工作時(shí)間的一種數(shù)學(xué)模型

陳國(guó)松

摘 要： 工作時(shí)間問(wèn)題是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的常見(jiàn)問(wèn)題，也是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的基本問(wèn)題.本文從個(gè)人勞動(dòng)者時(shí)間供給關(guān)系中提出問(wèn)題，用非線性規(guī)劃知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，描述了工作時(shí)間和工作意愿或勞動(dòng)報(bào)酬的一些關(guān)系.

關(guān)鍵詞： 人年 工作時(shí)間 非線性規(guī)劃

一、問(wèn)題的提出

設(shè)一個(gè)人在一年中總可用時(shí)間為1人年，由于每天至少有8小時(shí)用于睡覺(jué)與吃飯，因此閑暇的最低需要量為1/3人年.設(shè)該人擁有H人年閑暇時(shí)得到的滿意度為

U（x■，x■，…，x■，H）=A（x■-c■）■（x■-c■）■…（x■-c■）■（H-■）■，這里，x■，x■，…，x■表示n種商品的需求量，c■cx■，…，c■表示對(duì)n種商品的最低需要量，A>0，h>0，a■>0（i=1，2，…，n）為常數(shù).問(wèn)該人每年愿工作多少時(shí)間？

二、問(wèn)題的分析

設(shè)該人每周工作5天，每天工作8小時(shí)的年薪為W元，則■×■=■人年可賺W元，故1人年的收入為■W=4.2元.如果某人的閑暇為H人年，則當(dāng)年薪為W元時(shí)其收入為4.2W（1-H），其全部收入擁有購(gòu)買n種消費(fèi)品.

三、模型的建立

設(shè)該人對(duì)n種商品的購(gòu)買量為x■，x■，…，x■，相應(yīng)的價(jià)格為p■，p■，…，p■，由上面的分析可知：

px■+px■+…+px■=4.2W（1-H）（1）

即px■+px■+…+px■+4.2WH=4.2W

于是該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為在（1）式的約束下求U（x■，x■，…，x■，H），以使效用U最大，即

maxU=A（x■-c■）■（x■-c■）■…（x■-c■）■（H-■）■（2）

滿足px■+px■+…+px■+4.2WH=4.2W

四、模型的求解

上述非線性規(guī)劃模型實(shí)際上是一個(gè)帶約束的多元函數(shù)的極值問(wèn)題，因此可用拉格朗日乘數(shù)法求解.

令L（x■，x■，…，x■，H，λ）=A（x■-c■）■（x■-c■）■…（x■-c■）■（H-■）■+λ（px■+px■+…+px■+4.2WH-4.2W）（3）

記U（x）=A（x■-c■）■（x■-c■）■…（x■-c■）■（H-■）■

■=0 a■U（x）=-λp■（x■-c■），i=1，…，n

-■=■（4）

■=0，■U（x）+λ4.2W=0

-■=■（5）

由（4）和（5）式聯(lián)立得：

H=■+■（1-■）（6）

上式表明，要使U≥■（即保證睡眠及吃飯時(shí)間），則■p■c■≤2.8W，即基本生活保障開(kāi)支最多不應(yīng)超過(guò)2.8W，否則該人為求生存，一定會(huì)導(dǎo)致睡眠不足.

所以由（6）式可得該人的工作時(shí)間為

L=1-H=■-■（1-■）（7）

可知，當(dāng)4.2W=p■c■+…+p■c■+1.4W時(shí)，工作時(shí)間為L(zhǎng)=■人年，而當(dāng)工資W逐漸升高時(shí)，人們希望擁有更多的閑暇時(shí)間，特別地，如W很大（趨向……