工作時間的一種數(shù)學(xué)模型

陳國松

摘 要： 工作時間問題是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的常見問題，也是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的基本問題.本文從個人勞動者時間供給關(guān)系中提出問題，用非線性規(guī)劃知識建立數(shù)學(xué)模型，描述了工作時間和工作意愿或勞動報酬的一些關(guān)系.

關(guān)鍵詞： 人年 工作時間 非線性規(guī)劃

一、問題的提出

設(shè)一個人在一年中總可用時間為1人年，由于每天至少有8小時用于睡覺與吃飯，因此閑暇的最低需要量為1/3人年.設(shè)該人擁有H人年閑暇時得到的滿意度為

U（x■，x■，…，x■，H）=A（x■-c■）■（x■-c■）■…（x■-c■）■（H-■）■，這里，x■，x■，…，x■表示n種商品的需求量，c■cx■，…，c■表示對n種商品的最低需要量，A>0，h>0，a■>0（i=1，2，…，n）為常數(shù).問該人每年愿工作多少時間？

二、問題的分析

設(shè)該人每周工作5天，每天工作8小時的年薪為W元，則■×■=■人年可賺W元，故1人年的收入為■W=4.2元.如果某人的閑暇為H人年，則當(dāng)年薪為W元時其收入為4.2W（1-H），其全部收入擁有購買n種消費(fèi)品.

三、模型的建立

設(shè)該人對n種商品的購買量為x■，x■，…，x■，相應(yīng)的價格為p■，p■，…，p■，由上面的分析可知：

px■+px■+…+px■=4.2W（1-H）（1）

即px■+px■+…+px■+4.2WH=4.2W

于是該問題的數(shù)學(xué)模型為在（1）式的約束下求U（x■，x■，…，x■，H），以使效用U最大，即

maxU=A（x■-c■）■（x■-c■）■…（x■-c■）■（H-■）■（2）

滿足px■+px■+…+px■+4.2WH=4.2W

四、模型的求解

上述非線性規(guī)劃模型實際上是一個帶約束的多元函數(shù)的極值問題，因此可用拉格朗日乘數(shù)法求解.

令L（x■，x■，…，x■，H，λ）=A（x■-c■）■（x■-c■）■…（x■-c■）■（H-■）■+λ（px■+px■+…+px■+4.2WH-4.2W）（3）

記U（x）=A（x■-c■）■（x■-c■）■…（x■-c■）■（H-■）■

■=0 a■U（x）=-λp■（x■-c■），i=1，…，n

-■=■（4）

■=0，■U（x）+λ4.2W=0

-■=■（5）

由（4）和（5）式聯(lián)立得：

H=■+■（1-■）（6）

上式表明，要使U≥■（即保證睡眠及吃飯時間），則■p■c■≤2.8W，即基本生活保障開支最多不應(yīng)超過2.8W，否則該人為求生存，一定會導(dǎo)致睡眠不足.

所以由（6）式可得該人的工作時間為

L=1-H=■-■（1-■）（7）

可知，當(dāng)4.2W=p■c■+…+p■c■+1.4W時，工作時間為L=■人年，而當(dāng)工資W逐漸升高時，人們希望擁有更多的閑暇時間，特別地，如W很大（趨向無窮大），則

H=■+■■（8）

L=■（1-■）（9）

由（8）式可知，如果人們更希望擁有閑暇，則h相對較大，而人們愿意工作的時間則較少.

五、模型的評價

上述模型是在一定的效用函數(shù)形式假定下的工作時間選擇，因此其結(jié)果會受到效用函數(shù)的影響.從結(jié)果分析來看，它揭示了市場機(jī)制下勞動供給函數(shù)的一種數(shù)學(xué)表示，合理地解釋了低收入者為生存而付出的工作時間.但在實際生活中，工資W越高，人民愿意提供的勞動時間往往越來越長，只有當(dāng)高到一定程度之后，提供勞動的時間才隨W的上升而下降.而（7）式表明工資上升，愿意提供的勞動時間卻在下降，這與事實不完全相符.其主要原因在于效用函數(shù)沒有體現(xiàn)消費(fèi)者的心理反應(yīng).由于隨著W的上升，人們對產(chǎn)品、閑暇的偏好會因之改變，因此要更好地建立工作時間與閑暇時間的選擇模型，還需要進(jìn)一步改進(jìn)效用函數(shù)，當(dāng)然計算也一定會相應(yīng)復(fù)雜許多.

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