如何在討論數學問題中激發學生反思

王勝文 郭亞丹

摘 要： 營造自主的學習環境，激發學生的主觀能動性，培養學生發展性學習，是當前深化課堂教學改革所面臨的重要課題.學生在數學學習過程中，自主探索是核心要素之一，在自主探索過程中，需要作必要的反思，反思也是學生自主探索的必要環節.激發學生反思，培養好的反思習慣，找到能力增長點和創新的著力點.

關鍵詞： 數學學習 學生反思 數學問題

布魯納認為，在教學過程中，教師應當制定和設計各種方法，創設有利于學生發展的、能夠獨立探究的學習情境，使學習成為一個積極主動的“索取”過程.《學記》中明確指出“學然后知不足，教然后知困.知不足，然后能自反也；知困，然后能自反也”，這說明了反思在教與學活動中的重要性.學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式.這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在老師引導下的“再創造”過程[1].學生學習的最后階段為評估反饋階段，若讓學生在數學學習過程中對各個環節能夠正確地自我評價和反思，則必能使學生重新理解知識，進一步優化思維，提高數學能力.教師在設計教學時應充分考慮學生主體性的發揮，讓學生經歷自主“做數學”的過程；還要提供必要的機會，使他們能夠從事反思活動.研究表明，人的一般認知發展，包括認知能力的發展和認知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思活動[2].合理的反思能夠激發學生濃厚的學習興趣，帶給學生自身理智的挑戰，使學生獲得積極的、深層次的體驗和足夠自主的空間、足夠的探索機會.

教師在數學教學過程中如何激發學生有效反思？除了培養學生具有反思習慣外，還應該通過對教學的內容進行多方面的思考，在學生學習數學知識的過程中，激發學生反思，形成良好的學習品質.下面通過對數學問題的解決方法的思考，提出四個方面的反思突破口.

1.對問題的條件進行反思

解決問題的關鍵是尋求問題條件與結論的聯系，若問題的條件有變，則結論會變，解題方法也可能會變.學生對命題的條件進行必要的反思，可以培養學生思維的靈活性和深刻性.

案例一：判斷以過橢圓焦點F的弦為直徑的圓與橢圓相應于F的準線的位置關系.

利用橢圓相關知識，不難判斷位置關系為相離.

教師可以提出改變橢圓這個條件激發學生反思：上述問題中，若將橢圓變為雙曲線或拋物線，問題的結論會怎樣？如何證明？

對問題的條件作變式反思，也是培養學生辨別能力和探究能力的有效途徑.

2.進行類比歸納反思

數學命題千變萬化，但一些命題或問題有相同的根源，解決這類問題的方法有時也可能大同小異，教師對具有這類特點的問題及解決過程可通過類比或歸納，然后激發學生進行反思.

案例二：有以下一組問題

①若a、b、c∈R■，求證：（a+b+c）（■+■）≥4.

②x，y∈（0，+∞），且2x+3y=1，求證：■+■≥5+2■

③0

④已知x、y∈（0，+∞），且■+■=1，試求x+y的最小值.

⑤a>b>c，試求使■+■≥■恒成立的最大的n.

學生在不同的時間完成了上述題目，但是做完各題后不能讓其成為一盤散沙.教師應該提出問題，讓學生觀察這類問題有何相同點與差異，激發學生反思.通過讓學生討論和總結，可以發現此類問題的本質都相同，抓住問題本質后就能以不變應萬變，就可以高屋建瓴地解決同類型的問題.通過這種形式的教學，在學習過程中，學生能夠有意識地對所學的內容進行邏輯分析、綜合、分類、重新組織，把知識系統化，這種自覺掌握和整理知識的能力，是思維組織性的具體表現.

3.對命題作推廣性反思

最能體現學生創新能力的應該是對命題進行推廣.對命題推廣的過程中，學生需要調動幾乎所有的數學知識與能力，開放性的探究可以讓學生體會到研究的困惑與喜悅，可以鍛煉學生的創新能力.教師可以在這方面做些工作，讓學生在對命題品味與反思同時，可以進行推廣嘗試.

以下是教學實際中學生對命題推廣的案例：

案例三：（原問題）已知不等式■+■≤c≤■+■對一切正實數x，y均成立，則常數c的值為■.

推廣1：若不等式■+■≤f（n）≤■+■（其中n為常數，n>1）對一切正實數x，y均成立，則f（n）=■.

推廣2：若不等式■+■≤f（m，n）≤■+■（其中n>m>0，m，n為常數）對一切正實數x，y均成立，則f（m，n）=■.

推廣3：若不等式■+■+■≤f（n）≤■+■+■（其中n>1，n為常數）對一切正實數x，y，z均成立，則f（n）=■.

4.對易錯點進行反思

要培養思維的嚴密性，必須先培養思維的批判性.所謂思維的批判性，表現為獨立思考，不盲從附和，不輕信，對問題有獨立的見解，善于提出疑問，能及時發現并糾正錯誤，能批評自己提出的解題方法的優劣與正確與否，有反省和自我調節的能力.教師應該適當培養學生的質疑精神，甚至可以在具體的教學過程中，教師本身可以有意識的犯下錯誤，培養學生的獨立思考能力，提高學生自我糾錯、自我評價能力，引導學生辨析錯誤，提高鑒別能力.學生抓住易錯點反思，就是培養自我糾錯能力的最佳途徑.

案例四：求函數f（x）=■的最小值.

學生常見錯解：f（x）=■=■+■≥2，故f（x）的最小值為2.

學生糾正錯誤后進一步明確：用不等式求最值有三個環節：（1）各項為正數，（2）有乘積（或和）為定值，（3）不等式中“=”號可以成立，三個環節缺一不可.上述問題直接用均值不等式求解有困難，可轉化為用函數的單調性求解或重新列項后用不等式求解.

學生養成對易錯點反思的習慣，就能避免數學思維過程中的許多錯誤，培養思維的嚴密性，數學能力自然會得到提高.

新課程標準中的課程目標提出，讓學生通過不同的形式的自主學習、探究活動，體驗數學發現和創造歷程；發展學生數學應用意識和創新意識，力求對現實世界中蘊涵的一些數學模式進行思考和作出判斷；提高學生學習數學的興趣，樹立學好數學的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度.學會反思，能使學生在知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三個維度上得到進一步發展.教師在教學中可適時給學生以反思的示范，教學生學會反思，并鼓勵學生養成反思的習慣.學生一定要適時捕捉反思的切入點，反思的過程要自己獨立完成，不可由教師或其他人代替，否則所謂的反思充其量是模仿，起不到反思的作用，達不到預期的目的.

參考文獻：

[1]人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.2.

[2]數學課程標準研制組.數學課程標準解讀（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2002.50.

基金項目：貴州省教育廳高校人文社會科學研究項目（編號：13ZC234）；六盤水師范學院教學改革研究一般項目（編號：LPSSYjg201104）。