認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤 正確歸因

陳朝暉

很多同學(xué)在分析錯(cuò)題原因時(shí)往往歸結(jié)為粗心，其實(shí)粗心只是表面現(xiàn)象。同學(xué)們一定要認(rèn)真分析，對(duì)癥下藥，才能徹底解決問題。一元二次方程中常出現(xiàn)典型錯(cuò)誤歸納分析如下：

一. 不注意定義、概念等文字中的條件，尤其是隱含條件.

1.忽視一元二次方程定義的條件.

例1.下列方程是一元二次方程的是

（1） x2+ +1=0 （2）2x（x+2）=2x2 （3） + =1

誤解：（1）、（2）

分析：一元二次方程的定義中有三個(gè)要素：一元、二次、整式方程. （1）是分式方程， （2）化簡(jiǎn)后為4x=0 ，不含有二次項(xiàng)（3）誤認(rèn)為是分式.

正解：（3）

2.忽視一般式中的隱含條件.

一元二次方程的一般式是ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）.這里隱含了b、c可以等于0.由于對(duì)于定義理解不透徹，常常會(huì)出現(xiàn)下面的錯(cuò)誤.

例2 （1）X2=0 和（ 2） ax2+bx+c=0是一元二次方程嗎？

誤解：（1）不是，（2）是

分析：（1）x2=0受一般式的影響，忽略了b、c可以為0， （2）沒有條件a≠0

正解：（1）是一元二次方程。（2）不一定是

3.對(duì)條件“熟視無睹”.

例3.若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

誤解：∵△=（-2）2-4k×（-1）=4+4k﹥0 ∴

k>-1

分析：沒有考慮二次項(xiàng)系數(shù)k 0

正解：k>-1且k 0

例3、若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值等于多少？

誤解：由題意得：m2-3m+2=0，解得：m1=1，m2=2.

分析：沒有考慮二次項(xiàng)系數(shù)m-1 0，即m 1的條件.

正解：由題意得：m2-3m+2=0，

解得：m1=1，m2=2.又m-1 0，即m 1.

m=2

二.解題方法與策略失當(dāng).

1.解方程方法失當(dāng)。

例3. 解方程

①（x-3）（x+1）=x-3， ②4（x-1）2-9=0

對(duì)①誤解：兩邊同時(shí)除以（x-3）得

x+1=1， 得x=0.

分析：應(yīng)該用因式分解法，錯(cuò)用了等式性質(zhì)2.

正解：（x-3）（x+1）-（x-3）=0

（x-3）（x+1-1）=0

X1=3，x2=0

對(duì)②誤解：把原方程化成一般式后用“公式法”甚至用“配方法”求解.

分析：根據(jù)方程特征，沒有用“直接開平方法”

正解：∵（x-1）2=

∴x-1=± ，解得x1= ，x2=-

2.解題策略失當(dāng).

例4、已知方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根分別是（ +1）和 2-1），求b、c的值

誤解：把兩根分別代入原方程，再解關(guān)于b、c的方程組.

正解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得-b= +1+ 2-1=2 得b=-2

C=（ +1） 2-1）=2-1=1

3. 數(shù)學(xué)思想欠缺

例5、三角形兩邊長(zhǎng)是3和4，第三邊長(zhǎng)是方程x2-12x+35=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為多少？

誤解：解方程x2-12x+35=0得x1=5，x2=7.當(dāng)x=5時(shí)周長(zhǎng)=12，當(dāng)x=7時(shí)周長(zhǎng)=14

分析：缺少數(shù)形結(jié)合的思想，三角形的三邊要滿足任意兩邊之和大于第三邊.

正解：解方程x2-12x+35=0得x1=5，x2=7.當(dāng)x=5時(shí)周長(zhǎng)=12，當(dāng)x=7時(shí)不滿足兩邊之和大于第三邊，故舍去。所以周長(zhǎng)為12.

例6.若關(guān)于x的方程（m2-1）x2+（m-1）x+ =0有實(shí)數(shù)解，求m的取值范圍.

誤解：∵方程有實(shí)數(shù)根∴△=（m-1）2-4（m2-1）× ≥0，解得m≤1

分析：沒有分類討論，綜合求解。方程既可以是一元二次方程，也可能是一元一次方程.

正解：（1）當(dāng)m2-1=0時(shí)m=±1.又m=1時(shí)方程不成立，∴m≠1；m=-1時(shí)，方程-2x+ =0為一元一次方程，有實(shí)數(shù)解，滿足題意.

（2）當(dāng)m2-1≠0即m≠±1時(shí)，方程為一元二次方程，∵方程有實(shí)根∴（m-1）2-4（m2-1）× ≥0，解得m≤1

又m≠±1，所以m<1且m≠-1.

綜上所述，m的取值范圍為m<1.

例7、關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1、x2，且x12+x22=7，則m的值是多少？

誤解：由題意得：x1+x2=m，x1x2=2m-1∵x12+x22=7∴（x1+x2）2-2x1x2=7∴m2-4m-5=0

∴m1=5，m2=-1

分析：忽略了一元二次方程必須滿足b2-4ac≥0才有實(shí)數(shù)根這一條件，對(duì)m沒有討論.

正解：由題意得：x1+x2=m，x1x2=2m-1∵x12+x22=7 ∴（x1+x2）2-2x1x2=7∴m2-4m-5=0∴m1=5，m2=-1 ∵當(dāng)m=5時(shí)，b2-4ac=25-36=-11<0，舍去。當(dāng)m=-1時(shí)，b2-4ac=1+12=13>0，滿足題意，∴m=-1.

希望同學(xué)們能認(rèn)真對(duì)待作業(yè)中的錯(cuò)誤，正確分析錯(cuò)因， 努力提高練習(xí)的正確率.

（作者單位：南師大第二附屬初級(jí)中學(xué) ）