如何幫助學生明白數學道理

王昔寒

小學數學的許多知識，如果學生不明白道理，知識就需要記住并不斷地重復。相反，如果學生明白了其中的道理，知識就不需要一遍一遍地重復記憶。筆者的教學體會是：幫助學生明白知識中蘊含的道理，是一件十分重要的事。下面，筆者將結合相應的教學實踐來談如何幫助學生明白數學道理。

一、體驗生活原型：為什么多減要加？

浙教版教材二年級下冊第102頁“簡便計算”一課，編排的是加減運算中遇到接近整十、整百數時的簡便計算（見圖1）。教材借助圖書室領取借書證這一情境開展問題探討：1.兩人一共領走幾本借書證？2.聰聰領走198本后，還剩幾本？從而引出算式“198+96 ”“406-198”進行算法大討論。教材選取了校園圖書室這一學生身邊的場景，將數學問題生活化。但多退少補（即多減要加，多加要減）的算理在此情境中卻很難滲透和消化。能不能找到一個既貼近學生生活、又符合計算算理的生活原型來替換它，實現兩全其美的效果呢？

圖1

蹲下身體站在學生的高度換位思考、用心搜尋，每一個數學知識的背后，一定能找到一個與之對應的原始生活模型，因為數學本身源自生活。

活動1：領本子

師：這段時間我們一直都在學習三位數的加、減法，算術本成了我們的好朋友。王老師發現，很多小朋友的算術本都快用完了，看樣子該到總務處領本子去了。

師：如果要給我們班的小朋友每人發2本算術本，請拿出草稿本算一下，我們班一共該領多少本算術本？

生：要領98本。

師：總務處還剩下這樣兩捆算術本（課件出示下圖），你準備到哪一捆中去領？為什么？怎樣領？

生：我會從第二捆中領，解開繩子拿出2本就行了。這樣最簡便，不用一本一本地數了。

師：你的意思是領100退2。（板書：領100退2）

生：是的。

師：如果還要給我們全班49名同學每人領4本小字本，那么根據計算，一共需要領196本。先來看看總務處小字本的情況（課件出示下圖），你又打算怎樣領呢？

生：領走兩捆100本的小字本，然后退回4本。

師：也就是領200退4是嗎？（板書：領200退4）

生：是的。

……

通過“如何領本子”這一活動的探討，喚醒了學生的生活記憶，這一記憶恰恰是本課簡便計算的算理。有了這種數學與生活的對應，算理成了一種常理。課堂中唯一需要補足的就是將這一生活常理符號化、數學化。即轉“‘領100退2’‘領200退4’”為“‘+100-2’和‘+200-4’”，最后抽象成“多加的要減”。

活動2：算剩余

師：總務處的李老師把小字本整理了一下，每100本扎成一捆。大家一起來看看現在總務處還有幾本小字本。 （課件出示）

生：還有403本。

師：聽說二（5）班同學馬上要領走196本。如果你是總務處的李老師，你準備怎么發這196本小字本？

生：先拿出兩捆，再從一捆中取回4本就行。

師：這種發本子的方法，如果用一個式子來表示，該怎么表示呢？

生：-200+4。

師：按照這樣的發法，那么剩下的本子就可以這樣來計算：

403-196

=403-200+4

=203+4

=207（本）

生：是的。

……

作業本問題，從領的角度看是“多加的要減”，從發的角度看卻是“多減的要加”。活動中有意將學生的角色從“領本子的同學”轉換為“發本子的老師”，這一角色的轉換，促成了數學運算中加與減辯證關系的自然體驗，也實現了退與補算理的有效理解。

二、借助數軸分析：為什么是四舍五入？

北師大版教材五年級上冊中有“近似數”一課，了解近似數的產生、理解近似數的意義、學會近似數的取值是本課學習的三大重點。教學中，我組織學生從了解“本班人數”入手，隨后將統計范圍擴大到“全年級人數”“全校人數”“全區小學生人數”“全區學生人數”“全區人數”“全市人數”“全省人數”“全國人數”，將數的概念從“準確數”一步步向“近似數”逼近。在理解意義之后隨即展開探討：近似數是如何取值的？

“四舍五入法”是近似數取值的方法之一，“如果尾數最高位上的數比5小，就將尾數全部舍去，如果尾數最高位上的數是5或比5大，舍去尾數后要向前一位進1。”這一方法好記也好用，通常情況下，我們在介紹完四舍五入法之后便安排一定量的練習將這一技能加以鞏固。至于為什么要用四舍五入法來取值，往往成了近似數學習的“盲區”。

“知其然，更應知其所以然”，理解方法產生的過程比運用方法更為重要。怎樣理解這“四舍五入”中的“所以然”呢？畫出線段圖，將各近似數對號入座，便能一目了然，看出其中的道理。

……

（一）推測

師：你們知道我們中國的總人口是用哪個近似數來表示的？

生：13億。

師：那你認為我們中國的總人口可能是多少呢？下面哪個數可以用來表示我國的總人口？

14 3256 1785 ? ? 13 2367 8970 ? ? 12 9765 5645 ? ? 13 8740 7653 ? ? 12 1345 8903

生與同桌商議，逐一判斷。

（二）入圖

師：請將各數據填入線段圖中，觀察它們各自所處的位置，并討論：這個數更接近幾億？你剛才的判斷對了嗎？

生：將線段中的每一段再次平均分成10份，標出各數在線段上的相應位置，并進行校對。

（三）判斷

師：下面這些數中，還有哪些數也接近13億？

13 1356 7651 ? ? ? ?12 1873 5543 ? ? ? ? 12 8321 0597

13 4999 9999 ? ? ? ?13 8399 7602 ? ? ? ? 12 6505 6781

12 7564 8892 ? ? ? ?13 3775 3824 ? ? ? ? 13 0563 8732

12 5000 0000

師：如果你對某個數的判斷有疑惑，可以將它填入線段圖中看一看。

生：將各數填入線段圖中逐一判斷。

（四）梳理

師：我們一起來觀察一下這些接近13億的數，從中你有什么發現？

生：這些數都比12 5000 0000大，比13 5000 0000小。

師：12 5000 0000也是更接近13億的嗎？

生：不是，它的位置其實是在12億和13億的中點處，離12億和13億是一樣近的。

師：是的，數學上把這種正好處在等距離位置的數的取值規定為向較大數靠攏，即定它為接近13億。

師：你能用一個大括號將接近13億的數的范圍在線段圖上表示出來嗎？

生：畫出近似數13億的取值范圍。

（五）小結

師：在接近13億的所有數中，比12億大的這部分有什么特點？你能用一句話來概括嗎？比13億大的這部分呢？

生：……

師：如果你概括起來有困難，可以回頭看看我們所整理的這些數有什么特征。

師：綜合以上幾位同學的說法，我們是不是可以這樣來說：12億之后的尾數最高位是5、6、7、8、9的數，舍去尾數后要向億位進1，因為這些數更接近13億;13億之后的尾數最高位分別是0、1、2、3、4的數，舍去尾數后不用進1，它們的近似數仍然是13億。數學上把這種取近似數的方法叫作“四舍五入法”。

……

這個在線段圖上“畫理”的過程，將有助于學生在今后的取值判斷近似數時不再是對方法的機械套用，他們的頭腦中一定會將數及它在數直線中的位置建立形象的對應，從而進行正確取值。

三、運用學具操作：為什么是長、寬、高相乘？

北師大版教材五年級下冊中有“長方體的體積”一課，大部分學生課前早就知道了長方體體積的計算方法，往往是上課伊始公式即出：長方體的體積=長×寬×高。至于為什么是“長×寬×高”的道理，往往被老師和同學所忽視，簡單機械地應用公式去解決問題成了課堂的主題。這種速成的課堂，就如一碗方便面，雖然能填飽肚子，但卻少有營養價值。只有經過精心烹煮的食材，才能散發誘人的香味。當學生把計算公式脫口而出的那一剎那，就該即刻追問：為什么長方體的體積要用長×寬×高來計算？誰能說說其中的道理？顯然，其中的道理是很難說清楚的。特別是中后型的學生，空間想象的能力未必能跟上說理者的語言描述速度，得把道理依次清晰地擺出來。

師：為什么長方體的體積要用“長×寬×高”來計算？（生一臉茫然）

師：通過計算，這個長方體的體積是7×3×4=84立方厘米，這個84立方厘米也就是84個1立方厘米的小立方體組成的，你能用84個小立方體在白板上將這個長方體依次擺出來嗎？

生：可以。

師：大家能根據這個長方體圖，說說長方體的體積為什么要用“長×寬×高”來計算的道理嗎？

生1：長是7厘米，說明一行可以擺7個。

生2：寬是3厘米，說明底部一層可以擺3行。

師：那“長×寬”算出的結果表示的是什么？

生：底部一層可以擺的個數。

師：那接著為什么要乘高呢？

生：高是多少，就能擺幾層。

立體圖形的學習其實就是為了讓學生頭腦中對物體空間想象能力的達成，有了這樣一個擺的過程，長方體的體積計算原理就淋漓盡致地展現出來了，既說清了道理，又為空間能力的發展起到了指導作用。

作為滿腹經綸的教師，面對嗷嗷待哺的學生兵團，數學中的很多理是說不清的，只有把理擺出來、畫出來、做出來，在事實、真相、經驗面前，他們才能一一信服。那時，數學和生活也就融為一體。

（浙江省金華市環城小學 ? 321000）