思維可視 情理相融

葛素兒

數學知識具有抽象性，而第一學段學生的思維又呈形象化，兩者之間的矛盾使第一學段學生很難對抽象的數學知識進行意義理解。圖式思維在數學教學中的合理應用，可以在兒童天性和學科本質之間架構起一座橋梁，讓學科的情趣與學習的理趣有機融合，使抽象的數學知識直觀化、形象化，培植學習興趣，激活創造潛能。

圖式思維是以思維模型圖為基礎，形象、直觀地表達思維全過程的一種思維方式。通過圖式觀察、表征等活動，引導學生將抽象的數學概念、結構關系、思想方法、解題策略等用直觀的圖式揭示或表現出來，借助符號、圖形、線條、語言等形式構成高度組織性的圖，促進學生創造性地學習知識。

常見數學圖示思維工具的基本圖形是箭頭、框圖與符號等，它們包括如下幾種常用形式：數學符號、自創符號、實物圖、韋恩圖、思維導圖、概念地圖、思維樹等，在不同階段、不同類型的數學學習中發揮不同的作用。在教學中，教師需要根據學習目標、學習材料的特點，設計不同水平的圖式思維學習活動，提高學生的思維品質。

一、圖式思維活動的設計

圖式思維是一種生成性學習方式。威特羅克認為，生成是一種對兩類關系所作出的主動建構——它既能夠帶來同化性學習，即圖式適配;也能夠導致順應性學習，即建立新圖式。他認為，生成學習理論涉及的策略：一是編碼或重組，二是整合或精加工/概念重構。基于威特羅克的生成學習理論，筆者認為，第一學段圖式思維活動的設計可以基于以下三個不同思維層次（如圖1）進行，讓學生享受思維的挑戰過程。

（一）重組：基于情境的圖式思維

重組，實質是對知識編碼的過程，是一種同化性學習。對于第一學段的學生而言，這個階段的圖式思維更多的是借助于生活原型、實物操作等，通過圖式思維手段，經歷從操作到表象的體驗過程，在主動建構知識的同時提升學力。基于實物的數學思維圖式主要是去情境的幾何圖、抽象圖等。例如，在“面積單位的認識”教學中，為了建立平方厘米的概念，在課堂上開展“尋找生活中的1平方厘米”的活動：

（1）食指的大小大約1平方厘米，讓學生按食指手印（紅色）——建立1平方厘米的圖式（實物模型）。

（2）借助圖式找1平方厘米、2平方厘米、5平方厘米、10平方厘米的物體表面并熟悉它們的大小——作為估計物體大小的實物參照，在反復觀察與操作中建立各自面積大小的圖式。

這些代表性的“圖式”將成為學生心中的尺子，這樣，學生在以后的數學學習中能自然地使用那些“尺子”作為觀察物體表面的參照，把握物體表面的面積大小，幫助他們建立比較完善的面積單位概念。

（二）整合：基于轉化的圖式思維

整合，是對知識的精加工，應該說也是一種同化性學習。對于第一學段的學生而言，這個階段的圖式思維更多的是借助現實生活、數學知識等具體情境，通過圖式思維手段，經歷從情境到抽象的體驗過程，在主動建構知識的同時提升學力。基于情境的數學思維圖式還是以去情境的抽象圖為主，鼓勵學生用自創的符號系統表征數學問題。例如，在“乘法的意義”的教學中，為了讓學生理解一個乘法算式的兩種意義以及為什么不同的兩種意義積始終相等的道理，可以引導圖式表征：

（1）“2×4”表示什么？你能用圖來說明嗎？反饋。

（2）我們能不能用一個圖來說明這兩種不同的意義？小組討論，交流反饋得出矩形圖。

圖2 ? “2×4”乘法意義的圖式表征

乘法的語言核心是“幾個幾相加”，“2×4”既可以表示2個4相加，也可以表示4個2相加，交換的實質涉及的是“一份量”結構的改變。在這里，通過圖式和算式的雙向轉化，通過不同的圖式讓學生理解“2×4”的乘法意義，實現空間上的不同維度思考，提升圖式思維的能力。在這里，“數”回圖中去，通過表征、互譯等手段對數學知識進行生成性加工，引導學生經歷文字語言、圖形語言和符號語言之間不斷互譯的改造過程，這是理解數學知識的重要一步。

（三）創新：基于自創的圖式思維

創新，是對知識的重構，這是一個順應性學習，體現的是從模仿到探究的創作過程。基于創造的圖式主要是概念圖（數學概念的形成與整理）、思維導圖（問題解決的過程與方法）、結構圖（數學知識的結構關系）、監控圖（數學學習的反思與調控）。這是圖式思維的最高層次。概念圖是一種知識以及知識之間的關系的網絡圖形化表征，也是思維可視化的表征，包含圖形、鏈接、符號、文字等元素。概念圖可以統整學習的概念，幫助學生把教材知識結構轉化成自己的數學認知結構，在新舊知識之間架起網絡。而將思維、想法運用符號、語言、線條和圖形表示出來的有高度組織性的圖式就是思維導圖。借助思維導圖可以使思維可視化，從而形成縱橫分明的思維體系。

這對于第一學段的學生來說存在一定的難度，概念圖、思維導圖的教學以滲透為主，教師在教學中有意識地運用整體結構圖，在經歷較長時間的暗示性的模仿學習后再慢慢嘗試讓學生畫樹形圖、云朵圖、花形圖等思維導圖或概念圖，增強學生整理與歸納知識的能力，形成關于所學知識的整體“圖式”。例如，在“四邊形的認識”教學中，教師就可以讓學生根據各個圖形的聯系與區別自主畫出概念圖（如圖3），在說理與歸納的過程中，進一步理解四邊形的相關知識，建構完整的知識體系。

二、圖式思維活動的展開

圖式思維的選擇與運用要符合學生的認知水平特點，符合教學內容的要求，擯棄形式主義，引導學生主動建構數學知識，形成數學思維能力。

（一）學習起始：讓知識結構化

學生獲取的是分散的缺乏聯系的無序知識，教師要引導學生將知識重新編碼、排序，運用概念圖、圖表、知識樹等可視化圖像手段可以把零散的知識點梳理成清晰的“知識網”。針對低年級學生的特點，新知教學開始階段，教師可以提供一個整體的知識概念圖，讓學生明晰將要學習的內容;復習整理階段，可以由教師提供或在教師幫助下繪成復習圖，運用整體的知識結構圖建構知識體系。例如，在“周長與面積”的整理與復習一課中，學生在計算、討論等基礎上梳理出概念圖表（如圖4）后，讓學生通過畫一畫的方法進一步理解周長與面積的聯系。

圖4 ? 周長與面積的區別

（1）在格子圖中畫一畫，想一想周長與面積有什么聯系。（格子圖略）

周長是16厘米（邊長為整數厘米）的長方形有哪幾個？畫一畫，并算一算這些圖形的面積，填在表格里。

（2）練后組織反饋，呈現結果并追問：

觀察所畫的圖形和表格里的數據，你發現了什么？引導討論，得出結論并板書（聯系：周長相等的長、正方形，正方形面積最大），結合課件的動態演示圖進行強化。

（3）辨析：“邊長是4厘米的正方形的周長與面積相等”這句話對嗎？

在這個片段中，教師運用了概念圖表、畫圖、枚舉、列表等多種方法來引導學生探究長、正方形的周長與面積的區別與聯系，經歷知識再生成的理解過程，使知識豎成線、橫成片，形成關于周長與面積這兩個容易混淆的數學概念的知識結構。可視化的概念圖、圖示、動態演示圖等為學生提供了認知支架，使知識生成迅捷有效。

（二）探究新知：讓思維可視化

在新知探究階段，讓學生將“思維路徑”以圖式的手段表現出來，將有形的文字、圖、算式與無形的解題思路有機融合在一起，使思維過程外顯可視，展現了知識建構過程的趣味性和生成性。如“乘加混合運算”中利用圖式理解乘加、乘減運算順序。

（1）你知道2×4+1表示什么意義嗎？如果讓你來畫圖，你覺得會是怎么一幅圖？先在小腦袋里想一想，然后畫下來。

（2）匯報，展示學生的作業，比較說理。

（3）嘗試計算并匯報：你是先算什么的？為什么要先算2×4？可以先算4+1嗎？

（4）根據數據圖畫，想一想，還可以怎樣列式？

生匯報：1+2×4、3×4-3、2×5-1、……

“先乘除后加減”是數學運算中的一項規定，似乎是一種約定俗成的說法，用圖表征思維過程使思維的方法與過程得到外顯。在這里，教學從學生原有經驗出發，引導學生用圖說明2×4+1的兩種意義，因為乘法是加法的簡便運算，表示求幾個相同加數的和，這樣學生就能借助圖來掌握算法并理解算理：根據2個4（或者4個2）相加先算2×4，然后再加1;如果先算4+1沒有意義。此外，在這個過程中，通過圖引導學生進行縱向比、橫向比、與以前經驗比、相似點比，暴露知識形成的思維路徑，展現知識建構過程的趣味性和豐富性。

（三）方法運用：讓策略模型化

所謂“模型”，是指學習過程中的分析、比較、歸納與概括等心理活動，必須借助于圖式表征這個基礎，通過圖式思維學生經歷了以已有的知識經驗為基礎的構造性活動，而不是一種純粹的操作行為。例如，在“連乘問題”教學時，在解決“小朋友在跳集體舞，剛好排成3個方陣。每個方陣有2行，每行5人。一共有多少人？”這個問題中，讓學生根據下列要求解題并解釋：

（1）根據題意畫圖，1個小朋友用一個“○”表示。

（2）列式計算，并在圖上把先算的那一步圈出來。

（3）想一想，有沒有不同的解決方法？

圖5 ?“連乘問題”圖式

引導學生選擇自己喜歡的圖形符號進行圖式表征（圖5），為理解數量關系起到了“橋梁”作用，學生的頭腦中逐步建構了連乘問題的數學模型。在這里，學生通過圖形表征，將有形的文字、圖、算式與無形的解題思路有機融合在一起，通過同中求異、異中求同，與以前經驗比、相似點比，暴露知識形成的思維路徑，展現了知識建構過程的趣味性和豐富性。

圖式思維直接關聯學生未來的學習與生活，用圖意識、用圖能力應從小滲透，同時這更應該是學生從小要練就的學習數學的“童子功”。讓圖式思維成為學生的一種習慣，讓學生主動地將圖式思維運用到數學以至任何學科的學習之中。相信這是讓學生終身受益的學習方式。

（浙江省杭州市富陽區富春第二小學 ? 311400）