人，對于任意三角形，學生覺得這種方法更簡便些。

三、“真互動”：優化思想模型

三角形的面積計算公式推導，如果要想在40分鐘完成“再創造”的過程，對于大部分學生來說，力所不及。很多教師常常處于“放”而不開、“探”而“未探”的糾結狀態。“三角形面積計算”這樣充滿著探究性的課，求快實在是不太適合，就像“快速長成的樹木必定是疏松”的道理是一樣的。

“為什么任意三角形只研究出了三種方法？而等腰三角形面積卻探究出了四種方法呢？”學生在思維碰撞中，既體會到了三角形之間的共性，又體會到了它們之間的特殊性，從而歸納出更具普適性的計算方法，得到三角形的面積計算公式：S=a×h÷2或S=a×（h÷2）。根據圖形轉化前、后各部分之間的對應關系，最終推導出計算公式。當學生用一個個靈動的圖例交流想法時，學生驚嘆“我怎么沒想到？”課堂中便充滿著無限驚喜與思考。三角形面積計算公式的推導，采用“長線”探究，開放式的整體構架，以“自主探究”統領整個過程，自主探究—交流思考，再自主探究—再交流思考，在三次自主探究、三次交流思考中，以探究為經，以交流為緯，在“三重探究過程”中作理性的數學思考。因為教師沒有教，所以出現了各種各樣的轉化方法；因為教師沒有教，所以學生置身于探究情境中，思考更積極、更充分。

從“形變”到“質變”的探究過程，體驗公式的由來，從特殊到一般，用不完全歸納法得出所有三角形的面積，加深對轉化、歸納、抽象等數學思想的感悟。學生在充分自主探究后，在交流中充分展示自己的思維方法及過程，揭示規律和方法，對知識的形成過程進行梳理，對數學思想方法進行提煉、歸納和概括。

四、“微思考”：“慢”，讓探究真實起來

三天以后，筆者進行了一次測試。測試題如下：

正是因為有了多重體驗，有了層層積淀，測試結果，全班只有一個學生忘記了“除以2”。三角形面積公式的推導，從課前調查到完成測試，穿插進行于其他單元內容的正常教學之中，在不知不覺中完成了“三角形面積計算公式”的探究活動，用時約5天。三個層次的探究，學生的體驗是深刻的，也是愉悅的，呈現自己的探究成果，上臺交流時的神采與表情，這種自信與成功的經歷是終身難忘的。其實，教材中有些內容，我們未必需要花很多時間進行反復練習；而有些內容，則必須要花一定時間去探索與研究。我們能否將探究性強的內容走一條“長線”，與其用一節課時間教完三角形面積，再用好幾倍的時間進行練習鞏固，學生在不斷訂正中痛苦地強化記憶，倒不如用“小步子”，多花幾天時間去探究，讓學生每天都有新發現、新體驗、新思考。通過這次嘗試，讓筆者萌生一種想法，探究性強的教學內容，我們是否可以嘗試讓學生有足夠的時間去體驗與思考，我們是否應該在課前進行前測與調查，再分層次推進，拉長思維梯度，從而讓學生由“束手無策”到“有的放矢”。放“慢”放“小”探究的腳步，根據小學生的年齡特點，循序漸進，采用“每天探究一點，每天滲透一點”的方式，分散穿插進行，站在學生的角度，讓探究真實起來，有效起來。

因此，教師應根據小學生的年齡特征開展數學課堂教學探究，在課前提供充裕的時間讓全體學生充分經歷和體驗數學探究活動過程。這樣，就可以在學生原生態的作品展示中，看到了學生真實的研究過程，交流時，看到學生言語間流露的自信和獲得成功后的喜悅。學習是一件可以從中尋找到快樂的事情，為了能與學生一起找尋這份快樂，讓我們換一種思路對待教學，從兒童的視角，關注學生視野之內的學習探究活動。“慢”，能讓學生的學習探究真實起來，舒展起來！

（江蘇省常熟市莫城中心小學 215556）